25.3实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与销售问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”第3课时，核心内容为循环问题（单循环、双循环）与销售问题（利润关系、降价增销模型），通过“审设列解验答”六步法解决实际问题。课堂导入结合体育比赛、商场销售等生活场景，衔接一元二次方程解法，搭建从数学模型到实际应用的学习支架。 其亮点在于含思维导图梳理知识脉络，典例分析（如排球邀请赛单循环场次计算、商品降价增销利润问题）结合生活场景，培养数学眼光（抽象能力、创新意识）和数学思维（推理能力、运算能力），通过建立方程模型发展数学语言（模型意识）。学生能激发解题兴趣，学会用数学分析现实问题，教师可借助系统步骤和实例提升教学效果。

25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与销售问题 25.3 实际问题与一元二次方程第3课时 循环问题与销售问题主讲人：深海楠木时间：2026.07 思维导图 学习目标 1.区分单循环、双循环题型. 2.掌握销售利润核心等量关系：总利润 = 单件利润 × 销售数量，单件利润 = 售价−进价. 3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型． 4.结合商场销售、体育比赛生活场景，激发数学解题兴趣. 5.学会用数学思维分析商业盈亏、赛事安排等现实问题. 素养学习目标 复习回顾 解决实际问题的一般步骤： 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 检验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 通用建模六步法（审、设、列、解、验、答）是解决实际数学问题的系统性方法，每一步都至关重要，确保最终答案准确且符合实际. 单循环问题 常见示例 核心公式 每两个元素之间只计算一次，如两队比赛一场。 握手、连线、签合同等，任意三点不共线情况。 总次数等于n乘n减1后除以2，n为元素个数。 单循环问题的核心特征是每对元素间仅交互一次，避免了重复计数，适用于需要计算两两配对总次数的场景，如比赛安排或社交握手。 问题特征 常见于体育比赛（每队赛一场）、握手（每人握一次）、平面点连线（无三点共线）等实际问题，体现组合计数的基本思想。 应用场景 使用公式“总次数 = n(n - 1)/2”快速求解，其中n代表参与元素的总数. 计算公式 1.单循环问题特征 探索新知 单循环问题常见示例核心公式每两个元素之间只计算一次，如两队比赛一场。握手、连线、签合同等，任意三点不共线情况。总次数等于n乘n减1后除以2，n为元素个数。单循环问题的核心特征是每对元素间仅交互一次，避免了重复计数，适用于需要计算两两配对总次数的场景，如比赛安排或社交握手。问题特征常见于体育比赛（每队赛一场）、握手（每人握一次）、平面点连线（无三点共线）等实际问题，体现组合计数的基本思想。应用场景使用公式“总次数 = n(n - 1)/2”快速求解，其中n代表参与元素的总数，该公式源自组合数学中的组合数C(n,2)。计算公式单循环问题特征 典例分析 例1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x(x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. 解方程，得 x1=8，x2= –7（不合题意，舍去）. 答：组织者应邀请 8 支球队参赛. 双循环定义 双循环与单循环不同，其核心特征是每两个元素之间会进行两次计算或交互。 典型场景 适用于车票问题（往返不同）、握手问题（互相握）、互赠标本等需要区分顺序的场景。 公式与计算 关键在于“每对元素算两次”，例如每两支球队在主客场各赛一场，形成两次对决。 常见应用 总次数或总关系数的通用计算公式为：总次数 = n × (n - 1)，其中n为元素个数。 2.双循环问题特征 探索新知 双循环定义双循环与单循环不同，其核心特征是每两个元素之间会进行两次计算或交互。典型场景适用于车票问题（往返不同）、握手问题（互相握）、互赠标本等需要区分顺序的场景。问题特征公式与计算关键在于“每对元素算两次”，例如每两支球队在主客场各赛一场，形成两次对决。常见应用总次数或总关系数的通用计算公式为：总次数 = n × (n - 1)，其中n为元素个数。双循环问题特征 例2. 九年级某班学生毕业之际，某小组同学自发组织互赠礼物，小组内的每个同学都要相互交换礼物，小组长最后统计发现共有56份礼物，问该小组共有多少人？ 解：设该小组共有x 人根据题意，得 x(x−1)=56. 解得 x1=−7（不符合题意，舍去），x2=8. 答：设该小组共有8 人. 典例分析 核心关系解析 总利润公式 总利润等于单件利润乘以销售数量，是利润计算的基础。 单件利润公式 单件利润由售价减去成本得到，决定单件商品的盈利水平。 关系重要性 明确这两个核心关系是建立方程、解决销售问题的关键。 应用与拓展 方程建立 根据核心关系与题目条件，可列出方程求解未知量。 条件转化 将售价、成本、数量等条件代入公式，转化为数学关系。 问题分类 适用于求利润、定价、折扣、盈亏等各类销售场景问题。 1.销售利润问题核心关系 探索新知 核心关系解析总利润公式总利润等于单件利润乘以销售数量，是利润计算的基础。单件利润公式单件利润由售价减去成本得到，决定单件商品的盈利水平。关系重要性明确这两个核心关系是建立方程、解决销售问题的关键。应用与拓展方程建立根据核心关系与题目条件，可列出方程求解未知量。条件转化将售价、成本、数量等条件代入公式，转化为数学关系。问题分类适用于求利润、定价、折扣、盈亏等各类销售场景问题。销售利润问题核心关系 降价增销模型通过调整价格与销量的关系，分析总利润变化。适用于促销策略制定和利润最大化场景。 降价影响 每降价1元，单件利润减少，但销量按比例增加。需平衡降价幅度与利润。 销量变化 销量随降价线性增长，系数k表示每降1元多销售的件数。影响总利润计算。 利润优化 通过模型计算最优降价点，实现总利润最大化。常用于实际销售决策。 核心模型 总利润 = (原利润 - 降价额) × (原销量 + 销量增幅)。降价与销量线性相关，用于优化定价。 2.降价增销问题模型 降价增销模型通过调整价格与销量的关系，分析总利润变化。适用于促销策略制定和利润最大化场景。降价影响每降价1元，单件利润减少，但销量按比例增加。需平衡降价幅度与利润。销量变化销量随降价线性增长，系数k表示每降1元多销售的件数。影响总利润计算。利润优化通过模型计算最优降价点，实现总利润最大化。常用于实际销售决策。核心模型总利润 = (原利润 - 降价额) × (原销量 + 销量增幅)。降价与销量线性相关，用于优化定价。“降价增销”问题模型 例3一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 典例分析 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 1. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 选自教材第23页 练习 第1题 解：由题意，得 n(n−1)=10. 解方程，得 n1=5，n2= − 4（不合题意，舍去）. 答：共有5人参加聚会. 课堂练习 2一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个凸多边形的边数为n（n为正整数），则其对角线有 条. 当 = 20 时，解得 n1=8，n2= −5（不合题意，舍去）； 当 = 18 时，解得 n = （均不合题意，舍去）. 答：有20条对角线的凸多边形是八边形，不存在有这条对角线的多边形. 选自教材第23页 练习 第2题 课堂小结 1.单循环问题特征 2.双循环问题特征 3.销售利润问题核心关系 4.降价增销问题模型 课堂小结 1.某超市有一款成本价为 40 元玩具，如果每个玩具 按60 元销售，每天可卖出 20 个.若每个玩具售价每降低 5 元，日销售量增加 10个.若日销售利润保持不变，超市想尽快销售完该玩具，每个售价应定为多少元？ 课后作业 解：设每个玩具售价应定为 x 元，则每个的利润为 (x−40) 元，日销售量为 20 + = (140−2x) 个. 依题意，得(x−40)(140−2x)=(60−40)×20. 整理，得x2−110x+3000=0. 解得x1=50，x2=60（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元. $