25.3实际问题与一元二次方程 第1课时 数字问题与几何图形问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”第1课时，涵盖数字问题（两位数、连续整数）和几何图形问题（矩形道路、边框、动态几何），通过思维导图导入，衔接一元二次方程解法与实际应用，以“审设列解验答”六步法为支架，结合典例解析逐步构建知识脉络。 其亮点在于融入数形结合思想，通过平移法转化矩形道路问题、动态几何中用含t代数式表线段等，培养几何直观与模型意识。如例3用平移法将道路问题转化为新矩形面积方程，例5结合勾股定理解决动点距离问题，助力学生掌握建模方法，教师可依托系统流程与典例提升教学效率。

25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 数字问题与几何图形问题 思维导图 学习目标 1.掌握数字类应用题的等量关系构建方法，会用未知数表示连续整数、两位数、三位数。 2.掌握矩形、道路边框、无盖长方体、面积裁剪类几何问题的建模思路，能根据图形面积、周长公式列一元二次方程。 3.熟练运用直接开平方法、因式分解法、公式法解应用题方程，能根据实际意义舍去不符合题意的根。 4.通过审题、画图、标注边长，抽象几何图形数量关系，体会数形结合思想。 5.经历 “审题→设元→找等量关系→列方程→解方程→检验取舍” 完整应用题解题流程。 素养学习目标 复习回顾 解决实际问题的一般步骤： 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 通用建模六步法（审、设、列、解、验、答）是解决实际数学问题的系统性方法，每一步都至关重要，确保最终答案准确且符合实际. 数位表示原理 两位数由十位和个位组成，十位数字代表几个十，个位数字代表几个一。这是理解数字结构的基础。 通用表达式 若十位数字为a，个位数字为b，则该两位数可表示为10a+b。此表达式将数位关系转化为代数形式。 应用示例解析 例如，当a=3，b=5时，代入公式10×3+5，得到该数为35。此方法有助于建立方程解决数字问题。 1.数字问题基础--两位数的表示方法 探索新知 数位表示原理两位数由十位和个位组成，十位数字代表几个十，个位数字代表几个一。这是理解数字结构的基础。通用表达式若十位数字为a，个位数字为b，则该两位数可表示为10a+b。此表达式将数位关系转化为代数形式。应用示例解析例如，当a=3，b=5时，代入公式10×3+5，得到该数为35。此方法有助于建立方程解决数字问题。两位数的表示方法 解：设两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为x-3. 依题意，得 x²=10(x-3)+x解得 x1=5，x2=6. 当 x=5 时， x-3=2；当 x=6 时， x-3=3. 所以原来的两位数是25或36. 例1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小3，个位数字平方等于两位数，求这个两位数. 典例解析 连续整数表示法 设中间数为x，可表示三个连续整数为x-1、x、x+1。 差值固定为1 连续整数之间的差值恒为1，便于建立数量关系。 中间数为核心 以中间数为未知数，可方便推导出相邻两个数。 应用实例说明 例如x=5时，三个连续整数为4、5、6，清晰实用。 2.连续整数的表示 连续整数表示法设中间数为x，可表示三个连续整数为x-1、x、x+1。差值固定为1连续整数之间的差值恒为1，便于建立数量关系。中间数为核心以中间数为未知数，可方便推导出相邻两个数。应用实例说明例如x=5时，三个连续整数为4、5、6，清晰实用。连续整数的表示 例2 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x-1，x，x+1，其中x-1为正整数. 由勾股定理，得 （x-1）2 +x2 = (x+1)2. 解方程，得 x1=4，x2= 0（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 典例解析 矩形道路问题 问题核心 在矩形田地内修建等宽道路，需要根据剩余种植面积求解道路宽度。 核心公式 矩形面积计算公式为：面积等于长乘以宽，是建立方程的基础。 关键变量 设道路宽度为x，原矩形长和宽为已知量，用于构建新矩形。 平移法解析 方法本质 通过平移道路至矩形边缘，将复杂图形转化为规则的新矩形。 新矩形构建 新矩形长宽分别为原长宽减去2x（或x），具体取决于道路条数。 建立方程 根据新矩形面积等于剩余面积，列出关于x的方程进行求解。 1.矩形道路问题 探索新知 矩形道路问题问题核心在矩形田地内修建等宽道路，需要根据剩余种植面积求解道路宽度。核心公式矩形面积计算公式为：面积等于长乘以宽，是建立方程的基础。关键变量设道路宽度为x，原矩形长和宽为已知量，用于构建新矩形。平移法解析方法本质通过平移道路至矩形边缘，将复杂图形转化为规则的新矩形。新矩形构建新矩形长宽分别为原长宽减去2x（或x），具体取决于道路条数。建立方程根据新矩形面积等于剩余面积，列出关于x的方程进行求解。矩形道路问题 例3.如图，在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地面上修筑等宽的道路（图中黄色部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽. 解：设道路的宽为 x m. 平移转化 由题意得(20–x)(32–x)=540， 解得 x1=50（不符合题意，舍去），x2=2. 答：道路的宽为 2m. 典例解析 矩形镶边问题概述 矩形边框问题涉及为画作添加等宽边框，核心是建立含边框后大矩形面积与画作原始尺寸的关系。 关键变量设定 设边框宽度为x，则含边框的大矩形长等于画长加2x，宽等于画宽加2x，这是建立方程的基础。 面积关系与方程 根据矩形面积公式，可列出方程（画长+2x）乘以（画宽+2x）等于已知的大矩形总面积。 解题核心要点 解决此类问题的关键是准确理解边长变化是边框宽度的两倍，并据此正确列出和求解一元二次方程。 2.矩形边框问题 矩形镶边问题概述矩形边框问题涉及为画作添加等宽边框，核心是建立含边框后大矩形面积与画作原始尺寸的关系。关键变量设定设边框宽度为x，则含边框的大矩形长等于画长加2x，宽等于画宽加2x，这是建立方程的基础。面积关系与方程根据矩形面积公式，可列出方程（画长+2x）乘以（画宽+2x）等于已知的大矩形总面积。解题核心要点解决此类问题的关键是准确理解边长变化是边框宽度的两倍，并据此正确列出和求解一元二次方程。矩形边框问题 例4.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为 3m、宽为 2m 的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为 x m. （1）请用含 x 的式子分别表示挂画的长和宽； 解：由图可知挂画的长为(3+2x) m，宽为 (2+2x) m. 典例解析 例4.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为 3m、宽为 2m 的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为 x m. （2）若整幅挂画的面积是 12m2，求锦缎边饰的宽度. 解：由题意，得(3+2x)(2+2x)=12. 解得x1=0.5，x2= –3（不符合题意，舍去）. 答：锦缎边饰的宽度为 0.5m . 典例解析 问题概述 动点在线段上运动，构成三角形，其面积随时间变化。这是典型的动态几何与函数结合问题。 关键步骤 用含时间t的代数式表示相关线段的长度，再根据三角形面积公式建立面积与t的函数关系。 核心方法 综合运用几何知识与代数方法，通过建立方程来解决问题，准确把握动点的运动情况。 检验要点 必须检验求出的t值是否在动点运动的时间范围内，确保解的合理性，这是解题关键。 3.动态几何问题 问题概述动点在线段上运动，构成三角形，其面积随时间变化。这是典型的动态几何与函数结合问题。关键步骤用含时间t的代数式表示相关线段的长度，再根据三角形面积公式建立面积与t的函数关系。核心方法综合运用几何知识与代数方法，通过建立方程来解决问题，准确把握动点的运动情况。检验要点必须检验求出的t值是否在动点运动的时间范围内，确保解的合理性，这是解题关键。动态几何问题 例5.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点B为止，点Q以 2 cm/s 的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止. P，Q两点出发几秒时，点P 和点Q之间的距离是10 cm？ A D B C P Q 典例解析 A D B C P Q 解：设P，Q两点出发t s时，点P和点Q之间的距离是10 cm，则AP=3t cm，CQ=2t cm，DQ=(16–2t) cm. 如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E.当点P在点Q上方时，QE=DQ–AP=(16–5t) cm； 当点P在点Q下方时，QE=AP–DQ=(5t–16) cm. 在Rt△PQE中，QE2+PE2=PQ2， 即(16–5t)2+62=102，解得t1= ， t2= . 答：P，Q两点出发 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10 cm. E 典例解析 随堂练习 1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域？能围成一个面积为 101 m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设矩形的长为 x m，宽为 (20–x) m. 当矩形面积为 75 m2 时，x(20–x)=75， 解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）. 所以，矩形的长为 15 m，宽为 5 m 时，面积为 75 m2. 当矩形面积为 101 m2时，x(20–x)=101， 因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域. 选自教材第21页 练习 第1题 课堂巩固练习 解：设AE=x，则BE=4–x， 在Rt△ABC和Rt△BCE中， 由勾股定理，得 DE2=12+x2，CE2=12+(4–x)2. 若△DEC为直角，则DE2+CE2=CD2， 即1+x2+1+(4–x)2=42. 解方程，得x1=2+，x2=2–. 所以，AB上存在点E，即当 AE=2+或2–时，使∠DEC为直角. 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角. 选自教材第21页 练习 第2题 课堂小结 1.数字问题基础--两位数的表示方法 2.连续整数的表示 3.矩形道路问题 4.矩形边框问题 5.动态几何问题 课后小结 课后作业（基础+综合） 1.两个数的和是 26 ，积是 168 ，求这两个数. 解：设这两个数分别为 x，(26–x). 由题意，得 x(26–x)=168， 解方程，得 x1=14，x2=12. 当 x=14 时，26–x=12；当 x=12 时，26–x=14. 答：这两个数为12，14. 2.一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24. 求这两条直角边的长. 解：设直角三角形的一条直角边为 x ，则另一条直角边为(14–x). 由题意，得 x(14–x)=24，解方程，得x1=1，x2=8. 当 x=6 时，14–x=8；当 x=8 时，14–x=6. 答：这两条直角边的长分别为 8，6. 3. 一个菱形的两条对角线长之和是10，面积是12. 求这个菱形的周长. 综合运用 解：设菱形的一条对角线长为 x，则另一条对角线长为(10–x). 由菱形的性质，可知 x(10–x)=12， 解方程，得x1=4，x2=6. 当 x=4 时，10–x=6；当 x=6 时，10–x=4. 所以菱形的的对角所以菱形的的对角线长分别为 4，6，则菱形的边长为 = . 答：菱形的周长为 4 . 4.如图，要为长 22cm，宽 29cm 的照片配相框，要求相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位） 解：设相框边的宽度为 x cm. 根据题意，得(29+2x)(22+2x)–22×29= ×29×22. 整理，得 8x2+204x–319=0， 解得 x1≈1.5，x2≈ –27.0（不合题意，舍去）. 答：相框边的宽度约是 1.5 cm. $