第10讲 指数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数这一核心知识点，从初中已学的平方根、立方根出发，系统推广至n次方根概念，通过分数指数幂实现根式与指数幂的统一表示，构建起有理数指数幂运算性质的完整知识支架。 该资料以题型分类训练（含例题及变式）、分层巩固检测卷为特色，结合易错清单和方法总结墙，助力学生在化简、互化、计算等实例中培养运算能力与推理意识，通过规范步骤表达提升数学语言精确性。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第 10 讲 4.1 指数 ▶ 预习目标 ● 1．理解 次方根的概念，掌握 的化简规律（奇次去绝对值、偶次加绝对值）。 ● 2．理解分数指数幂的意义，会把根式化为分数指数幂。 ● 3．掌握有理数指数幂的运算性质，能熟练进行指数式化简与求值。 ● 4．会解决简单的指数方程与条件求值问题。 ▶ 知识回顾 初中已学平方根 （）与立方根 。本讲把“根”推广到任意正整数次，并用分数指数幂统一表示根式，使运算规律与整数指数一致。 ▶ 新知导图 次方根 若 则 是 的 次方根 根式化简 分数指数 运算性质 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 $n$ 次方根与根式 若 （），则 叫 的 次方根。正数有两个偶次方根（互为相反）；负数没有偶次方根；任意实数有唯一奇次方根。根式 中 为根指数。化简关键：（ 奇），（ 偶）。 ◆ 知识点 02 分数指数幂 规定 （，），。零的正分数次幂为 ，负分数次幂无意义。这样根式与分数指数幂可互化，运算统一。 ◆ 知识点 03 有理数指数幂的运算性质 对 ，：；；。这些与整数指数一致，是化简的核心工具。 ◆ 理解提示 根式化指数时默认 （保证意义）；偶次根式的化简结果必须加绝对值，最后再按字母范围去掉。先化指数再运算，往往比直接算根式简单。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【例 2】 把 写成指数形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 化为根式为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 若 ，则 用指数表示等于（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 化简 得（ ） A． B． C． D． 【例 3】 计算 的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 计算 的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 化简 得（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【例 4】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 化简 得（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 2． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 3． 化为根式为（ ） A． B． C． D． 4． 计算 得（ ） A． B． C． D． 5． 计算 得（ ） A． B． C． D． 6． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 7． 的值为（ ） A． B． C． D． 8． 化简 得（ ） A． B． C． D． 9． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 10． 已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 12． 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 13． 计算 的值为（ ） A． B． C． D． 14． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 15． 已知 且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．偶次根式结果非负：（ 偶），别漏绝对值。 ● 2．奇次根式直接去根：（ 奇）。 ● 3．负分数指数先取倒数再开方，不是“负的根”。 ● 4．运算性质只在同一底数、实数指数下自由使用；根式化指数后更不易错。 ▶ 方法总结墙 （1）根式化简：看根指数奇偶，偶次加绝对值。（2）互化：，先化指数再算。（3）运算：同底数加减指数、幂的乘方乘指数、积的幂分配。（4）条件求值：平方升次、利用已知整体代入。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 10 讲 4.1 指数 ▶ 预习目标 ● 1．理解 次方根的概念，掌握 的化简规律（奇次去绝对值、偶次加绝对值）。 ● 2．理解分数指数幂的意义，会把根式化为分数指数幂。 ● 3．掌握有理数指数幂的运算性质，能熟练进行指数式化简与求值。 ● 4．会解决简单的指数方程与条件求值问题。 ▶ 知识回顾 初中已学平方根 （）与立方根 。本讲把“根”推广到任意正整数次，并用分数指数幂统一表示根式，使运算规律与整数指数一致。 ▶ 新知导图 次方根 若 则 是 的 次方根 根式化简 分数指数 运算性质 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 $n$ 次方根与根式 若 （），则 叫 的 次方根。正数有两个偶次方根（互为相反）；负数没有偶次方根；任意实数有唯一奇次方根。根式 中 为根指数。化简关键：（ 奇），（ 偶）。 ◆ 知识点 02 分数指数幂 规定 （，），。零的正分数次幂为 ，负分数次幂无意义。这样根式与分数指数幂可互化，运算统一。 ◆ 知识点 03 有理数指数幂的运算性质 对 ，：；；。这些与整数指数一致，是化简的核心工具。 ◆ 理解提示 根式化指数时默认 （保证意义）；偶次根式的化简结果必须加绝对值，最后再按字母范围去掉。先化指数再运算，往往比直接算根式简单。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 （偶次根式结果非负）。 【变式 1-1】 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （奇次根式 ）。 【变式 1-2】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，因 故 。 【变式 1-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （奇次， 的根为 ）。 【例 2】 把 写成指数形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由定义 ，故 。 【变式 2-1】 化为根式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 【变式 2-2】 若 ，则 用指数表示等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，，相乘得 。 【变式 2-3】 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （）。 【例 3】 计算 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 同底数：。 【变式 3-1】 计算 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 【变式 3-2】 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 【变式 3-3】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【例 4】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 将已知平方：，故 。 【变式 4-1】 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 平方：，故 。 【变式 4-2】 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，除以 得 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 奇次根式 。 2． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 偶次根式 。 3． 化为根式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，故 。 4． 计算 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 5． 计算 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 6． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 相加指数 ，得 。 7． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，故 （偶次取非负根）。 8． 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 9． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，故 。 10． 已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，相乘 。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 平方：，故 。 12． 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ；除以 得 。 13． 计算 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 14． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 15． 已知 且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 ▶ 易错清单 ● 1．偶次根式结果非负：（ 偶），别漏绝对值。 ● 2．奇次根式直接去根：（ 奇）。 ● 3．负分数指数先取倒数再开方，不是“负的根”。 ● 4．运算性质只在同一底数、实数指数下自由使用；根式化指数后更不易错。 ▶ 方法总结墙 （1）根式化简：看根指数奇偶，偶次加绝对值。（2）互化：，先化指数再算。（3）运算：同底数加减指数、幂的乘方乘指数、积的幂分配。（4）条件求值：平方升次、利用已知整体代入。 学科网（北京）股份有限公司 $