第14讲 指数与指数函数讲义（知识详解+11典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册暑假预习

第14讲 指数与指数函数（知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：n次方根 知识点02：分数指数幂 知识点03：无理数指数幂的运算 知识点04：指数函数的概念 知识点05：指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 知识点06：指数函数的图象 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：分数指数幂与根式的互化 题型02：指数幂的化简、求值 题型03：指数函数的判定与求值 题型04：判断指数型函数的图象形状 题型05：指数型函数图象过定点问题 题型06：求指数(型)函数、指数型复合函数的定义域 题型07：求指数型复合函数内的值域 题型08：判断指数函数、指数型复合函数的单调性 题型09：比较指数幂的大小 题型10：求已知指数型函数的最值 题型11：由指数(型)的单调性求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】n次方根 1．n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝ (n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而没有意义，故()n ≠ (3)当a≥0时，)n = ；当a<0且n为奇数时，)n =；当a<0且n为偶数时，对要注意运算次序． 【例1】化简下列各式：(1)；(2) 解：步骤1：分析根式次数与取值 (1) 该根式次数（奇数），满足 (2) 该根式次数（偶数），满足 最终答案：(1) ；(2) 【知识点02】分数指数幂 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 拓展：①＝ar-s(a>0，r，s∈Q)． ②= (a>0，b>0，r∈Q)． 注意点： (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法． (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数． 【例2】将下列根式化为分数指数幂并计算： 解：步骤1：统一化为分数指数幂 步骤2：利用指数幂乘法法则运算 最终答案： 【知识点03】无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 注意点： 特别强调底数a>0. 【例3】比较大小： 与 解：步骤1：判断底数范围 底数，指数函数在上单调递增。 步骤2：比较指数大小 因为，所以。 步骤3：结合单调性得出结论 由单调递增性质得： 最终答案： 【知识点04】指数函数的概念 指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R. 注意点： (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 【例4】若函数是指数函数，求的值。 详细解析 步骤1：根据指数函数定义列条件 由指数函数系数为1、底数合规可得： 步骤2：解方程 步骤3：验证底数范围 不满足，无解。 最终答案：不存在满足条件的实数 【知识点05】指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 【例5】某理财产品年化收益率为4%，存入本金10000元，复利计息，求3年后的本息和。 详细解析 步骤1：确定模型参数（指数增长模型） 本金，增长率，年限 步骤2：代入指数增长公式 步骤3：计算结果 最终答案：3年后本息和为11248.64元 【知识点06】指数函数的图象 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 【例6】已知指数函数的图象过点，求的值，并说明函数单调性。 解：步骤1：代入定点求底数 将代入得： 由指数函数定义，得。 步骤2：确定函数解析式 步骤3：计算函数值 步骤4：判断单调性 底数，函数在上单调递增。 最终答案：，函数在上单调递增 【题型01】分数指数幂与根式的互化 【典例1-1】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A 【变式1-1】（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【答案】 【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 【题型02】指数幂的化简、求值 【典例2-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁大连·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数的运算律化简即可； （2）将平方处理可得. 【详解】（1） ； （2）因，则， 因，则， 因，则， 则. 【题型03】指数函数的判定与求值 【典例3-1】判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 【变式3-1】下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 【变式3-2】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为， 令，解得，则.故选：B 【变式3-3】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性计算即可. 【详解】. 【题型04】判断指数型函数的图象形状 【典例4-1】（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和值域可得答案. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，且，为奇函数，排除A,C; 时，，排除D. 【变式4-1】（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·四川南充·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性及其在时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于，由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数，排除AB选项， 当时，，，则，此时，排除C选项， 故选：D. 【变式4-3】（多选）（25-26高一上·广东惠州·期中）下列图象中，不可能表示指数函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项. 【详解】指数函数的一般形式为且，其具有以下性质：定义域为，值域为 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. 图象恒过点.观察图像可知，只有C可能是指数函数图象. 故选：ABD. 【题型05】指数型函数图象过定点问题 【典例5-1】（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 【变式5-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数定点计算求解. 【详解】因为，所以函数的图象过定点. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 【变式5-3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点可得. 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 【题型06】求指数(型)函数、指数型复合函数的定义域 【典例6-1】（24-25高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式6-2】函数的定义域为___________． 【答案】． 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是_____________. 【答案】 【分析】求出使式子有意义的的范围． 【详解】由题意，解得且， 故答案为：． 【题型07】求指数型复合函数内的值域 【典例7-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的值域即可求解． 【详解】因为指数函数，所以． 【变式7-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________. 【答案】 【分析】方法一：通过分离常数法将函数进行变形，再结合指数函数的性质求函数的值域. 方法二：直接指数函数的有界性求值域. 【详解】方法一：. 函数的定义域为，则且， 当时，，，； 当时，，，； 综上，函数的值域是. 方法二：令，则. 因为，所以，即， 解得或. 故函数的值域是. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据是定义在上的奇函数，则时，，当时，，表示出，结合求解析式即可； （2）根据不等式的性质可得，结合奇函数的性质得到值域即可． 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，则， 则． 故； （2）当时，，则，， 即当时，． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，． 又，所以的值域为． 【题型08】判断指数函数、指数型复合函数的单调性 【典例8-1】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可求解． 【详解】对于A，函数为偶函数，当时，单调递减，故A不正确； 对于B，指数函数为非奇非偶函数，且在上单调递减，故B不正确； 对于C，函数是偶函数又在区间上单调递减，故C不正确； 对于D，函数是偶函数又在区间上单调递增，故D正确.故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用复合函数性质及二次函数性质计算即可得. 【详解】因为复合函数是由与复合而得， 而在上单调递减， 所以的单调减区间即为的单调增区间， 因为开口向下，对称轴为， 所以的单调增区间, 故函数的单调递减区间为. 故答案为：． 【变式8-2】（多选）（25-26高一上·四川德阳·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用函数的奇偶性和单调性定义逐一判断. 【详解】对于A，设，定义域为，，所以为奇函数， 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，故A正确； 对于B，设，定义域为，，所以为奇函数，因为在上单调递增，故B错误； 对于C，设，定义域为，，所以为偶函数，故C错误； 对于D，设，定义域为，则，所以为奇函数， ，由于在上单调递增，所以在上单调递减，则在上单调递减，故D正确. 故选：AD 【变式8-3】已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)试判断的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】(1) (2) 函数在上为增函数，证明如下： 任取、且，则， 则， 所以，，所以，函数在上为增函数. 【分析】（1）利用奇函数的定义可求得实数的值； （2）判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）对任意的，，所以，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，即， 所以，， 可得，所以，. （2）略 【题型09】比较指数幂的大小 【典例9-1】（2026高一·全国·专题练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用函数，在上单调递增可得答案. 【分析】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 【变式9-1】（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【答案】 ＜ ＞ 【详解】（1）∵，∴函数在上是减函数， 又，∴， （2）， ∵函数在上是增函数， ∴，即． 【变式9-2】（多选）（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知实数x，y满足：，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数，设， 当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，    由函数图象可知，，则，所以， 故A，B，C，D错误； 当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，    由函数图象可知，，则，所以， 故A，B正确，C，D错误； 故选：AB. 【变式9-3】已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)试判断的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】(1) (2) 函数在上为增函数，证明如下： 任取、且，则， 则， 所以，，所以，函数在上为增函数. 【分析】（1）利用奇函数的定义可求得实数的值； （2）判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）对任意的，，所以，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，即， 所以，， 可得，所以，. （2）略 【题型10】求已知指数型函数的最值 【典例10-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 【变式10-1】（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 【变式10-2】（多选）（25-26高一上·广东东莞·期中）下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为3 C．当x＞1时，的最小值是3 D．的最大值为5 【答案】ABD 【分析】通过换元法、分区间讨论、基本不等式、二次函数最值分析，逐一验证各选项的正确性. 【详解】选项A，设（），则，代入得：. 该二次函数开口向上，顶点在处，代入得：，故A正确. 选项B，分区间讨论：当时，原式； 当时，原式，范围为； 当时，原式. 其最大值为3，故B正确. 选项C，当时，，令（），则原式. 由基本不等式，，但等号成立需（即，），与矛盾， 故最小值取不到3，C错误. 选项D，，二次函数开口向下，顶点在处， 最大值为，故，D正确. 故答案为：ABD 【变式10-3】求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为. 【分析】根据指数函数单调性即可得函数在上的单调性，进而可得最值. 【详解】因为，所以函数在单调递减， 所以函数在处取值最大值为； 在处取得最小值为. 所以函数，的最大值为，最小值为. 【题型11】由指数(型)的单调性求参数 【典例11-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【详解】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 【变式11-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 【变式11-2】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的规律，结合二次函数知识可得答案. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. 【变式11-3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围； （2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值. 【详解】（1）令，则该函数为增函数， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 故，即. （2）令，则函数的最大值为0， ①当即时，，解得； ②当即时，，解得，舍去； 综上， 知识点01 n次方根 1. 基本定义 若，则叫做的n次方根。 2. 取值规律 n为奇数：任意实数有且仅有一个n次方根； n为偶数：正数有两个互为相反数的方根，负数无偶次方根； 的任意n次方根为。 3. 核心化简公式 知识点02 分数指数幂 1. 根式与指数幂互化（） 正分数指数幂： 负分数指数幂： 2. 特殊规定 的正分数指数幂为，的负分数指数幂无意义。 3. 指数幂运算性质（） 知识点03 无理数指数幂 1. 定义 当，为无理数时，是一个确定的实数，称为无理数指数幂。 2. 核心性质 1. 无理数指数幂完全沿用有理数指数幂的全部运算性质； 2. 单调性规则： 时，随增大而增大； 时，随增大而减小。 知识点04 指数函数的概念 1. 标准定义 一般地，形如 的函数叫做指数函数，定义域为。 2. 严格判定三条件 1. 底数：常数，满足； 2. 指数：只能是自变量； 3. 系数：解析式系数为1，无常数项、无额外变形。 3. 常见非指数函数辨析 均不是指数函数。 知识点05 指数增长与指数衰减实际应用 1. 通用指数模型 参数说明：为初始量，为变化率，为时间/变化次数。 2. 两类模型区分 指数增长：，函数快速递增，适用于复利计息、种群增长、细胞分裂； 指数衰减：，函数逐步递减，适用于物品折旧、放射性衰变、溶液浓度稀释。 知识点06 指数函数的图象与性质 1. 通用性质（不分底数） 定义域：，值域：； 图象恒在x轴上方，无零点； 图象恒过定点 。 2. 底数分类单调性 1. ：函数在上单调递增（指数增长图象）； 2. ：函数在上单调递减（指数衰减图象）。 知识点07本节高频易错点总结 1. 负数不能开偶次方，0的负分数指数幂无意义，解题优先判断取值范围； 2. 偶次根式化简结果必须加绝对值，防止符号出错； 3. 指数函数判定严格，变形、带系数、带常数项均不属于标准指数函数； 4. 无理数指数幂大小比较，直接依托指数函数单调性判断即可； 5. 指数增长、衰减模型关键看变化率的正负，区分增减趋势。 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 2．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数 且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 5．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）函数（，且）的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令指数部分为0即可得定点. 【详解】令，求得，且， 故函数（且）恒过定点． 故选：B 6．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性得出，再由指数函数单调性求最值. 【详解】令，由指数函数的单调性可知单调递增， 单调递减，所以为上的增函数， 由可得， 即，所以，即， 所以， 故选：A 7．（25-26高一上·广东汕头·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性可知在区间上单调递减，解不等式即可． 【详解】在上单调递减， 又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， ，解得． 8．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得，结合其渐近线及指数函数的性质确定参数范围或参数值. 【详解】因为的图象过原点，所以， 因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交， 所以，，. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一上·河北邢台·期中）函数，且的部分图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】首先判断出为偶函数，再对分类讨论即可. 【详解】函数的定义域为，且， 则是偶函数，故D错误，． 当时，在上单调递增，且，A正确，B错误． 当时，在上单调递减，且，C正确． 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若，则= ______. 【答案】24 【分析】由指数幂的运算即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 13．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）设函数为定义在上的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【分析】首先根据奇函数的性质可得：，再代入函数解析式中进行求解即可. 【详解】已知为定义在上的奇函数，因此可得：. 又当时，，因此可得：， 综上可得：. 故答案为： 14．（24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【分析】先由函数图象经过定点推得，求出，再由图象过点确定的值即可. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以， 解得，故. 又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．选取底数，，，，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性？ 【答案】 画出函数图象，如图所示． 观察图象知，指数函数定义域是R，值域是，没有最值，图象都经过定点； 时，函数在定义域内单调递减，时函数在定义域内单调递增， 与的图象关于y轴对称. 【详解】略 16．（25-26高一上·宁夏固原·期中）（1）计算: ； （2）已知， 若，求下列各式的值： ①；② . 【答案】（1）84；（2）①79；② 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）①根据平方关系可得，即可得结果；②根据平方关系可得，即可得结果. 【详解】（1）原式； （2）①因为，， 所以； ②因为， 且，所以. 17．（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 18．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）结合二次函数性质和指数函数性质，利用配方法可求的最小值； （2）先判断，然后求出的最大值后列不等式即可求解． 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件； ∴，此时在上为减函数， 故， 由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． 19．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)函数是上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数是奇函数，分和不存在，两种情况讨论，结合，即可求解； （2）由（1）得到函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由题意，转化为，令，转化为存在使得成立，即，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数是奇函数， ①若，解得，所以， 则， 又由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； ②若不存在时，可得，此时， 由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； （2）解：函数是上的增函数. 证明如下：由（1）知：函数，其定义域为， 任取且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以是上的增函数. （3）解：由函数是上奇函数，且是单调递增函数， 不等式， 即为， 所以，整理得， 令，因为，可得， 则，当时，即时，等号成立， 当时，可得，所以， 又因为，所以， 因为存在使得成立， 即存在使得成立，即， 令，可得函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 指数与指数函数（知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：n次方根 知识点02：分数指数幂 知识点03：无理数指数幂的运算 知识点04：指数函数的概念 知识点05：指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 知识点06：指数函数的图象 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：分数指数幂与根式的互化 题型02：指数幂的化简、求值 题型03：指数函数的判定与求值 题型04：判断指数型函数的图象形状 题型05：指数型函数图象过定点问题 题型06：求指数(型)函数、指数型复合函数的定义域 题型07：求指数型复合函数内的值域 题型08：判断指数函数、指数型复合函数的单调性 题型09：比较指数幂的大小 题型10：求已知指数型函数的最值 题型11：由指数(型)的单调性求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】n次方根 1．n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝ (n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而没有意义，故()n ≠ (3)当a≥0时，)n = ；当a<0且n为奇数时，)n =；当a<0且n为偶数时，对要注意运算次序． 【例1】化简下列各式：(1)；(2) 【知识点02】分数指数幂 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 拓展：①＝ar-s(a>0，r，s∈Q)． ②= (a>0，b>0，r∈Q)． 注意点： (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法． (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数． 【例2】将下列根式化为分数指数幂并计算： 【知识点03】无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 注意点： 特别强调底数a>0. 【例3】比较大小： 与 【知识点04】指数函数的概念 指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R. 注意点： (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 【例4】若函数是指数函数，求的值。 【知识点05】指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 【例5】某理财产品年化收益率为4%，存入本金10000元，复利计息，求3年后的本息和。 【知识点06】指数函数的图象 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 【例6】已知指数函数的图象过点，求的值，并说明函数单调性。 【题型01】分数指数幂与根式的互化 【典例1-1】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【变式1-3】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型02】指数幂的化简、求值 【典例2-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁大连·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【题型03】指数函数的判定与求值 【典例3-1】判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【变式3-1】下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【题型04】判断指数型函数的图象形状 【典例4-1】（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·四川南充·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）（25-26高一上·广东惠州·期中）下列图象中，不可能表示指数函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【题型05】指数型函数图象过定点问题 【典例5-1】（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【变式5-3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【题型06】求指数(型)函数、指数型复合函数的定义域 【典例6-1】（24-25高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【变式6-2】函数的定义域为___________． 【变式6-3】（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是_____________. 【题型07】求指数型复合函数内的值域 【典例7-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________. 【变式7-3】（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【题型08】判断指数函数、指数型复合函数的单调性 【典例8-1】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 【变式8-2】（多选）（25-26高一上·四川德阳·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)试判断的单调性，并用单调性的定义证明. 【题型09】比较指数幂的大小 【典例9-1】（2026高一·全国·专题练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【变式9-2】（多选）（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知实数x，y满足：，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数为奇函数. (1)求的值； (2)试判断的单调性，并用单调性的定义证明. 【题型10】求已知指数型函数的最值 【典例10-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【变式10-2】（多选）（25-26高一上·广东东莞·期中）下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为3 C．当x＞1时，的最小值是3 D．的最大值为5 【变式10-3】求函数，的最大值与最小值． 【题型11】由指数(型)的单调性求参数 【典例11-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【变式11-3】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上的最大值为0，求的值． 知识点01 n次方根 1. 基本定义 若，则叫做的n次方根。 2. 取值规律 n为奇数：任意实数有且仅有一个n次方根； n为偶数：正数有两个互为相反数的方根，负数无偶次方根； 的任意n次方根为。 3. 核心化简公式 知识点02 分数指数幂 1. 根式与指数幂互化（） 正分数指数幂： 负分数指数幂： 2. 特殊规定 的正分数指数幂为，的负分数指数幂无意义。 3. 指数幂运算性质（） 知识点03 无理数指数幂 1. 定义 当，为无理数时，是一个确定的实数，称为无理数指数幂。 2. 核心性质 1. 无理数指数幂完全沿用有理数指数幂的全部运算性质； 2. 单调性规则： 时，随增大而增大； 时，随增大而减小。 知识点04 指数函数的概念 1. 标准定义 一般地，形如 的函数叫做指数函数，定义域为。 2. 严格判定三条件 1. 底数：常数，满足； 2. 指数：只能是自变量； 3. 系数：解析式系数为1，无常数项、无额外变形。 3. 常见非指数函数辨析 均不是指数函数。 知识点05 指数增长与指数衰减实际应用 1. 通用指数模型 参数说明：为初始量，为变化率，为时间/变化次数。 2. 两类模型区分 指数增长：，函数快速递增，适用于复利计息、种群增长、细胞分裂； 指数衰减：，函数逐步递减，适用于物品折旧、放射性衰变、溶液浓度稀释。 知识点06 指数函数的图象与性质 1. 通用性质（不分底数） 定义域：，值域：； 图象恒在x轴上方，无零点； 图象恒过定点 。 2. 底数分类单调性 1. ：函数在上单调递增（指数增长图象）； 2. ：函数在上单调递减（指数衰减图象）。 知识点07本节高频易错点总结 1. 负数不能开偶次方，0的负分数指数幂无意义，解题优先判断取值范围； 2. 偶次根式化简结果必须加绝对值，防止符号出错； 3. 指数函数判定严格，变形、带系数、带常数项均不属于标准指数函数； 4. 无理数指数幂大小比较，直接依托指数函数单调性判断即可； 5. 指数增长、衰减模型关键看变化率的正负，区分增减趋势。 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 2．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数 且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 5．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）函数（，且）的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 7．（25-26高一上·广东汕头·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·河北邢台·期中）函数，且的部分图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 12．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若，则= ______. 13．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）设函数为定义在上的奇函数，当时，，则______. 14．（24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 四、解答题 15．选取底数，，，，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性？ 16．（25-26高一上·宁夏固原·期中）（1）计算: ； （2）已知， 若，求下列各式的值： ①；② . 17．（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 18．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $