专题3.3 幂函数（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理幂函数概念及与指数函数的区分，详解y=x、y=x²等五种常见幂函数的图像与性质，搭建从概念理解到性质应用再到幂值大小比较的学习支架。 资料通过画图观察与归纳对比，培养学生数形结合能力与数学归纳思想，题型分层设计（如定义域、图像、单调性不等式等）配合即学即练和典例变式，助力学生用数学思维分析问题，课中辅助教师高效授课，课后方便学生查漏补缺。

专题3.3 幂函数 教学目标 1. 理解幂函数的概念，区分幂函数与指数函数；掌握常见幂函数y=x、y=x2、y=x3、y=x1/2、y=x-1的图像与性质，会简单比较幂值大小。 2. 通过画图观察、归纳对比，体会图像归纳性质的研究方法，提升数形结合能力。 3. 感受幂函数图像的变化规律，养成分类研究函数的习惯，体会数学归纳思想。 教学重难点 重点 1. 幂函数的概念，辨别幂函数解析式形式。 2. 五种常见幂函数的图像与基本性质。 3. 利用幂函数单调性比较幂值的大小。 难点 1. 幂指数变化时，图像在第一象限的变化规律理解。 2. 区分幂函数与指数函数，避免二者公式混淆。 3. 幂函数奇偶性、单调区间综合分析，注意定义域对图像的约束。 知识点01 幂函数概念 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为_____．例如：等都不是幂函数． 【即学即练】 1．有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. 2．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 3．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过_____； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近_____． 2．幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 3．幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为_____法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其_____，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【即学即练】 1．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 3．已知函数，则其单调递增区间为______． 题型01 幂函数的概念 掌握函数概念要紧扣集合对应定义，核心是任意一个x，都有唯一确定的y与之对应，允许多对一，不允许一对多。判断同一函数，必须定义域和对应法则完全相同，与变量字母无关。可用竖线法判断图像是否为函数，竖线与图像至多一个交点。求问题先优先看定义域，这是解题前提。不要沿用初中变量的旧认知，遇到抽象对应严格对照定义判断。警惕题目隐藏的自变量限制条件，不要凭图像外形主观判断，逐项核对条件再得出结论。 【典例1】若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式2】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．2 D． 题型02 求函数解析式 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【典例1】（多选）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【变式1】（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 题型03 定义域问题 求解幂函数定义域，先把幂指数化为分数形式xm/n。注意分母n为偶数时，被开方数不能小于0，定义域x≥0；n为奇数，定义域为全体实数。指数为负分数时，底数不能等于0。牢记：指数负，底数不为零；分母偶，底数非负。不要直接照搬课本图像，一定要看指数。判断奇偶性前先写出定义域，定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶。比较幂值大小，务必保证自变量落在同一单调区间，做题优先写定义域，避免直接套用性质造成错误。 【典例1】（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【变式1】（多选）已知函数，则（   ） A．当时，是奇函数 B．当时，定义域为R C．当时，值域为 D．当时，在R上单调递减 【变式2】已知幂函数的定义域是，则______． 题型04 值域问题 求幂函数值域，先明确定义域，再优先分析第一象限的单调性。指数大于0，在非负区间单调递增；指数小于0，在正区间单调递减。借助奇偶性，把第一象限图像拓展到完整定义域。偶次根式形式的幂函数，函数值恒大于等于0；负指数幂函数，函数不会取到0。不要只套用第一象限结论，需要兼顾左侧区间。注意端点能否取到，区分开区间与闭区间。可以简单绘制草图辅助判断，切忌脱离定义域直接写值域。最后代入特殊值检验结果，排除错误取值范围。 【典例1】（多选）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 【变式1】（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数的值域为 【变式2】（多选）对幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．的图象只在第一象限 D．在上递减 题型05 幂函数的图象 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【典例1】如图的各个函数中，在区间上单调递增的函数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 题型06 定点问题 幂函数y=xa，无论a取何实数，图像恒过定点(1,1)。求解含参数幂函数过定点，令底数等于1，此时函数值恒为1。若解析式经过平移变换，分离参数之后，令含参部分等于零，解出x，再求出对应的y，即为定点。注意不要混淆幂函数与指数函数定点。做完可代入x值验证。审题看清函数是否经过左右、上下平移，不能直接默认定点就是(1,1)。不要受指数参数干扰，牢牢抓住使底数为1这一核心，避免计算定点时出现坐标颠倒的错误。 【典例1】（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（    ） A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数 C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限 【变式1】下列命题正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 【变式2】下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 题型07 利用幂函数的单调性求解不等式问题 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【典例1】若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是____________． 【变式2】已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________． 题型08 比较大小 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【典例1】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型09 幂函数性质的综合运用 以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【典例1】已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 1．已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 4．已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 6．已知幂函数的图象过点，函数，则“，”的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 7．已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 8．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 10．已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 1．（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 2．（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知，函数则以下说法正确的是（    ） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 4．（多选）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 5．（多选）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 6．（多选）已知函数的图象经过点，则（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在上最大值为 7．（多选）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 8．（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 9．已知幂函数在内单调递增，. (1)求的值； (2)设，判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论. 10．已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 幂函数 教学目标 1. 理解幂函数的概念，区分幂函数与指数函数；掌握常见幂函数y=x、y=x2、y=x3、y=x1/2、y=x-1的图像与性质，会简单比较幂值大小。 2. 通过画图观察、归纳对比，体会图像归纳性质的研究方法，提升数形结合能力。 3. 感受幂函数图像的变化规律，养成分类研究函数的习惯，体会数学归纳思想。 教学重难点 重点 1. 幂函数的概念，辨别幂函数解析式形式。 2. 五种常见幂函数的图像与基本性质。 3. 利用幂函数单调性比较幂值的大小。 难点 1. 幂指数变化时，图像在第一象限的变化规律理解。 2. 区分幂函数与指数函数，避免二者公式混淆。 3. 幂函数奇偶性、单调区间综合分析，注意定义域对图像的约束。 知识点01 幂函数概念 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 【即学即练】 1．有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. 【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ 2．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 3．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数定义判断即可. 【详解】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 知识点02 幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2．幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 3．幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“传递”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【即学即练】 1．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可. 【详解】因为， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，故，解得， 故选：C 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据幂函数的概念和性质逐项判断即可. 【详解】幂函数的图象不过点，A说法错误； 当幂函数在区间上单调递减时，，B说法正确； 对于幂函数，无奇偶性，C说法错误； 任何幂函数的图象都不经过第四象限，D说法正确； 故选：BD 3．已知函数，则其单调递增区间为______． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由函数解析式可知，解得的定义域为， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以在定义域内单调递增， 所以在上单调递增， 故答案为： 题型01 幂函数的概念 掌握函数概念要紧扣集合对应定义，核心是任意一个x，都有唯一确定的y与之对应，允许多对一，不允许一对多。判断同一函数，必须定义域和对应法则完全相同，与变量字母无关。可用竖线法判断图像是否为函数，竖线与图像至多一个交点。求问题先优先看定义域，这是解题前提。不要沿用初中变量的旧认知，遇到抽象对应严格对照定义判断。警惕题目隐藏的自变量限制条件，不要凭图像外形主观判断，逐项核对条件再得出结论。 【典例1】若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设出幂函数解析式，根据条件得到方程，求出，代入求值. 【详解】设，由得，解得，所以， 所以． 故选：C 【变式1】已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】将代入幂函数的解析式中可求得的值，进而可求解. 【详解】因为幂函数满足， 所以，所以， 则，从而. 故选：B. 【变式2】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可. 【详解】由题意知：. 所以，所以. 故选：A 题型02 求函数解析式 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【典例1】（多选）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】先代入点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断AB；由时，可得可判断C；利用展开与0比较可判断D. 【详解】设幂函数 将点代入函数得：，则， 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确； 因为的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确； 当时，，即，所以C正确； 时， ， 所以，又， 所以成立，所以D不正确. 故选：AC 【变式1】（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 【变式2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 【答案】AD 【分析】结合幂函数的定义和性质，对选项进行逐一分析. 【详解】选项A:对任意，，恒成立，故A对； 选项B:时，无意义，故B错； 选项C：两个幂函数和的交点满足，解得（仅当指数非负时）、、.实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称.故C错. 选项D:当时，的值随的减小而增大，如，故D对. 故选:AD. 题型03 定义域问题 求解幂函数定义域，先把幂指数化为分数形式xm/n。注意分母n为偶数时，被开方数不能小于0，定义域x≥0；n为奇数，定义域为全体实数。指数为负分数时，底数不能等于0。牢记：指数负，底数不为零；分母偶，底数非负。不要直接照搬课本图像，一定要看指数。判断奇偶性前先写出定义域，定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶。比较幂值大小，务必保证自变量落在同一单调区间，做题优先写定义域，避免直接套用性质造成错误。 【典例1】（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性对选项逐一判断即可. 【详解】设，其图象经过点， 则，解得，故， 那么的定义域为，故A错误； 的值域为，故B正确； 因为，则为偶函数，故C正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：BC. 【变式1】（多选）已知函数，则（   ） A．当时，是奇函数 B．当时，定义域为R C．当时，值域为 D．当时，在R上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据相关幂函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】A：由，其定义域为且，函数为奇函数，对； B：，显然定义域为R，对； C：，易知其值域为，对； D：，根据相关幂函数的性质知函数在R上单调递增，错. 故选：ABC 【变式2】已知幂函数的定义域是，则______． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 题型04 值域问题 求幂函数值域，先明确定义域，再优先分析第一象限的单调性。指数大于0，在非负区间单调递增；指数小于0，在正区间单调递减。借助奇偶性，把第一象限图像拓展到完整定义域。偶次根式形式的幂函数，函数值恒大于等于0；负指数幂函数，函数不会取到0。不要只套用第一象限结论，需要兼顾左侧区间。注意端点能否取到，区分开区间与闭区间。可以简单绘制草图辅助判断，切忌脱离定义域直接写值域。最后代入特殊值检验结果，排除错误取值范围。 【典例1】（多选）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】AC 【详解】当时，的定义域和值域均为，故A正确；当时，的定义域为，值域为，故B错误；当时，的定义域为，值域为，故C正确；当时，的定义域为，值域为，故D错误． 【变式1】（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】根据为幂函数，即可求出的值，逐一验证即可. 【详解】因为是幂函数，且， 所以，可得或（舍去），则，故A正确； 又，，，故B错误； 定义域为，，故C正确； 由，故D正确. 故选：ACD. 【变式2】（多选）对幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．的图象只在第一象限 D．在上递减 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的图象和性质，可判断答案. 【详解】对幂函数，的定义域是，因此A不正确 的值域是，B正确 的图象只在第一象限，C正确 在上递减，D正确 故选: ． 题型05 幂函数的图象 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【典例1】如图的各个函数中，在区间上单调递增的函数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】结合图象根据幂函数的性质分析判断即可. 【详解】由图象可得，除函数以外，其余四个函数均在区间上单调递增． 故选：C 【变式1】如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【详解】由题意结合图象可知. 故选：B. 【变式2】如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 题型06 定点问题 幂函数y=xa，无论a取何实数，图像恒过定点(1,1)。求解含参数幂函数过定点，令底数等于1，此时函数值恒为1。若解析式经过平移变换，分离参数之后，令含参部分等于零，解出x，再求出对应的y，即为定点。注意不要混淆幂函数与指数函数定点。做完可代入x值验证。审题看清函数是否经过左右、上下平移，不能直接默认定点就是(1,1)。不要受指数参数干扰，牢牢抓住使底数为1这一核心，避免计算定点时出现坐标颠倒的错误。 【典例1】（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（    ） A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数 C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限 【答案】AD 【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误. 【详解】幂函数的解析式为. 当时，，此函数先单调递减再单调递增， 则都是单调函数不成立，A选项错误； 当时，，定义域为，此函数为偶函数， 当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数， 所以可能是非奇非偶函数，B选项正确； 当时，无论取何值，都有， 图像必过点，C选项正确； 当时， 图像经过一三象限，D选项错误. 故选：AD. 【变式1】下列命题正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 【答案】D 【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项. 【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误； 对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误； 对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误； 对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确． 故选：D． 【变式2】下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误； 对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误； 对于C，函数，故定义域为，故错误； 对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确. 故选：D. 题型07 利用幂函数的单调性求解不等式问题 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【典例1】若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性求解. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 由可得，解得． 故选：B. 【变式1】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是____________． 【答案】 【详解】因为幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，所以为正偶数，所以，则不等式，即．因为函数在上单调递减，所以或或解得或，所以满足的a的取值范围是． 【变式2】已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 题型08 比较大小 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【典例1】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用幂函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可. 【详解】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即． 故选：B. 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对每个数变形，再利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 且幂函数在上单调递增.所以. 故选：B 【变式2】已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 故选：D. 题型09 幂函数性质的综合运用 以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【典例1】已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用幂函数的定义求得的值，再检验对应的值时的奇偶性，从而得解； （2）根据题意，利用参变分离法，结合配方法解决恒成立问题，从而得解. 【详解】（1）由题意，为幂函数， 所以，解得或， 当时，，不是偶函数，舍去； 当时，，是偶函数，满足题意； 所以； （2）依题意，知，在上恒成立， 则当时，，所以恒成立， 又， 所以当，即时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 【变式1】已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用图象上的点求出函数解析式，根据幂函数的性质选项正确选项. 【详解】设幂函数，则，即，解得，即， 的定义域是，，函数为偶函数， 由，则在上递增且越来越慢. 故选：A. 【变式2】已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解； （2）根据的定义域以及单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 则，即，解得或1， 又因为函数关于轴对称， 当时，则为偶函数，满足题意； 当时，则为奇函数，不满足题意； 综上所述：实数的值为. （2）函数，则函数在定义域内单调递减， 由可得:，解得， 所以实数的取值范围为. 1．已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【详解】是幂函数，所以,解得或； 当时，是定义在上的偶函数，不满足题意； 当时，是定义在上的奇函数，满足题意； 故选：C 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 3．如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 4．已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象与性质分析的符号，结合幂函数的性质判定选项即可. 【详解】由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 5．已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 6．已知幂函数的图象过点，函数，则“，”的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图象过点，求出，得到的解析式，并根据条件得到在上单调递减时的取值范围，最后根据必要不充分条件的含义得答案． 【详解】设幂函数，其图象过点， ，解得，， ,若满足，， 则在上单调递减，，解得， 的取值范围是，又是的真子集， 是的一个必要不充分条件. 故选：. 7．已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据是幂函数，解得或，分别代入检验是否在上是增函数，从而得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去， 所以， 故选：C. 8．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 9．已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 10．已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明:由（1）可知，，则， 任取，，且， 则 . 因为，所以，， 则，，所以， 则， 所以， 则，即， 故在上单调递增. 【分析】（1）根据幂函数定义列出方程，解得m，将m的值代入检验，得出符合题意的函数解析式； （2）由（1）可知，，利用单调性的定义证明在上的单调性即可. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，定义域为R，关于原点对称， 显然成立，故为奇函数，其图象关于原点对称，所以不符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以符合题意. 故. 1．（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【答案】BC 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 2．（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，是偶函数，定义域为， 因为幂函数，由于幂指数，所以在上单调递减，A不满足题意； 选项B：，是偶函数，定义域为， 由二次函数的图象与性质得在上单调递增，B正确； 选项C：，是偶函数，定义域为， 当时，，则在上单调递增，C正确； 选项D：，则定义域为，不是偶函数，D不满足题意； 故选：BC 3．（多选）已知，函数则以下说法正确的是（    ） A．若有最小值，则 B．存在正实数，使得是上的减函数 C．存在实数，使得的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可知在上单调递增，由函数有最小值可得在上的单调性和分段处函数值的大小关系，从而解不等式组求得的范围，知A正确；由幂函数的性质知B错误；假设的值域为，结合单调性和分段处函数值的大小关系可得的范围，知C正确；将代入，分别求出的表达式，比较可得二者值域没有交集，则D错误． 【详解】对于A，当时，在上单调递增，若有最小值，则，解得，故A正确； 对于B，当时，，由幂函数的性质知，当时，单调递增．故B错误； 对于C，在上单调递增，当时，；若的值域为，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，当时，，则，，恒成立，不存在，使得，故D不正确； 故选：AC 4．（多选）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】由幂函数的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】A错误，当时，，此时的定义域为； B正确，当时，在上单调递增，所以； C正确，当时，，所以是偶函数； D错误，当时，，则，定义域不关于原点对称所以不是奇函数. 故选：BC. 5．（多选）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，， ， 故 ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：BCD 6．（多选）已知函数的图象经过点，则（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在上最大值为 【答案】BC 【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，进而利用的解析式，结合偶函数的定义与复合函数的单调性，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得，则， 对于A，因为在处无意义， 所以的图象不经过点，故A错误； 对于B，因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，因为在上单调递增，且， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知在上最大值为，故D错误. 故选：BC. 7．（多选）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可得，代入点坐标可求解，即可求解AB,根据偶函数的定义求解C，根据幂函数的单调性以及奇偶性可列不等式求解D. 【详解】对于A，由于幂函数的图象经过点， 故，解得，故，A正确， 对于B，无意义，故B错误， 对于C，定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数，C正确， 对于D，由于是偶函数，且在单调递减， 故由可得，解得且，故D错误， 故选：AC 8．（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据与的意义，结合函数图像，判断D选项. 【详解】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 9．已知幂函数在内单调递增，. (1)求的值； (2)设，判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由幂函数定义求出或，再根据单调性得. （2）结合单调性的定义，按照证明单调性的步骤解答即可. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，， 即，解得或， 又在内单调递增，由幂函数的单调性可知，． （2）在上单调递减． 证明：由（1）可知，，则． ，且， 则 ， 因为，所以，又，所以， 则，即，所以， 故函数在上单调递减． 10．已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性，建立方程，可得答案； （2）由（1）可得函数解析式，整理不等式，构造新函数，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即 解得或2， 因为在上单调递增，所以，即； （2）由（1）知即，要使此不等式在上恒成立， 只需使函数在上的最小值大于0即可， 因为在上单调递减， 所以， 由，解得，所以实数的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $