云南昆明市第三中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

**基本信息** 以向量、解三角形为核心，融合水车文化传承与海警巡航现实应用情境，通过梯度设计考查抽象能力、运算推理与模型意识，适配高一下学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、复数共轭、解三角形|第8题水车问题结合三角函数，培养数学眼光| |多选题|3/18|基底判断、重心性质、三角形形状|第10题考三点共线与重心向量式，强化推理能力| |填空题|3/15|三角求值、投影向量、面积最值|第14题中点最值问题，体现空间观念| |解答题|5/77|向量垂直、实际应用（海警巡航）、周长范围|第17题海警巡航情境，考查解三角形建模，落实应用意识|

昆明市第三中学高2026届高一下学期4月月考 数学学科能力测试参考答案 一单选题 题号 1 2 3 5 6 个 8 答案 D A C C 公 A D c 二多选题 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 三填空题 题号 12 13 14 2 答案 /1015 3 13'13 25 四解答题 15.解：(1)由题意可得，AB=(-4,-),BC=(2m-1,m), 且A、B、C三点共线， 则可得石C,副4n-(2m-)=0,解得m=: (2)由题意可得，a-6=(（-k-2,-1),ā+26=(3,2)， 因为ka-b与ā+2b垂直， 则可得3(-k-2)+2x)=0,解得k=-8 31 16解：(1)：1a1=1,3a-2b1=V3:且a,6的夹角为 .(3a-2bP=9a2+4B2-121alb1cs=41bP-61b1+9=13, 3 解得61=2或合去.1=2 ()=1,2.ab=lallblcos1. 好好 (2a-b)(a-2b)=2a2-5ab+2b2=2-5+8=5 12a-b=V(2a-b2=V4-4+4=21 |a-2b1=V(a-2b2=V1-4+16=13 设2a-b和a-2b的夹角为0， 则cos0=(2a-b-(a-2b)_ 5-513 好好好 |2a-b1a-2b 2V1326 17.解：(1)由己知可得CD=40×}=20, △BDC中，根据余弦定理求得co5∠BDC=21+20-31_-1 2×21×20=7: .sin∠BDC=43 7 (2)由已知可得∠BAD=20°+40°=60°， ∴sin∠ABD=sin(∠BDc-60)=4y3x-(-×5_53 72 7 214 △ABD中，由正弦定理可得AD=BD x sin ABD-21×5 sinABD=15, sin∠BAD sin∠BAD t=5×60=2.5分钟. 40 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A. As 18.解：(1)3：(2) (3+35,9 2V13 19.解：(1)由正弦定理得PA=_PC一，即sinC】,解得sinC= 3 sinC sin∠CAP 2 13 2)因为咖C= 13,所以cosC=V-sin2c-239 13, 因为4P=2,PC=V3,∠CAP=2π_T=” 326 所以在△ACP中由余弦定理可得PC2=AP2+AC2-2AP,ACcos∠CAP, 所以l13=4+AC2-4x3 ,解得AC=33, sinB=sin(∠BAC+C)=sin∠BACcosC+cos∠BACsinC=5 26, BC 33 BC AC 在三角形ABC中由正弦定理得： sinB4云=。，则226， BC=913 解 5,所 以PB=BC-PC=4E 5 (3)设 ABP=0则∠4CB-胥-0，由于P )'则BP=AP 2 AP=2 sine sin B M AP PC 1 PC=- 在 中由正弦定理得：sin △ACP 过A点做BC的垂线，交BC于M点，设三角形的面积为S, 厕ZPAM+∠BAM=∠ABM+∠BAM=2,所8 ZPAM-Z4BM=0 所以AM=APcos0=2cos0」 2×AMx BC=cosO 所以S= 2 3 cos0 cos0. sin 30 sin sin0-in √3cos0 5 3 83 =c0s0. sinocos-sin 3 tan 0--tan20 =1 3 2 2 、2 2 8 8v5 即三角形ABC面积的最大值为3· 机密★考试结束前 【考试时间：4月7日8:00—10:00】 昆明市第三中学高2026届高一下学期4月月考 数学学科能力测试 考试时间120分钟，满分150分 命题人：秦颖 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，符合题目仅有一项） 1.已知向量,，且，则实数(   ) A. B. C. D. 2.在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 3.若复数满足，则的共轭复数的虚部为(   ) A. B. C. D. 4.在梯形中，已知，，点在线段上，且，则(   ) A. B. C. D. 5.两个大小相等的共点力，，当它们的夹角为时，合力的大小为，则当它们的夹角为时，合力的大小为(   ) A. B. C. D. 6.在中，已知，是的平分线，，则(   ) A. B. C. D. 7. 如图，四边形是边长为8的正方形，若，且为的中点， 则(   ) A. 35 B. C. D. 8.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足 ．则下列叙述错误的是(   ) A. B. 当 时，点到轴的距离的最大值为 C. 当(3)时， D. 当时， 二. 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求） 9.已知复数满足是虚数单位，则下列关于复数的结论正确的是(    ) A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第三象限 D. 复数是方程的一个根 10.下列说法正确的是(    ) A. ，不能作为平面的一个基底 B. 已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则 C. 若点是的重心，O为平面内任一点，则一定有 D. 已知，且与夹角为锐角，则 11.在中，角的对边分别是，下列说法正确的是(    ) A. 若，则形状不唯一 B. 是的充要条件 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角C为 三. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若 ,则 ． 13.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为      ． 14．已知中的三个角，，满足，面积，，是的中点，当最小时AC= . 四. 解答题（本大题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分） 已知. （1）若，且三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直？ 16.（本小题15分） 已知平面向量，满足，，且，的夹角为． （1）求的值； （2）求和夹角的余弦值． 17．（本小题15分） 如图所示，某渔船队在岛周围海域作业，在岛的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向该渔船队靠近，现测得与相距海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以海里每小时的速度向岛直线航行以保护渔船队，分钟后到达处，此时观测站测得，间的距离为海里． （1）求的值； （2）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？ 18．（本小题17分） 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角A的大小； (2)若，试求周长的取值范围. 19．（本小题17分） 如图，在中，，点P在边BC上，且． （1）若，求的值； （2）若，求PB﹔ （3）求面积的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $昆明市第三中学高2026届高一下学期4月月考 数学学科能力测试参考答案 一单选题 题号 1 2 6 8 答案 D A B A D 二多选题 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 三填空题 题号 12 13 14 答案 2-3 总 2W5 四解答题 15.解：(1)由题意可得，AB=（-4,-1),BC=(21-1,), 且A、B、C三点共线， 则可得AB/BC,即4m-(2m-1)(-1)=0,解得m=-】 (2)由题意可得，ka-b=(-k-2,-1),ā+2b=(3,2), 因为ka-b与ā+2b垂直， 则可得3(k-2)+2x(-)=0,解得k= 3 16.解：(1)d=1,3a-2=V13,且a,的夹角为 (3a-22=92+462-12同阿c0s5=402-66+9=13, 解得=2或-（舍去），=2： (2)a=1,阿i=2,a·i=cos5=1, (2a-万·d-2万=2a-5a.i+2i=2-5+8=5, 12a-=√(2-万2=V4-4+4=2, a-2=、d-22=√1-4+16=√13， 设2a-b和a-2b的夹角为6， 则c0s0=2a-可d-20=5-5v压 12a-b11a-2M=2√13=26 17.解：(1)由已知可得CD=40×)=20, △BDC中，根据余弦定理求得c0s∠BDC=212+202-312 1 2×21×20 二一7 .sinBDC =43 71 (2)由己知可得∠BAD=20°+40°=60°， sinABD=-sin(BDC--609)-x分-(-力)×号-50 214 △ABD中，由正弦定理可得AD=BDxsin∠ABD-21 sin LABD=15, sin∠BAD sin∠BAD “t=岩x60=225分钟. 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A. 18.解：(1)A=写：26+35，] 1及部由正弦定理得总CD即c PC 2V13 解得sinC=3 13 2 (2)因为imc-压，所以cosc--nc-25 13 13 因为AP=2,PC=3,∠CAP=2r”_元 326 所以在△ACP中由余弦定理可得PC2=AP+AC2-2AP.4C cos.∠CAP, 所以13=4+4C-45AC,解得AC=35, 2 sinB=sin(∠BAC+C)片sim∠B4CcosC+cos∠BACsinC--5VE 26 BC AC BC 33 在三角形ABC中由正弦定理得： snZ∠BAC-sin B:则V55M3, 2 26 解得BC-95,所以PB=BC-C=4M5: 5 5 (3)设∠ABP=0,则∠ACB=0,由于AP=2,则BP=AP 2 3 sin sine AP PC 1 PC=- 在△ACP中由正弦定理得： -sin30°，解得 sin 3 过A点做BC的垂线，交BC于M点，设三角形的面积为S, 则∠PAM+∠BAM=∠ABM+∠BAM=5,所以∠PaM=ABM=0, 所以AM=AP cos0=2c0s0, 所以=xAMxBC=cosO 1 √3co9 X =c0s0 sine sin -8 sine.sin-0 3 3 √3cos0 B r 、83 =c0s8.- 5 sine.cos-sin tane-Itan201 ，33 2 2 2 2 tano 33 2 8 即三角形ABC面积的最大值为8N 3机密★考试结束前 【考试时间：4月7日8：00一10：00】 昆明市第三中学高2026届高一下学期4月月考 数学学科能力测试 考试时间120分钟，满分150分 命题人：秦颖 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅 笔认真填涂考号。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，符合题目仅有一项） 1.已知向量a=(2,t),b=(-1,2),且a/b,则实数t=() A.1 B.4 C.-1 D.-4 2.在△ABC中，AB=2,AC=3,B=60°，则sinC等于() A.3 D. √6 3 B.6 3 c.3 2 2 3.若复数z满足z+i-3=3-i,则z的共轭复数的虚部为() A.2 B.2i C.-2 D.-2i 4.在梯形ABCD中，己知AB/CD,AB=2DC,点P在线段BC上，且BP=2PC,则() A.AP=AB+号AD B.AP=AB+AD 0 C.AD=AP-A丽 D.A而=AF-AB 5.两个大小相等的共点力F,F,当它们的夹角为90时，合力的大小为20N,则当它们的夹角为120°时， 合力的大小为() A.40W B.10v2N C.20v2N D.√10W 6.在△ABC中，己知B=2A,CD是LACB的平分线，S△4cD:S△BCD=4:3,则cosA=() A B c D是 第1页共4页 7.如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，若D正=DC,且P为BC的中点，D 4 则EAEF=() A.35 B.16 C.10 D.20 4 8水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如 图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3V3,一3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用 时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(&，y),其纵坐标满足y=ft)=Rsin(ωt+p) (t≥0，ω>0，p|<).则下列叙述错误的是() AR=6,ω=0,0=-若 B.当t∈35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C.当水斗的坐标是(-33，-3)时，t=60k-25k∈N) D.当t=20时，IPA|=6V3 二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求) 9.已知复数z满足(1一)z=2i(1是虚数单位)，则下列关于复数z的结论正确的是() A.lz=√2 B.复数z的共轭复数为z=-1-i C.复平面内表示复数z的点位于第三象限 D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根 10.下列说法正确的是() A.石=(2，-3)，万=(，-孕)不能作为平面的一个基底 B.己知A,B,C三点不共线，B,C,M三点共线，若AM=xAB+(2x-1)AC,则x= C.若点G是△ABC的重心，O为平面内任一点，则一定有30G=OA+OB+OC D.已知a=(1,2),万=(1,1)且a与a+6夹角为锐角，则1∈(-3，+∞) 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的是（) A.若A=30°，b=5,a=3,则△ABC形状不唯一 B.a>b是sinA>sinB的充要条件 C.若a-b=c·cosB-c·cosA,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 D.若△ABC的面积为 a2+b2-c2 4一，则角C为 4 第2页共4页 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若：=-1+V3,则 13.已知向量d=(1,1),万=(2,3)，则a在b方向上的投影向量的坐标为一 14.己知4ABC中的三个角A,B,C满足2cos24,cosB+cos(A+C)=sim(A-B)sinB,面积S44Bc=6, 2 M是BC的中点，当AM最小时AC= 四.解答题（本大题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 已知a=(-1,0),b=(2,1) (1)若AB=2a-b,BC=a+b且A、B、C三点共线，求m的值. (2)当实数k为何值时，ka-b与d+2b垂直？ 16.(本小题15分) 已知平面向量，满足向=1,3a-2方=√13，且石，的夹角为好 (1)求61的值： (2)求2a-b和-2b夹角的余弦值. 17.(本小题15分) 如图所示，某渔船队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现 有不明船只向该渔船队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西 40°方向，以40海里每小时的速度向岛A直线航行以保护渔船队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B, D间的距离为21海里. 北 →东 (1)求sin/BDC的值： (2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A? 21 31 第3页共4页 18.(本小题17分) 己知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,btanB+btanA=2 ctanB. (1)求角A的大小： (2)若a=3,试求△ABC周长的取值范围. 19.(本小题17分) 图，在AABC中，∠BAC=,点P在边BC上，且APLAB,4P (1)若PC=V3,求sinC的值； (2)若PC=13,求PB: (3)求△ABC面积的最小值. 第4页共4页