第01讲集合的概念、关系及运算（知识清单+5典例精讲+3方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

第01讲集合的概念、关系及运算 （知识清单+5典例精讲+3方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 集合交集运算、一元二次不等式解集 单项选择题 5 集合并集、补集综合运算 单项选择题 5 有限集交集、元素特征 单项选择题 5 集合交并运算、区间集合 单项选择题 5 集合交集、绝对值不等式解集 单项选择题 5 集合子集关系、参数范围 单项选择题 5 补集与交集综合、二次不等式 单项选择题 5 有限集并集运算 单项选择题 5 集合交集、简单函数定义域集合 单项选择题 5 集合补集、元素个数计算 单项选择题 5 区间集合交并综合运算 单项选择题 5 集合包含关系、参数取值 单项选择题 5 【知识点01】集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【例题1】已知集合，若，求实数的值。 解：由，结合集合元素的确定性，分三种情况讨论： 当时，集合，元素满足确定性、互异性、无序性，符合题意； 当时，解得： 若，集合，元素重复，违背互异性，舍去； 若，集合，元素满足互异性，符合题意。 综上： 或 【知识点02】集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【例题2】设，，若，求的取值范围。 解：利用数轴法分析子集关系，结合端点取舍规则（包含用，不包含用），可得： 解不等式组，得： 故的取值范围为 【知识点03】集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【例题3】设全集，，，求：。 解：结合数轴法进行交、并、补运算： . 【题型一】集合的概念 【例1】（2025·黑龙江·模拟预测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，0是自然数，，故A错误； 对于B，不是有理数，，故B错误； 对于C，Z是整数集，Q是有理数集，Z是Q的子集，故C错误； 对于D，是方程的解集，，故D正确. 故选：D. 【例2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 【例3】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则______. 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 【变式1】（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 【变式2】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 【题型二】集合的表示法 【例4】（2026·吉林延边·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，可得， 根据集合交集的定义与运算，可得. 【例5】（2026·四川宜宾·一模）已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________. 【答案】80 【分析】根据题意利用列举法表示集合，进而求集合的元素之和. 【详解】因为集合， 集合， 可得，所以集合的元素之和为. 故答案为：80. 【例6】（2024·山东菏泽·二模）已知，集合．则集合中所有元素之和为____________． 【答案】5 【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和． 【详解】由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 【变式1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知集合， ， ． 【变式2】（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为__________． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 【变式3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为______． 【答案】 【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值. 【详解】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 【题型三】集合间基本关系 【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【例8】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 【例9】（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为 【变式1】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由子集的定义，解不等式可得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【分析】化简集合，根据“集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解. 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 【题型四】集合的基本运算 【例11】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 【例12】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 【例13】（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 【答案】 【详解】，，， 满足条件的集合的个数为. 【变式1】（2026·广东深圳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，. 【变式2】（多选）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误. 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______． 【答案】 【分析】根据集合交并补的运算结果以及集合间的关系求解即可. 【详解】由，则，又，所以. 故答案为：. 【题型五】集合运算与不等式综合 【例14】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 【例15】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，则_______． 【答案】 【分析】先求出集合A，再结合集合并集的概念求解即可. 【详解】由题意知，， 所以． 故答案为： 【例16】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或； (2) 【分析】（1）求定义域得集合，解不等式得集合，再由交集合的运算法则计算； （2）分，，解不等式得集合，根据充分条件的定义列不等式组求解． 【详解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， 又或， 所以或或； （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 又且， 当时，，满足题意， 当时，， 所以或，结合解得，， 当时，， 所以，得. 综上，实数的取值范围为. 【变式1】（2026·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则. 【变式2】（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则__________． 【答案】0 【分析】由题意可得和2是方程的两根，利用根与系数的关系求得，可求的值. 【详解】由得，，因为或， 所以，所以和2是方程的两根， 所以，解得，所以． 故答案为：. 【变式3】（2024·宁夏·模拟预测）已知集合. (1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参. 【详解】（1）由题意知， 解不等式，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 所以且等号不同时成立，     解得，即的取值范围是； （2）因为，所以在上有解， 所以， 令，则， 所以，即的取值范围是. 【解题大招】元素互异性验证法（规避低级失分） 【例题1】已知集合，若，求实数的值。 解析：（互异性验证步骤）① 由分情况讨论：或；② 求出参数：、、；③ 代回验证：时集合元素重复，舍去；④ 确定答案。 解答：当时，，满足互异性；当时，，满足互异性；舍去。故或。 【解题大招】数轴法（万能解题法，高考首选） 【例题2】设，，若，求的取值范围。 解析：（数轴法步骤）① 画出数轴，标注集合的区间；② 结合，将的区间放在内部；③ 确定端点约束条件，列不等式组；④ 求解不等式组，得出范围。 解答：由数轴分析，得，解得，故的取值范围为。 【解题大招】空集优先法（子集含参易错点突破） 【例题3】设，，若，求的取值范围。 解析：（空集优先步骤）① 讨论：，解得；② 讨论：列不等式组，解得；③ 合并两种情况，得出最终范围。 解答：综上，的取值范围为。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（2026·河北衡水·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，或，所以 二、多选题 4．（2026·湖北十堰·一模）已知集合，若集合满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若， 满足，符合题意，故A正确； 对于选项B：若， 则，不符合题意，故B错误； 对于选项C：若， 满足，符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 则，不符合题意，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 5．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据集合元素互异性可得，由可得，然后分类讨论即可求得参数. 【详解】由题知，， 因为，所以， 则当时，，而； 当时，(舍)或， 所以或. 故答案为：或 6．（2025·山东潍坊·一模）已知集合，，若，则实数________． 【答案】或2 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值. 【详解】因为，所以. 根据集合中元素的互异性，可知且. 若，此时，，满足. 若或（舍去）. 此时，，满足. 综上或2. 故答案为：或2 7．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. 【答案】 【分析】由交、并、补集的定义求解即可. 【详解】 ，所以. 故答案为： 四、解答题 8．（2025·河南·模拟预测）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性化简，即可由交集的定义求解， （2）根据，对讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 所以． （2）由，可得． 因为， 所以当时，，解得，满足题意； 当时，解得． 综上，的取值范围为． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 二、多选题 3．（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】易知，即. ，即. A.，成立. B.因为，所以，不成立. C.或， ，成立. D.或， 或，成立. 三、填空题 4．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【分析】设，则，利用二项式展开，根据等式左侧为3的倍数，右侧也为3的倍数可得答案. 【详解】设， 则， 等式左侧为3的倍数，为3的倍数， 所以也为3的倍数， 故为大于1的奇数，所以. 故答案为：. 5．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 四、解答题 6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和两种情况讨论即可； （2）由p是q的充分不必要条件可得真包含于，根据包含关系列出不等式组即可. 【详解】（1）由可得， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且， 由可得，解得， 又（即且）无解，故恒成立， 所以实数的取值范围是. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，故，， 故. 2．（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，所以，故A正确； 对于任意，则，又，所以，所以，故B正确； 若，则，又，则，则， 与矛盾，所以，同理，，故，故C正确； 若时，可得不成立，故D错误. 二、多选题 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 三、填空题 4．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据条件，逐一讨论集合，求出符合条件的即可. 【详解】由题可得， 当时，，则，不满足条件； 当时，，要使，则， 当时，，要使，则， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 5．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲集合的概念、关系及运算 （知识清单+5典例精讲+3方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 集合交集运算、一元二次不等式解集 单项选择题 5 集合并集、补集综合运算 单项选择题 5 有限集交集、元素特征 单项选择题 5 集合交并运算、区间集合 单项选择题 5 集合交集、绝对值不等式解集 单项选择题 5 集合子集关系、参数范围 单项选择题 5 补集与交集综合、二次不等式 单项选择题 5 有限集并集运算 单项选择题 5 集合交集、简单函数定义域集合 单项选择题 5 集合补集、元素个数计算 单项选择题 5 区间集合交并综合运算 单项选择题 5 集合包含关系、参数取值 单项选择题 5 【知识点01】集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【例题1】已知集合，若，求实数的值。 【知识点02】集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【例题2】设，，若，求的取值范围。 【知识点03】集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【例题3】设全集，，，求：。 【题型一】集合的概念 【例1】（2025·黑龙江·模拟预测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【例3】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则______. 【变式1】（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 【题型二】集合的表示法 【例4】（2026·吉林延边·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例5】（2026·四川宜宾·一模）已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________. 【例6】（2024·山东菏泽·二模）已知，集合．则集合中所有元素之和为____________． 【变式1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为__________． 【变式3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为______． 【题型三】集合间基本关系 【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【例8】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【例9】（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【变式1】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【题型四】集合的基本运算 【例11】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【例12】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例13】（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 【变式1】（2026·广东深圳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______． 【题型五】集合运算与不等式综合 【例14】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例15】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，则_______． 【例16】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】（2026·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则__________． 【变式3】（2024·宁夏·模拟预测）已知集合. (1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【解题大招】元素互异性验证法（规避低级失分） 【例题1】已知集合，若，求实数的值。 【解题大招】数轴法（万能解题法，高考首选） 【例题2】设，，若，求的取值范围。 【解题大招】空集优先法（子集含参易错点突破） 【例题3】设，，若，求的取值范围。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2026·河北衡水·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·湖北十堰·一模）已知集合，若集合满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________. 6．（2025·山东潍坊·一模）已知集合，，若，则实数________． 7．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. 四、解答题 8．（2025·河南·模拟预测）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为__________. 5．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 四、解答题 6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 三、填空题 4．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 四、解答题 5．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $