第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2026年初升高数学衔接

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 基●础●知●识 一、一元二次不等式的相关概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2、一般形式：，（其中均为常数） 3、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 二、一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 ，或 R 的解集 ⌀ ⌀ 四、 一元二次方程根的分布 二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 题●型●破●译 题型01解不含参一元二次不等式 【典例01】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 【变式01】不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接利用一元二次不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 故选：A 【变式02】不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式得解. 【详解】，， 即不等式的解集为. 故选：A. 题型02解含参一元二次不等式 【典例01】解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式01】求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分解因式后，根据与的大小结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式02】解关于的不等式 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】通过对分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出答案. 【详解】当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 题型03 由一元二次不等式的解求参数 【典例01】关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，且，利用韦达定理可得出、的值，即可得出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根分别为、，且， 由韦达定理可得，解得，，故. 故选：B. 【变式01】已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先确定一元二次不等式的解集，得到，再利用对应系数相等得到，，最后结合韦达定理得到，进而求出的值即可. 【详解】令，解得或， 而二次函数的二次项系数为正数， 因此不等式的解集为，可得，， 由韦达定理得，解得， 综上可得，故B正确. 故选：B. 【变式02】若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由关于的不等式的解集为，计算可得，代入不等式计算即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个实数根， 所以， 故不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 题型04 一元二次方程根的分布问题 【典例01】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 【变式01】方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 【变式02】已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 题型05 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例01】已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 【变式01】若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次不等式恒成立的条件可得. 【详解】因为，”是真命题， 当时， 原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时 是二次函数，要使是对任意恒成立， 所以 ，即, 解得. 综上，的取值范围为. 【点睛】 【变式02】已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【详解】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式的解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则图象开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 题型06 一元二次不等式在区间上恒成立问题 【典例01】已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 【变式01】不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 【变式02】若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 题型07 一元二次不等式在区间上有解问题 【典例01】若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 【变式01】已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 【变式02】若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 题型08 一元二次不等式实际应用 【典例01】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 【变式01】某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 【变式02】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 题●型●巩●固 1.已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】先求出集合，再按照交集的定义计算即可. 【详解】由题意，. 2.不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】，， 即不等式的解集为. 故选：A. 3.“”的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解不等式得到“”的充要条件，再根据充分条件的概念进行判断. 【详解】由. 所以“”是“”的充要条件. 所以AD是“”的必要条件， B既不是“”的必要条件，也不是“”的充分条件， 只有C是“”的充分条件. 故选：C 4.. (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）代入，解出一元二次不等式的解集，则结果可知； （2）分类讨论：当时，直接求得解集；当时，根据的正负以及与的大小关系分别求解出解集. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）由即，即， ①当时，，即解集为， ②当时，令，解得， （i）当时，，此时不等式的解集为， （ii）当时，，此时不等式的解集为， （iii）当时，，此时不等式的解集为， （iv）当时，，此时不等式的解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 5.设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）确定是方程的两个根，结合韦达定理即可求解； （2）分，，，，讨论求解. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，且， 则，则； （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，解集为， 当时，不等式可化为，且，解集为， 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或, 综上， 当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 6.已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【详解】由不等式的解集是， 所以是方程的两根， 所以，解得，所以. 7.已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 8.若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系可得到之间关系，进而可化简所求不等式为不含参数的一元二次不等式，根据一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】不等式的解集为， 且方程的两根分别为和 ，，即，， ，又， ，解得：或， 的解集为或. 故选：D. 9.关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 10.已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的分布问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 11.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 12.关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 13.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 14.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案. 【详解】因为不等式对恒成立，所以，解得． 故选：C． 15.若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 16.已知命题：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】分离参数，将不等式化为，利用基本不等式求的最小值即可求出答案． 【详解】根据题意可得，因为，则， 利用基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 17.若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求二次函数的值域或最值 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上恒成立，构造函数求解最小值即可． 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小值是． 故选：D. 18.若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. 19.若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式“1”的妙用求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 20.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 21.用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 22.已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 23.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 基●础●知●识 一、一元二次不等式的相关概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2、一般形式：，（其中均为常数） 3、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 二、一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 ，或 R 的解集 ⌀ ⌀ 四、 一元二次方程根的分布 二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 题●型●破●译 题型01解不含参一元二次不等式 【典例01】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式01】不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式02】不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 题型02解含参一元二次不等式 【典例01】解关于x的不等式：． 【变式01】求关于的不等式的解集. 【变式02】解关于的不等式 题型03 由一元二次不等式的解求参数 【典例01】关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【变式02】若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型04 一元二次方程根的分布问题 【典例01】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式01】方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例01】已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式01】若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 题型06 一元二次不等式在区间上恒成立问题 【典例01】已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式01】不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式02】若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 题型07 一元二次不等式在区间上有解问题 【典例01】若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式01】已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式02】若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型08 一元二次不等式实际应用 【典例01】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式01】某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【变式02】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题●型●巩●固 1.已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 2.不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 3.“”的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 4.. (1)当时，解不等式； (2)解关于的不等式. 5.设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式：. 6.已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 7.已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 8.若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 9.关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 10.已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 12.关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15.若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.已知命题：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17.若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 18.若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19.若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21.用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22.已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 23.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $