精品解析：黑龙江大庆市大庆中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

大庆中学2026---2027学年度上学期开学考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 数据12，8，10，15，11的第60百分位数为（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 10 4. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少一个红球；都是白球 B. 恰有一个红球；恰有一个白球 C. 至少有一个红球；至多有一个白球 D. 至多一个红球；都是红球 10. 一组样本数据如下：47，48，49，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 11. 如图，在正方体中，为上的动点，则（ ） A. 与是相交直线 B. 与互相垂直 C. 与所成的角为 D. 三棱锥的体积为定值 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆锥的底面半径，母线长为2，则该圆锥的侧面积为________． 13. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________. 14. 某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三一班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三二班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为________． 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求，的值． 17. 如图，四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面⊥平面ACE； （2）求证：平面． 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 19. 在中，角所对的边分别是，已知，． （1）求角的大小； （2）若，是上的点，平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2026---2027学年度上学期开学考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以虚部为． 2. 已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设该圆柱的底面半径为，高为， ，，得， 所以该圆柱的体积． 3. 数据12，8，10，15，11的第60百分位数为（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列后，由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为此组数据即为，一共有个数据，且， 所以此组数据的第60百分位数为第、这两个数的平均数，即为. 4. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 5. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆台上底半径为，下底半径为，母线长，高， 则，即，解得，则， 故圆台体积为：． 6. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为平面向量，， 若，则， 解得. 7. 设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，， 则， 因为，是平面内一组基底，所以，解得. 8. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三条侧棱两两互相垂直的三棱锥补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，求其对角线即得球的直径. 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少一个红球；都是白球 B. 恰有一个红球；恰有一个白球 C. 至少有一个红球；至多有一个白球 D. 至多一个红球；都是红球 【答案】AD 【解析】 【分析】依据互斥事件、对立事件的定义，逐一判断各选项中两个事件的关系即可. 【详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 10. 一组样本数据如下：47，48，49，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A项：平均数，故A正确； 对于B项：该组数据共7个，从小到大排列后中位数为第4个数据，即50，故B正确； 对于C项：方差，故C错误； 对于D项：由，结果不是整数，向上取整为6，因此第80百分位数为第6个数据52，不是，故D错误. 11. 如图，在正方体中，为上的动点，则（ ） A. 与是相交直线 B. 与互相垂直 C. 与所成的角为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：因为平面，平面，不在直线上，所以与是异面直线，A不正确； 对于B：连接，在正方形中，，又因为平面，平面， 所以，因为，，平面， 因此平面，因为平面，所以与互相垂直，B正确； 对于C：连接，，则由正方体的性质得，因此就是与所成的角， 因为为等边三角形，所以，C正确； 对于D：因为，平面，不在平面内，所以平面， 故E点到平面的距离等于到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆锥的底面半径，母线长为2，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积公式.圆锥的侧面积，其中为底面半径，为母线长，代入数据即可. 【详解】圆锥的侧面积. 13. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【详解】∵向量，的夹角为，且，， ∴，向量在向量上的投影向量为. 14. 某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三一班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三二班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为________． 【答案】10.2 【解析】 【分析】先求平均数，再结合分层抽样的方差公式运算求解. 【详解】由题意可知：这25名学生体育成绩的平均数为， 所以这25名学生体育成绩的方差为. 故答案为：10.2. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 【答案】（1） （2）， （3）众数：75 分；平均数：76.5 分；人 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积和为1即可求解； （2）由频率分布直方图确定成绩落在，的频率，再由频率估计人数即可； （3）由样本数据的数字特征求法依次求解即可. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， 由题意得， 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， . 【小问3详解】 由题意得众数为75分； 由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15， 落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1， 则平均数为， 设为78分以上的频率，为78分以上的人数， 则 ， 故78分以上的人数为47人. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化即可得答案； （2）由面积公式得，再根据余弦定理得，进而得到，的值. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得： 因为 ，所以， 所以， 所以， 所以， 所以的大小为； 【小问2详解】 因为，，所以 所以， 由余弦定理得：， 所以， 所以， 因为，，所以， 所以，的值均为. 17. 如图，四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面⊥平面ACE； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. （2）证明： 如图，连接交于，连接， 因为四边形是矩形，所以点为线段的中点， 又点为线段的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面可完成证明； （2）连接交于，连接， 通过证明可完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质及线面平行的判定即可证明； （2）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （3）根据线面夹角的定义，求得线面夹角的平面角即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 19. 在中，角所对的边分别是，已知，． （1）求角的大小； （2）若，是上的点，平分，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知，由余弦定理可得， 因为，代入得，所以， 所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积公式可得，， 所以，可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $