25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程实际应用的传播与平均变化率模型，通过短视频转发生活实例导入，承接方程解法，延伸方程应用，构建“增长/衰减类”解题框架，为后续函数学习提供支架。 特色在于以生活化情境激活数学眼光，如传播问题用图示拆解两轮传染过程培养抽象能力，变化率问题通过成本对比辨析发展推理意识，分层练习与调研作业强化模型意识。助力学生提升建模与应用能力，为教师提供清晰教学路径与实用资源。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时   一、教材分析 本节课是一元二次方程实际应用的核心课时，承接一元二次方程解法，是一元一次方程、分式方程实际应用的延伸，也是后续函数、统计增长率问题的铺垫. 传染病传播、成本下降、产量增长、分支计数四类典型模型，构建“增长/衰减类”应用题通用解题框架，是中考的高频考点，打通了代数计算与现实生活的联系，培养学生的数学建模核心素养. 教材先以传染病两轮传播问题引入倍增传播模型，拆解每轮感染人数的代数式，提炼等量关系列方程，讲解取舍不合理解的依据；配套思考拓展三轮传播，强化指数增长认知. 再以食品成本下降引入平均变化率模型，区分下降额与下降率，推导两年变化通用公式a(1-x)2=b，设置对比思考辨析绝对量与相对变化率. 最后配套分支、水稻产量两道练习，分别巩固传播模型、增长率模型，由浅入深：单一传播情境--衰减变化情境--综合习题巩固，遵循“情境建模--列式求解--辨析拓展--习题巩固”的逻辑，层层递进落实建模思想.   二、学情分析 已有基础：学生已熟练掌握一元二次方程直接开方、配方法、公式法求解，能解决一元一次方程、分式方程实际问题，具备基础等量关系分析能力；生活中接触病毒传播、物价下降、农作物增产场景，能直观感知增减变化，理解增长率、下降率字面含义，具备用字母表示数量关系的代数基础能力，能独立列出简单代数式. 存在困难：一是难以区分绝对变化量（下降额）与相对变化率（百分比），容易混淆二者列式；二是传播问题中每轮传染源数量梳理不清，无法准确写出两轮后的总人数；三是平均变化率模型易混淆增长、下降公式，忽略解的实际意义，不会舍去大于 1 的下降率；四是不会提炼不同情境下的通用数学模型，难以实现解一题通一类. 认知特点：初中生具象思维占主导，抽象建模能力薄弱，需依托生活实例理解数量关系；具备自主探究、小组讨论意愿，对疫情传播、农产品增产等生活化情境兴趣浓厚；逻辑推理逐步发展，但多层递进数量（两轮传播）梳理易混乱，需要分步拆解、可视化分析辅助理解，适合由具体情境归纳通用公式，再迁移运用.   三、教学目标 1.掌握传播、平均变化率两类模型，找准等量关系并列出一元二次方程，正确取舍方程的解. 2.辨析变化额与变化率差异，梳理两轮递进数量关系，灵活迁移模型解决同类生活应用题. 3.经历“实际情境--设元列式--解方程检验”建模全过程，提升代数抽象与归纳推理能力. 4.感受方程实用价值，如通过传播问题体会防疫意义，树立用数学知识理性分析生活的意识.   四、教学重难点 重点：掌握传播、平均变化率两类模型，找准等量关系列一元二次方程，正确取舍方程的解. 难点：辨析变化额与变化率差异，梳理两轮递进数量关系，灵活迁移模型解决同类生活问题.   五、教学过程 · 情景导入 同学们平时刷短视频、看热点新闻时，常会随手转发给亲友.一条通知最先只有1个人看到，他转发给好友，收到消息的人又各自转发，短短半小时就能传遍整个小区. 看似简单的转发，却能让信息飞速扩散. 大家思考，单人转发带来大范围扩散背后藏着怎样的数量规律？本节课一起用数学探究. 师生活动：教师结合短视频转发生活实例提问，引导学生观察信息扩散现象；学生结合自身转发经历交流感受，思考传播背后的数量规律，顺势引出一元二次方程传播问题探究. 设计意图：以真实生活情境入手，拉近数学与日常的距离，让学生感知传播问题的现实意义，激发探究欲望，为本课传染模型、增长率应用题铺垫学习背景. · 探究新知 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 问题1： 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 师生活动：教师出示传播例题，借助图示拆解两轮传染过程，分层提问引导学生梳理每轮患病人数；学生观察示意图、分步填空，自主列一元二次方程求解，交流舍去负根的依据. 思考：如何理解“两轮传染” ？ 答：“两轮传染”中，两轮是指两个传染周期． 第一轮：开始有 1 个人（不妨记为 A）患流感，第一轮中A传染给 b，c，d，这时有(1+3)个人患流感； 第二轮：第二轮中这 4 个人每人又传染了 3 个人，这一轮新患流感的人数为3×(1+3)=12． 结论：所以，第二轮后患流感的总人数为3×(1+3)+(1+3)＝16． 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 第1轮传染后，共有 个人被传染. 答：1+x 第2轮传染后，共有 个人被传染. 不要忽视病源A的二次传染. 答：1+x+x(1+x) 提示：根据等量关系“经过两轮传染后共有121个人被传染”列出方程. 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．由题意可得： 1+x+x(1+x)＝121． 解方程，得：x1＝10，x2＝-12（不合题意，舍去）． 因此，平均一个人传染了10个人． 设计意图：以借助直观图示突破传染模型难点，分层设问降低列式难度，让学生掌握传播问题等量关系，理解实际问题根的取舍，落实一元二次方程应用. 问题2：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体会阻断病毒传播的必要性. 师生活动：教师出示表格引导学生计算三轮传染人数，逐层设问，由特殊到一般；学生观察表格数据，小组讨论归纳传播规律，自主推导通用公式，结合实例感悟指数增长与防疫意义. 分析：设每轮传染中平均一个人传染了10 个人. 答： 被传染人数呈指数增长，传染轮次越多，感染人数会急剧扩张.及时阻断传播链条，能快速降低感染规模，避免疫情大规模扩散，凸显科学防疫的必要性. 问题3：观察下面的三个式子，你能总结出规律，求出 n 轮之后共有多少人患流感吗？ 总结：第几轮传染后的人数就是(1+10)的几次方， 所以第n轮传染后的人数就是(1+10)n人. 问题4：根据前面的探究结果，如果最初有 a 个人患了流感，按照“1传10”的传染速度，n 轮传染后共有多少个人患流感？ 答：n 轮传染后共有a(1＋10)n人患流感． 问题5：如果最初有 a 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给 x 个人，那么 n 轮传染后共有多少个人患流感？ 答：n 轮传染后共有a(1＋x)n人患流感． 总结：常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： 传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数. 若 a 表示传播之前的人数，x 表示每轮每人传播的人数，n 表示传播的轮数，b 表示最终的总人数，则 a(1＋x)n＝b． 注意：一定要理解实际的问题情境，否则就会混淆“每轮中被传染的人数”与“每轮中患者人数”，因为后者=前者+原有的患者人数. 设计意图：借助表格直观呈现数据变化，引导学生自主归纳传播模型通用公式，渗透从特殊到一般的思想，融合防疫德育，完善一元二次方程传播问题知识体系. 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 问题6：两年前生产 1 t 甲种食品的成本是10 000元，生产 1 t 乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是6 000元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元，哪种食品成本的年平均下降率较大？ 师生活动：教师出示成本例题，分层提问区分下降额与下降率，学生先算绝对下降额，再借助表格列方程求下降率，对比计算结果，小组辨析绝对量与相对量差异，归纳增减率通用公式. 问题7：甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？ 答：甲种食品成本年平均下降额是：(10000-6000)÷2=2000(元)， 乙种食品成本年平均下降额是：(12000-7200)÷2=2400(元). 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 问题8：下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？ 答：下降率是下降的成本与前一年成本的比值. 下降率 = ×100% 下降后的量=下降前的量×（1-下降率） 注意：年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 问题9：怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较大? 答：可以分别求出两种食品成本的年平均下降率，再进行比较. 设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 设乙种食品成本的年平均下降率为 y . 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x .则一年后甲种食品成本为10000(1-x)元，两年后甲种食品成本为10000(1-x)2元，于是有 10000(1-x)2=6000 解方程，得： x1≈0.225，x2≈1.775.（不合题意舍去） 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 追问：为什么选择22.5%作为答案？ 答：根据问题的实际意义，下降率不可为负，且不大于1. 同理计算乙种食品成本的年平均下降率. 解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y .依题意，得 12000(1-y)2=7200， 解方程，得： y1≈0.225，y2≈1.775.（不合题意舍去） 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 结论：两种食品成本的年平均下降率相等. 问题10：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 答：经过计算，成本下降额较大的食品，它的成本下降率不一定较大. 成本下降额：属于绝对变化量，代表成本减少的具体金额. 成本下降率：属于相对变化量，代表成本下降的幅度比例. 全面比较方法：需要同时结合绝对变化量和相对变化量，才能全面比较对象的变化状况. 总结：关于平均增长（下降）率问题，设基数为a，平均增长（下降）率为x，增长（下降）n次后的量为b，则 注：增长率可以大于100%；下降率不能大于100%. 设计意图：通过对比计算区分易混淆概念，借助表格直观推导模型，渗透辩证比较思想，完善一元二次方程变化率类应用题解题框架. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示病毒传播、商品销售两道综合例题，引导学生区分传播模型与增长率模型；学生独立审题列式，上台板书解题，互相纠错，梳理两类应用题的等量关系与解题步骤. 例1 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 分析：设每轮感染中平均一台会感染台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出的值，并且3轮后共有台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑． 依题意得：， 整理得， 则或， 解得，舍去， ． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 例2 年，合肥蜀山区某商场于年初以每件元的进价购进一批商品．当每件售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件． 求四、五这两个月的月平均增长率； 从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？ 分析：设四、五这两个月的月平均增长率为，利用五月份的销售量=三月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，利用商场销售该商品月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设四、五这两个月的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：四、五这两个月的月平均增长率为； 设商品降价元，则每件获利元， 月销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：当商品降价元或元时，商场月获利元． 设计意图：分层巩固传播、增长率、销售利润三类一元二次方程应用模型，强化学生审题建模能力，学会区分不同情境的等量关系，完善知识综合运用体系. · 课堂练习 【教材练习】 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支. 如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支? 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支. 根据题意，得：1+x+x2=91， 解得：x1=9，x2=-10（舍去）. 答：每个支干长出9个小分支. 总结：树干问题中的基本数量关系： 树干问题中主干长出n个支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行分支，第二轮有n2个支干，总共有(1+n+n2)个支干. 2.青山村所种水稻2020年平均每公顷产 15 000 kg，2022 年平均每公顷产18 000 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率(结果写成a%的形式，其中a 保留小数点后两位). 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x . 根据题意，得 ：15000(1+x)2=18000. (1+x)2=1.2 解方程，得 x1≈ 0.0954，x2 ≈-2.0954（不合题意，舍去）， 0.0954×100%=9.54% 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54%. 师生活动：教师出示两道教材练习题，学生独立完成解题，同桌互查思路；教师引导对比树干分支模型与增长率模型，提炼两类题型等量关系式，梳理实际问题舍去负根的解题规范. 设计意图：依托教材习题巩固新知，区分两类易混淆应用模型，规范答题步骤，强化学生根据实际情境取舍方程根的意识，夯实一元二次方程建模基础. 【限时训练】 1.有人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，则第一轮后患流感的人数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设每轮传染中每人传染人， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去， ． 故选C． 2.某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根若主根、支根、小支根的总数是个，则这种植物的主根长出          个支根． 【答案】  【解析】设这种植物的主根长出个支根由题意，得，解得，不合题意，舍去，这种植物的主根长出个支根． 3.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元假设该公司、月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是          ． 【答案】  【解析】解：设每个月生产成本的下降率是，依题意，得， 解得，不合题意，舍去． 4.有人患流感，经过两轮传染后，共有人患流感，若开始有人患流感，则经过一轮传染后，共有多少人患流感？ 年春，某地甲型流感开始有人感染，两轮后共有人感染，如果不及时控制，第三轮将又有多少人感染？ 【答案】(1)解：设一位感染者每轮感染人， ， 解得 ，（舍）， ， 答：共有55人患流感.  (2)设一人传人， ， 解得 ，（舍）， 第三轮：（人）. 答：第三轮将又有4480人感染.  5.袁隆平先生生前所率领科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量公斤的目标． 如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； 按照中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现？ 【答案】(1)解：设亩产量的平均增长率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：亩产量的平均增长率为20%；  (2)（公斤）. ， 他们的目标能实现.   师生活动：学生独立完成五道分层习题，完成后小组互查订正；教师针对传播、增长率、分支三类易混题型板书梳理等量关系，引导学生对比不同情境的建模区别，规范舍去负根的步骤. 设计意图：整合本单元典型应用题，分层巩固传播、增长率、分支模型，强化审题建模能力，区分易混淆题干条件，夯实一元二次方程实际应用题的解题规范. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.传播问题中的等量关系是什么？如何用字母进行表示？ 3.平均变化率问题的关系式是什么？如何用字母进行表示？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：生活中的一元二次方程增减模型调研 任务：1.自主搜集两类生活素材：一则病毒或植物分支类倍增传播案例、一则物价或产量增减两年变化案例. 2.仿照课本例题，设未知数、梳理数量关系，列出一元二次方程并完整求解. 3.对比两道题的方程结构，总结传播模型、平均变化率模型的通用公式. 要求：1.手写完整解题过程，标注等量关系来源. 2.简要写出 200 字以内探究小结，说明两类模型区别，结合实例谈谈数学建模的实用价值，杜绝照搬课本原题. 学科网（北京）股份有限公司 $