25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦传播问题与平均变化率问题，通过传染病传播实例导入，衔接一元二次方程解法，以问题分析、等量关系总结及公式归纳（a(1+x)^n=b）搭建学习支架，帮助学生掌握实际应用。 其亮点在于用生活实例驱动探究，培养数学眼光，通过列方程与解的检验发展数学思维，总结公式强化数学语言表达。如传染病传播分析、成本下降率对比，助力学生理解应用，教师可高效教学。

第二十五章 一元二次方程 2026人教版·九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播问题与平均变化率问题 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤. 3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 学习目标 我们在新闻里经常看到传染病传播的报道，比如流感、诺如病毒，它们的传播速度非常快. 大家有没有想过：为什么一个人得病，很快就会有一群人被传染？ 这里面隐藏着什么数学规律？让我们一起探讨吧！ 课堂导入 新知探究 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人. 开始有 1 个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x 个人， 用代数式表示，第一轮后共有________个人被传染； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人， 用代数式表示，第二轮后共有_____________个人被传染. (1+x) [1+x+x(1+x)] 解：列方程 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 x1​=10，x2​=−12 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 新知探究 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 新知探究 思考 (1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数 (1 + x)3 分析 3 轮传染后的人数是:(1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人). (2) n 轮传染后有多少人患流感? (1 + x) + … + x(1 + x)n = (1 + x)n人 (1 + x)1 (1 + x)2 常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： a为传染源数量 x为每轮平均1个传染源传播的数量 n为传播的轮顺 b为现有传染后感染总量 新知小结 传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数. a(1+x)n=b a x n b 即时即练 1. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，设该群一共有x个人，则可列方程是 （　D　） D A. B. C. D. 探究2 两年前生产1t 甲种食品的成本是10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种食品的成本是6000 元，生产1t 乙种食品的成本是7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 新知探究 （1）甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？ 甲种食品成本年平均下降额是： （10000-6000）÷2=2000（元）， 乙种食品成本年平均下降额是： （12000-7200）÷2=2400（元）. 乙种食品成本年平均下降额大 新知探究 探究2 两年前生产1t 甲种食品的成本是10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种食品的成本是6000 元，生产1t 乙种食品的成本是7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ （2）平均下降额与下降率有什么不同？ 平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值 下降率是下降的成本与前一年成本的比值. 下降率 = ×100% 下降前的量 –下降后的量 下降前的量 （3）下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？ 新知探究 下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率） 新知探究 （4）怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较大？ 可以分别求出两种食品品成本的年平均下降率，再进行比较. 设甲种食品成本的年平均下降率为x . 甲的初始成本 一年后的成本 二年后的成本 可列方程：10000(1–x)2=6000， 10000 10000(1–x) 10000(1–x)2 新知探究 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 依题意，得 10000(1–x)2=6000， 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 设乙种食品成本的年平均下降率为 y . 依题意，得 12000(1–y)2=7200， 解方程，得y1≈0.225，y2≈1.774. 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 两种食品成本的年平均下降率相等. （5）经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 新知探究 关于平均增长（下降）率问题，设基数为a，平均增长（下降）率为x，增长（下降）n次后的量为b，则 一次增长 （下降）后的值 两次增长 （下降）后的值 … n 次增长 （下降）后的值 列方程 … a(1±x) a(1±x)2 a(1±x)n a(1±x)n=b 新知小结 2．某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% B 即时即练 课堂小结 传播、平均变化率问题 传播问题：a(1+x)n=b 平均变化率问题：a(1±x)n=b 课堂练习 1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支. 根据题意，得 1+x+x2=91，解得 x1=9，x2= –10（舍去）. 答：每个支干长出9个小分支. （选自教材第22页 练习 第1题） 树干问题中的基本数量关系：树干问题中主干长出n个支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行分支，第二轮有n2个支干，总共有(1+n+n2)个支干. 课堂练习 （选自教材第22页 练习 第2题） 2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产15000 kg，两年后平均每公顷产18000 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位） 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x . 根据题意，知 15000(1+x)2=18000. 解得 x1≈ 0.10，x2 ≈ –2.10（不合题意，舍去）， 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为10%. 下 课 $