黑龙江省大庆市大庆中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页 2025-2026 学年度高二上学期开学考试 数学试题 考试时间：120 分钟；满分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知全集 {0,1,2,4}U  ，集合 {0,4}M  ， {0,2}UN ð ，则M N  （ ） A．{1,4} B．{0,4} C．{0,1, 4} D．{4} 2．在复平面内，复数�对应的点为 1, − 1 ，则 � 1+i =（ ） A．2 B．1 C． 2 D． 1 2 3．已知向量� = 4, − 2 ，� = � − 1,2 ，若� ⊥ � ，则 � − � =（ ） A．3 2 B．2 5 C．3 D．5 4．某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（ ） A．至少有一次命中目标 B．至多有一次命中目标 C．恰好两次都命中目标 D．恰好有一次命中目标 5．已知|� | = |� | = 3，� 是与向量� 方向相同的单位向量，向量� 在向量� 上的投影向量为3 2 �， 则� 与� 的夹角为（ ） A．30∘ B．60∘ C．120∘ D．150∘ 6．若非零向量� ，� 满足 � = � ， 2� + � ⋅ � = 0，则� 与� 的夹角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 7．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象 并构建了如图所示的几何模型，该模型中 MA、NB均与水平面 ABC垂直.并已测得可直接到 达的两点间距离 3m, 4mAC BC  ，在 C处观测 M的仰角为 45，观测 N的仰角为 60°，且 45MCN  ，则 M与 N之间的距离为（ ） A． 2 7m B． 30m C． 4 2m D． 34m 8．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧棱 1 4CC  ， 点 ,E F分别为 1,CC AD的中点，则异面直线EF和 1AD 所成角的正弦值 为（ ） A． 1 3 B． 5 2 C． 2 3 D． 5 3 二、多选题 9．已知 m，n是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ,m n ∥ ，则m n∥ B．若 ,m n   ，则m n C．若 , ,m n n     ∥ ，则m n∥ D．若 , ,  m n    ，则m n 10．已知复数 5 i 2 z   ，则下列说法正确的是（ ） A．z的虚部为 1 B．z的共轭复数为 2 i  C． | z | 5 D．z在复平面内对应的点位于第二象限 11．甲袋中有 2个黑球，2个白球，乙袋中有 2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全 相同.从甲、乙两袋中各任取 1个球，则下列结论正确的是（ ） A．2个球都是黑球的概率为1 3 B．2个球都是白球的概率为1 6 C．1个黑球 1个白球的概率为2 3 D．2个球中最多有 1个黑球的概率为2 3 第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页 三、填空题 12．某次体检，7位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.41，1.80，1.69， 1.77，则这组数据的第 75百分位数是_________（米） 13．如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E是 1BB 的中点，若 2AB  ，则点 B到平面 ACE的距离为 . 14．在正方体中放入 9个球，一个与立方体 6个面都相切，其余 8个相等的球都与这个球及 立方体的三个面相切，已知 8个相等的球的半径都为 2 3 ，则正方体的体积为 ． 四、解答题 15．某景点某天接待了 1250名游客，老年 625人，中青年 500人，少年 125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽 样从当天游客中抽取 100人，以评分方式进行满意度回 访.将统计结果按照 [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]分成 5组，制成如 下频率分布直方图： (1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； (2)求频率分布直方图中 a的值； (3)估计当天游客满意度分值的 75%分位数. 16．在△ ���中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，sin� = 1 3 ，且_________． 在①�2 − �2 + �2 = 2，②�� ⋅ �� =− 1这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解 答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分(1)求��；(2)若 sin�sin� = 2 3 ， 求�． 17．已知棱长均相等的正三棱柱��� − �1�1�1，M，N分别为棱��1，�1�1中点． (1)证明：�1�∥平面�1��； (2)证明：��1 ⊥平面�1��． 18．为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整 体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“C  算法设计”科普公益大赛． (1)若 A，B，C三个赛区进入决赛的分别有 1人、2人、3人，现需从这 6人中随机选择 2 人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为 0.8，乙同学能解决的概率为 0.9，且甲、乙 能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的 每一道题甲、乙能解决的概率分别为 0.8和 0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不 影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 19．在 ABCV 中， , ,a b c为角 , ,A B C 对应的边，S为 ABCV 的面积，且满足如下条件： 2 sinsin sin 1 sin S Cb B a A a B        . (1)求角 A； (2)若 23, 3 3 AB ACa AD      ，求 ABD△ 面积的最大值； (3) ABCV 为锐角三角形，且 3a  ，若 4 9 π4 cos 3cos2 64 6 c b C C          恒成立，求实数  的取值范围. 答案第 1页，共 1页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A B C D C BCD BC 题号 11 答案 ABD 12. 1.78 13.. 14．8 【分析】设立方体的边长为a，根据相切关系，列等式，即可求解. 【详解】如图，设立方体的边长为， 则，，再结合对称性， 可得，解得， 所以立方体的体积为8． 故答案为：8 15.【详解】（1）老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为， 故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人； （2）由题意可得，，解得：； （3）设当天游客满意度分值的分位数为， 因为，， 所以位于区间内， 则，解得：， 所以估计当天游客满意度分值的分位数为. 16.【详解】（1）若选①， 由余弦定理可得， ∴， 又，∴，∴． 若选②， 则， 又，∴，∴． （2）由正弦定理（为外接圆半径）， 可得， 又∵， ∴，解得． ∴． 17.【详解】（1）设，连接 又棱长均相等的正三棱柱中，M，N分别为棱，中点． 则，， 则，则四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 则平面； （2）取中点S，连接，则 又面面，面面，面， 则面，又面，则 又正方形中，，则, 则，又， 则，则， 又，，面， 则面，又面，则， 又正方形中，，， 平面，则平面． 18．(1) (2)0.26 (3)0.3744 【分析】（1）根据古典概型概率公式即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解； （3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”. 则 ，有15种可能的结果. ，有4种可能的结果. 所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为. （2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”， 显然，，，. 因为事件，互斥，事件D，E相互独立， 所以， 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. （3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”， “两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”， “两轮测试中甲、乙共解决三道题”． ；； ；． 因为，互斥，事件与，与相互独立， 所以， 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理面积公式，和正弦定理由边化角，及余弦定理解三角形； （2）根据平面向量的加法运算，化简题目条件，再根据正弦定理面积公式和基本不等式，求出面积的最大值； （3）根据正余弦定理解三角形，根据三角函数值，通过换元法，和二次函数单调性，求出值域，得出参数的范围. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）由得：， 则， 从而， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 从而， 所以面积的最大值为； （3）由及正弦定理可得：， ，， 则 ， 为锐角三角形，，， ，， 令，，二次函数在上单调递减，在上单调递增， ，，实数的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高二数学试题答题卡 考场/座位号：         姓名：                班级：                贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题每题5分;9~11为多选题每题6分) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题（每题5分） 12. 13. 14. 解答题 15. （13分） 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 19. （17分） 请勿在此区域作答或 者做任何标记