精品解析：云南昭通市盐津县第二中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

盐津县第二中学2026年春季学期高一年级第一次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，其中a，b是实数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值 8. 某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ） A. z在复平面内对应的点位于第二象限 B. z的虚部为 C. z的共轭复数为 D. 若复数，则 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数是周期为4的周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则实数的值为______. 13. 若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 14. 如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数． （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z为虚数，求实数m的取值范围． 16. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 已知函数(，，)的部分图象如图所示. （1）求的解析式和对称中心坐标； （2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值及对应的的值. 18. 如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，． （1）若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标； （2）若，用，表示，并求出实数的值． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，． （1）求角A； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐津县第二中学2026年春季学期高一年级第一次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，其中a，b是实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等即可求出结果. 【详解】因为，即， 则，即， 故选：B. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和并集概念求出答案. 【详解】，又， 故. 故选：D 3. 已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得,故. 故选：C 4. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 5. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，， 由，得，即，得到或， 所以由可以推出，但推不出， 所以“”是“”的必要不充分条件． 6. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】设为向量，的夹角，因为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 7. 已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数过定点的性质通过待定系数法求参数关系，再利用渐近线特征确定参数具体值，最后结合绝对值与指数函数的单调性分析最值即可. 【详解】因为函数的图象过原点，得： ，所以，即. 因为， 所以当时，，此时， 又因为函数图象无限接近直线但不相交， 因此：，又因为，得. 则， 因为，得，则， 所以：， 所以：， 即函数无最大值，最小值为0. 故选：B. 8. 某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解. 【详解】法一：设，， 则，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中， （其中）， 所以当时，所以最小值为． 法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的直径为， 由圆周角的性质可得，所以，． 连接，可得（当为与圆的交点时取等号）． 在中，，，， 根据余弦定理可知， 即，所以的最小值为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ） A. z在复平面内对应的点位于第二象限 B. z的虚部为 C. z的共轭复数为 D. 若复数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】先应用复数的除法计算化简判断A，B，应用共轭复数定义判断C，先应用复数的减法化简再应用模长公式计算求解判断D. 【详解】， z在复平面内对应的点为,位于第三象限，A错误； 的虚部为，B正确； z的共轭复数为，C错误； 因为， 所以，所以，D正确. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数是周期为4的周期函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，令结合条件可得解；对B，令结合偶函数定义可判断；对C，令，可得，，联立并化简可得即可推出周期判断；对D，令，得，用代替，得，相加运算得解. 【详解】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得， 用代替，得， ，由可得， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再建立方程求解参数即可. 【详解】因为复数， 且只能是实数才能比较大小，所以为实数， 得到，解得，即实数的值为. 故答案为：2 13. 若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 14. 如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用含的式子表示出的坐标，从而的最大值可转化为关于的二次函数在闭区间上的最大值问题. 【详解】以A为原点，AB，AD分别为x，y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 设，， ∴，，，， ∴， 当时，最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数． （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z为虚数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2）且 【解析】 【小问1详解】 当且，且时，复数为纯虚数， 由，得或， 由，且得且， 所以当或时，复数为纯虚数． 【小问2详解】 当且时，复数为虚数， 解得且，所以当且时，复数为虚数 16. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. 【小问1详解】 由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. 【小问2详解】 依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数(，，)的部分图象如图所示. （1）求的解析式和对称中心坐标； （2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值及对应的的值. 【答案】（1），对称中心的坐标为，；（2）时，取得最小值；时，取得最大值. 【解析】 【分析】（1）由图象可求，，，利用周期公式可得，由图象及五点法作图可求，即可得解的函数解析式，令，，解得的对称中心的坐标． （2）由已知的图象变换过程可得，结合的范围，可求，，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解． 【详解】解：（1）由图象可知，可得：，， 又由于，可得：，所以， 由图象及五点法作图可知：，所以， 所以. 令，，得，， 所以的对称中心的坐标为，. （2）将的图象向左平移个单位，得到； 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到； 将图象向上平移1个单位，得到， 即， 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值. 18. 如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，． （1）若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标； （2）若，用，表示，并求出实数的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，然后可算出答案； （2）根据平面向量的线性运算可用，表示，然后可得，然后由点B，P，D共线可得，即可求出实数的值． 【小问1详解】 ，易得， 又因为E是CD的中点，所以， 故， 则与同向共线单位向量，坐标为 【小问2详解】 因为，所以 又因为，所以 又因为，所以，又因为点B，P，D共线 ，故 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，． （1）求角A； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与和角公式推理计算即可. （2）利用余弦定理结合三角形面积公式得到，再结合题意求解即可. （3）利用余弦定理，推理求出，将恒成立转化为在上恒成立问题，求出在上的最小值即可. 【小问1详解】 由可得， 由正弦定理得， 即． 因为， 所以， 因为，则，故，得． 【小问2详解】 由，可得的三个内角均小于， 又点为的费马点， 则， 由，可得， 由余弦定理可得， 所以，所以． 又， 故， 可得． 所以． 【小问3详解】 在中，由余弦定理得，即①． 设，，．由（2）知②． 分别在，，中， 由余弦定理得， 将三个等式左右分别相加得， 将①②代入整理得， 于是， 从而． 依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 故有，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $