第01讲 集合及其运算（复习讲义）--2027届高考数学一轮复习专项讲义（全国通用）

该高中数学讲义围绕集合及其运算高考核心考点，涵盖元素与集合关系、集合基本关系、交并补运算等内容，按考情分析、思维导图、分考点知识梳理（含典例与变式）、链接高考的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导（如空集处理、互异性检验）、真题训练等环节，帮助学生系统突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于采用分层练习设计（典例+变式题）和直观工具辅助（数轴、Venn图），如分析子集关系时强调空集特殊情况，培养学生几何直观与推理能力。通过近三年真题演练，确保学生在有限时间内掌握解题策略，既提升学生应考能力，也为教师精准把控复习节奏提供有效指导。

一轮复习启幕，高考数学攻坚，全力以赴备战高考！ 1.1 集合及其运算 1. 高考全国考情分析 2. 思维导图 3. 知识梳理与重难突破 4. 链接高考 高考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 集合及其运算是高考数学必考基础考点，一般以单项选择题形式出现，分值 5 分，卷面占比约 3%，极少单独出现在填空题与解答题中，有时会作为解题条件融入其他题目，考题主要考查集合元素的特性、集合间的相互关系以及交、并、补的集合运算，常和不等式、函数定义域值域简单综合，解题常运用数轴、Venn 图辅助分析，整体题目难度较低，但容易在空集、元素互异性、端点取值处设置陷阱，属于必须拿到的基础分数。 2、核心考查内容： 元素与集合、集合的基本关系、集合的交集，并集，补集运算。 （1）元素与集合：掌握元素与集合的属于、不属于关系，理解集合元素的确定性、互异性、无序性，会识别列举法与描述法表示的集合。 （2）集合的基本关系：理解子集、真子集、集合相等的含义，特别关注空集的性质，能判断集合之间的包含关系，会计算子集个数。 （3）集合的交集、并集、补集运算：理解交、并、补的定义，会借助 Venn 图、数轴完成集合运算，处理与不等式相结合的集合计算问题。 3、备考策略： （1）吃透集合基本性质：牢记集合元素确定性、互异性、无序性，求解参数后务必检验互异性，排除不符合题意的解。 （2）重视空集特殊情况：分析子集、包含关系问题时，不能忽略空集，空集是任何集合的子集。 （3）熟练集合运算方法：掌握交集、并集、补集运算，遇到不等式型集合，善用数轴、Venn 图辅助解题，注意区间端点能否取到。 （4）强化综合题型训练：多练习与不等式、函数定义域值域结合的考题，熟悉高考常见命题形式。 （5）规避审题易错陷阱：认真审题，区分全集、子集等条件，该题为基础送分题，力争做到不失误、不丢分。 思维导图 A B C LOREM LOREM LOREM 知识梳理与重难突破 A B C LOREM LOREM LOREM 【考点一】元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作 ； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 【典例1】（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】， ， ，即中的元素个数为. 【变式1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】就或或分类讨论后可求实数的和. 【详解】由可得函数图象关于直线对称． 因为集合中恰有两个元素， 故或或， 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 所以所有满足条件的实数的和为． 【变式1-2】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【考点二】集合的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【典例1】（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 【变式1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】C 【分析】应用已知得出列式，再分类讨论计算求解参数. 【详解】设. 则，，，. 对两边集合中的所有元素同时减去，题设等价于. 要使两集合相等，右侧集合中必须含有0. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，相等. 因此. 【变式1-2】（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 【考点三】集合的交集，并集，补集运算 1．集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 2．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【典例1】（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出. 【详解】，则，得. ，则，得 所以. 【变式1-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解集合，再由集合的并集求解即可. 【详解】因为，或，所以或. 【变式1-2】（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解集合、实数集下的补集与集合，再计算二者的交集即可得到结果. 【详解】因为，即集合，所以； 由，整理得，等价为，解得， 所以集合， 所以. 链接高考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 2． （2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 3．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 4．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 8．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 10．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 11．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 12．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 13．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 14．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则______． 【答案】 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 15．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由如下： 假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. (3)证明： 法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设， . 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在， 使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反， 故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点， 所以，得. 从而有. 这就得到. 再设， . 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）不能，理由略； （3）略. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一轮复习启幕，高考数学攻坚，全力以赴备战高考！ 1.1 集合及其运算 1. 高考全国考情分析 2. 思维导图 3. 知识梳理与重难突破 4. 链接高考 高考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 集合及其运算是高考数学必考基础考点，一般以单项选择题形式出现，分值 5 分，卷面占比约 3%，极少单独出现在填空题与解答题中，有时会作为解题条件融入其他题目，考题主要考查集合元素的特性、集合间的相互关系以及交、并、补的集合运算，常和不等式、函数定义域值域简单综合，解题常运用数轴、Venn 图辅助分析，整体题目难度较低，但容易在空集、元素互异性、端点取值处设置陷阱，属于必须拿到的基础分数。 2、核心考查内容： 元素与集合、集合的基本关系、集合的交集，并集，补集运算。 （1）元素与集合：掌握元素与集合的属于、不属于关系，理解集合元素的确定性、互异性、无序性，会识别列举法与描述法表示的集合。 （2）集合的基本关系：理解子集、真子集、集合相等的含义，特别关注空集的性质，能判断集合之间的包含关系，会计算子集个数。 （3）集合的交集、并集、补集运算：理解交、并、补的定义，会借助 Venn 图、数轴完成集合运算，处理与不等式相结合的集合计算问题。 3、备考策略： （1）吃透集合基本性质：牢记集合元素确定性、互异性、无序性，求解参数后务必检验互异性，排除不符合题意的解。 （2）重视空集特殊情况：分析子集、包含关系问题时，不能忽略空集，空集是任何集合的子集。 （3）熟练集合运算方法：掌握交集、并集、补集运算，遇到不等式型集合，善用数轴、Venn 图辅助解题，注意区间端点能否取到。 （4）强化综合题型训练：多练习与不等式、函数定义域值域结合的考题，熟悉高考常见命题形式。 （5）规避审题易错陷阱：认真审题，区分全集、子集等条件，该题为基础送分题，力争做到不失误、不丢分。 思维导图 A B C LOREM LOREM LOREM 知识梳理与重难突破 A B C LOREM LOREM LOREM 【考点一】元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作 ； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 【典例1】（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【考点二】集合的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【典例1】（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【变式1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【变式1-2】（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【考点三】集合的交集，并集，补集运算 1．集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 2．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【典例1】（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·北京·三模）已知集合，，则（     ）． A． B． C． D． 链接高考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2． （2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 10．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 12．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 13．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 14．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则______． 15．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $