精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026～2027学年度高二年级第一学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 A. B. C. D. 2. 已知，为两个不共线的向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 数据，，，，，，，，的第三四分位数为（） A. B. C. D. 4. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为棱的中点，若点满足：平面平面，且平面，则点可以位于（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 7. 已知两个不共线向量，满足，，则与的夹角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，若边上的高为，则的最大值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知复数，，在复平面内，，的对应点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 10. 已知随机事件、满足，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若、相互独立，则 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知（，，为虚数单位），则_____. 13. 某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点、（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看、的仰角分别为、，在处看的仰角为，，由此可以计算求得_________. 14. 已知正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个球与上、下底面和三个侧面均相切（内切球），则这个正三棱台的高为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7. （1）若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； （2）若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的概率. 16. 为调查高中学生的身高分布情况，某区从高中学生中随机抽取200名学生，测得他们的身高(单位：)，按照区间，，，，，，分组，得到样本的频率分布直方图（如图所示）. （1）求图中实数的值； （2）估计该区高中生的身高的众数，中位数和平均数(精确到)； （3）将身高在，，区间的学生依次记为A，B，C三个组，按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组中抽取7名学生，求这三个组分别抽取的人数. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若，，求的值和的面积. 18. 如图1，在矩形中，，，，分别为，的中点，将四边形沿折起至四边形处，使得二面角的大小为，连接，，，，如图2. （1）证明：平面⊥平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. （1）若平面，求的值； （2）求与平面所成角的正弦的取值范围； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高二年级第一学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 由，故选A. 2. 已知，为两个不共线的向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，为两个不共线的向量，若，则，所以. 3. 数据，，，，，，，，的第三四分位数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】计算第三四分位数（即75%分位数）的位置：， 由于i不是整数，所以取大于i的最小整数对应的位置的数作为所求百分位数， 这里大于6.75的最小整数是7， 故数据，，，，，，，，的第三四分位数为第7个数据8. 4. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 5. 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】从，，，，这五个数中任取两个数， 有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、6和8、6和9、7和8、7和9、8和9共10种取法， 取出的两个数互质的可能有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、7和8、7和9、8和9共8种， 故这两个数互质的概率为. 6. 如图，在正方体中，为棱的中点，若点满足：平面平面，且平面，则点可以位于（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 【答案】A 【解析】 【分析】延长交延长线于点，根据题意确定直线的位置，分析平面求解. 【详解】延长交延长线于点， 因为平面平面，且平面， 所以直线为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点可以位于点，点都不在平面上. 7. 已知两个不共线向量，满足，，则与的夹角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，与的夹角为，由已知条件，根据平面向量的数量积的相关公式，将表示成关于的函数，根据不等式的性质，求得的取值范围， 从而求得的取值范围. 【详解】设， 由，得， 所以. 设与的夹角为， 则. 由，得， 所以，所以. 即与的夹角的取值范围为. 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，若边上的高为，则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理进行“边角互化”，消去，将目标式转化为关于角的三角函数求最值。 【详解】根据三角形面积公式： ， 又因为， 所以：①， 由余弦定理得：， 将①式代入②式：， 移项整理得： ， 故， 因为在中，， 所以， 当，即时，取得最大值， 故的最大值为：. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知复数，，在复平面内，，的对应点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A项，，则，则的虚部为，故A错误； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，，则，， 设向量，的夹角为，故， 因为，所以，故C正确； 对于D项，向量在上的投影向量为，故D正确； 10. 已知随机事件、满足，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若、相互独立，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用，可判断A选项；取事件，相互独立时，结合独立事件的概率公式可判断B选项；若，则，可判断C选项；即；利用独立事件的概率公式可判断D选项. 【详解】对于选项A，， 只有当事件、互斥时，，才有， 题意没说明、互斥，所以不一定为，故A错误； 对于选项B，当事件、相互独立时，，故B错误； 对于选项C，若，则，所以，故C正确； 对于选项D，若、相互独立，则、相互独立， 又因为，， 所以，故D正确. 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知（，，为虚数单位），则_____. 【答案】 【解析】 【详解】由复数相等的条件，得，所以. 13. 某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点、（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看、的仰角分别为、，在处看的仰角为，，由此可以计算求得_________. 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，先在中利用正弦定理求出，再在中求出、，再在中利用正弦定理求出，最后利用求解. 【详解】延长交的延长线于点， 在中，， ， ， 利用正弦定理，即， 得， 在中，，， 直角三角形所对直角边是斜边的一半， 所以，，由勾股定理得， 在中，，， 利用正弦定理，即， 得：， 故. 14. 已知正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个球与上、下底面和三个侧面均相切（内切球），则这个正三棱台的高为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得正三棱台的高 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为，， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，，,为侧面等腰梯形上下底边中点，则，，,, 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7. （1）若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； （2）若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式求解即可. （2）根据独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 小郭和小张每下一盘棋，记“小郭胜”为事件，“和棋”为事件， 则，， 因为事件，互斥，所以， 所以. 【小问2详解】 记“小郭第盘胜”为事件，则，所以， 又，相互独立，所以， 所以小郭至少有一盘棋胜的概率. 16. 为调查高中学生的身高分布情况，某区从高中学生中随机抽取200名学生，测得他们的身高(单位：)，按照区间，，，，，，分组，得到样本的频率分布直方图（如图所示）. （1）求图中实数的值； （2）估计该区高中生的身高的众数，中位数和平均数(精确到)； （3）将身高在，，区间的学生依次记为A，B，C三个组，按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组中抽取7名学生，求这三个组分别抽取的人数. 【答案】（1） （2），， （3）4人，2人，1人 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 解得. 【小问2详解】 各组的频率依次为：0.025，0.15，0.2，0.275，0.2，0.1，0.05， 所以该区高中生身高的众数为. 因为，， 所以该区高中生身高的中位数在内，设中位数为， 则， 解得， 故该区高中生身高的中位数约为. ， 故该区高中生身高的平均数约为. 【小问3详解】 身高在，，的人数依次为(人)，(人)，(人)， 按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组抽取的人数分别为(人)，(人)，(人)， 故按比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C组抽取的人数分别为4人，2人，1人. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若，，求的值和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以. 又，所以， 所以， 即. 因为，，所以， 则，即， 则. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， 由，得， 即，解得（负值舍去）， 则的面积. 18. 如图1，在矩形中，，，，分别为，的中点，将四边形沿折起至四边形处，使得二面角的大小为，连接，，，，如图2. （1）证明：平面⊥平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由题意知，，，，平面， 且，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）由，将异面直线与所成的角转化为三角形内角，借助余弦定理即可求解； （3）利用等体积法，变换顶点与底面，先计算出三棱锥的体积及底面的面积，再通过体积公式反解出点到平面的距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意，得，所以异面直线与所成的角为（或其补角）， 易证是二面角的平面角，则. 因为，所以. 由（1）知， 平面，平面，所以. 因为，所以，则四边形为正方形. 如图，连接，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，平面平面，作，垂足为， 因为平面平面，平面，所以平面， 由（2）知，，. 所以三棱锥的体积， 在中，易得，， 所以的面积. 设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以，解得. 故点到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. （1）若平面，求的值； （2）求与平面所成角的正弦的取值范围； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【小问1详解】 在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $