专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的内在联系，从概念（零点）切入，通过判别式分类讨论图像与方程根、不等式解集的对应关系，构建“概念-关系-应用”的学习支架，涵盖基础解法、含参讨论及恒成立问题。 以数形结合为主线，即学即练与题型示例培养直观想象（数学眼光），含参不等式分类讨论提升逻辑推理（数学思维），实际问题（如刹车距离、电价）强化模型意识（数学语言）。课中助教师分层教学，课后供学生针对性练习，查漏补缺。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学目标 1. 理解三者之间的内在联系，掌握一元二次不等式解法，会借助二次函数图像求解解集，熟记判别式对应的解集情况。 2. 通过数形结合探究图像与方程、不等式的对应关系，提升识图能力，学会分类讨论含参一元二次不等式。 3. 体会数形结合思想，养成规范求解不等式的习惯，能用不等式模型解决实际问题，发展直观想象与数学运算素养。 教学重难点 重点 1. 知识技能：理解三者之间的内在联系，掌握一元二次不等式解法，会借助二次函数图像求解解集，熟记判别式对应的解集情况。 2. 过程方法：通过数形结合探究图像与方程、不等式的对应关系，提升识图能力，学会分类讨论含参一元二次不等式。 3. 情感素养：体会数形结合思想，养成规范求解不等式的习惯，能用不等式模型解决实际问题，发展直观想象与数学运算素养。 难点 1. 判别式Δ＜0、Δ＝0特殊情况解集的理解与记忆。 2. 含参一元二次不等式，对二次项系数、根的大小进行分类讨论。 3. 结合恒成立问题，借助二次函数最值求解参数取值范围。 知识点01 一元二次不等式的概念及零点 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的___________. 【即学即练】 1．（多选）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 知识点02 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即学即练】 1．已知，则关于的不等式的取值范围是________. 2．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 3．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 知识点03 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求__________问题. 【即学即练】 1．一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 3．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型01 解不含参数的一元二次不等式 .解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【典例1】不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【变式2】若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 题型02 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【典例1】已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【变式1】已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围________． 【变式2】（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 题型03 含有参数的一元二次不等式的解法 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【典例1】已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【变式1】（多选）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 题型04 一次分式不等式的解法 （1） （2） （3）且 （4）且 【典例1】解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【变式1】不等式的解集是________． 【变式2】若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 实际问题中的一元二次不等式问题 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 (1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． (2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． (3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． (4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【典例1】（多选）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【变式1】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【变式2】已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为___________. 题型06 不等式的恒成立问题 处理一元二次不等式恒成立问题，优先分清自变量与参数，常用分离参数法和数形结合法。全体实数恒成立，开口搭配判别式判断，大于0恒成立需开口向上、Δ小于0，小于0则开口向下、Δ小于0。给定区间恒成立，借助二次函数单调性找端点或顶点最值，转化最值不等式求解。切记讨论二次项系数是否为0，避免忽略一次不等式情况，最后检验取值范围是否符合题意。 【典例1】“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】已知二次函数，其中． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【变式2】已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)求解关于x的不等式的解集（其中）. 1．已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 2．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若命题“,”是假命题，则实数的取值范围为__________. 6．已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且，求的最小值． 7．已知函数，，则的最值为（    ） A．13， B．13，1 C．13， D．1， 8．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．若，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 10．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是________. 1．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为______． 2．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知集合集合，集合. (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 6．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 7．（多选）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 8．已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 9．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学目标 1. 理解三者之间的内在联系，掌握一元二次不等式解法，会借助二次函数图像求解解集，熟记判别式对应的解集情况。 2. 通过数形结合探究图像与方程、不等式的对应关系，提升识图能力，学会分类讨论含参一元二次不等式。 3. 体会数形结合思想，养成规范求解不等式的习惯，能用不等式模型解决实际问题，发展直观想象与数学运算素养。 教学重难点 重点 1. 知识技能：理解三者之间的内在联系，掌握一元二次不等式解法，会借助二次函数图像求解解集，熟记判别式对应的解集情况。 2. 过程方法：通过数形结合探究图像与方程、不等式的对应关系，提升识图能力，学会分类讨论含参一元二次不等式。 3. 情感素养：体会数形结合思想，养成规范求解不等式的习惯，能用不等式模型解决实际问题，发展直观想象与数学运算素养。 难点 1. 判别式Δ＜0、Δ＝0特殊情况解集的理解与记忆。 2. 含参一元二次不等式，对二次项系数、根的大小进行分类讨论。 3. 结合恒成立问题，借助二次函数最值求解参数取值范围。 知识点01 一元二次不等式的概念及零点 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 【即学即练】 1．（多选）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 2．（多选）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 3．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 知识点02 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【即学即练】 1．已知，则关于的不等式的取值范围是________. 【答案】 【分析】由分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，即， 所以解关于的不等式等价于解不等式， 因为，所以. 故答案为： 2．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果. 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 3．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 知识点03 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【即学即练】 1．一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】一元二次不等式的解集为，即恒成立， 得到充要条件是 故选：B 2．不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当 时，显然成立；当时，由求解即可； （2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可. 【详解】（1）当 时， 显然恒成立； 当 时，不等式 对一切实数 都成立， 则 ，解得 ． 综上， ． （2）因为“”是“”的充分条件， 所以． 又 ，即 在 上恒成立． 令 ， 则 ， 解得 ， 所以的取值范围为． 3．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 题型01 解不含参数的一元二次不等式 .解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【典例1】不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式1】设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）当时，或； ∵， ∴或； （2）∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 【变式2】若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解； （2）把不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则是方程的两根， 所以， 故，此时； （2）， 解得：或， 所以不等式的解集为或. 题型02 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【典例1】已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 【变式1】已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】由二次函数性质及结合的零点一个零点大于1，另一个零点小于1，可得 【详解】因为函数的一个零点大于1，另一个零点小于1， 所以有两个根，则，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 题型03 含有参数的一元二次不等式的解法 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【典例1】已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. （2）由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【变式1】（多选）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 【变式2】已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 【答案】D 【分析】A选项，因式分解得到，当时，，A正确；B选项，时，，A中元素均为负数，B正确；C选项，在AB基础上，得到时，，结合得到不等式，求出C正确；D选项，由根的判别式得到A不可能为空集. 【详解】A选项，由，得， 当，即时，，得，则，A正确； B选项，当，即时，， 此时与均为负值，所以A中元素均为负数，B正确； C选项，由AB知，时，不满足， 当，即时，， 因为，所以，得，C正确； D选项，由题意得，则A不可能为空集，D错误． 故选：D 题型04 一次分式不等式的解法 （1） （2） （3）且 （4）且 【典例1】解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）移项后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解； （2）因式分解后可求不等式的解； （3）先因式分解，再对分类讨论分别得到不等式的解即可． 【详解】（1）由得， 即，解得． 故原不等式的解集为． （2）因为， 解得或，所以原不等式的解集为或． （3）不等式可化为， 解方程的根， 得，， 当时，解不等式得或， 当时，解不等式得或， ∴当时，解集为， 当时，解集为． 【变式1】不等式的解集是________． 【答案】 【分析】变形，等价于，求出解集. 【详解】， 等价于，解得， 解集为. 故答案为； 【变式2】若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以． 题型05 实际问题中的一元二次不等式问题 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 (1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． (2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． (3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． (4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【典例1】（多选）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 【变式1】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 【变式2】已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为___________. 【答案】2 【详解】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得. 题型06 不等式的恒成立问题 处理一元二次不等式恒成立问题，优先分清自变量与参数，常用分离参数法和数形结合法。全体实数恒成立，开口搭配判别式判断，大于0恒成立需开口向上、Δ小于0，小于0则开口向下、Δ小于0。给定区间恒成立，借助二次函数单调性找端点或顶点最值，转化最值不等式求解。切记讨论二次项系数是否为0，避免忽略一次不等式情况，最后检验取值范围是否符合题意。 【典例1】“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1】已知二次函数，其中． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为. 【分析】（1）条件可转化为，然后利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围， （2）不等式等价于，即，然后分，，，和五种情况讨论求解即可 【详解】（1）不等式即为：， 当时，可变形为：，. 即， 又，当且仅当，即时，等号成立， ∴，即. 实数的取值范围是. （2）， 等价于，即， ①当时，不等式整理为，解得：； 当时，方程的两根为：，. ②当时，可得，解不等式得：或； ③当时 （i）当时，因为，解不等式得：； （ii）当时，因为，不等式的解集为； （iii）当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为. 【变式2】已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)求解关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分离参数构造函数，利用基本不等式求出最小值即得. （2）直接解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1），不等式恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 由，得，所以不等式的解为或； 故原不等式的解集为或. 1．已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i） （ii）当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 2．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 3．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A 4．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 5．若命题“,”是假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】； 【分析】问题等价于命题“, ”是真命题，结合判别式的符号可得答案. 【详解】命题“,”是假命题， 则命题“, ”是真命题， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 6．已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由不等式的解集为，可得且和是方程的两个实数根，再根据根与系数的关系即可求解； （2）由，可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以，且的两根为和， 则根据韦达定理，可得，解得； （2）由，可得，化简得. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 7．已知函数，，则的最值为（    ） A．13， B．13，1 C．13， D．1， 【答案】A 【分析】将二次函数解析式平方，可得抛物线对称轴方程，结合即可得答案. 【详解】由， 其图象为开口向上且对称轴为的抛物线， 又，所以函数在上递减，在上递增， 所以当时有最大值为13， 当时有最小值为． 故选：A． 8．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 9．若，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 10．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【详解】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以. 1．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为______． 【答案】2 【详解】依题意，，解得，即实数的最小值为2． 2．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 3．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 4．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得． 5．已知集合集合，集合. (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求解出集合和集合，再根据交集和并集的定义进行计算. （2）根据是成立的必要不充分条件得出集合与集合的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）已知，解不等式： 移项可得，通分得到，即. 此不等式等价于. 解，可得，所以. 已知，当时，. 解不等式，可得，即，所以. 所以. . （2）已知，解不等式，可得，即，所以. 因为是成立的必要不充分条件，所以. 则有（不能同时取等号），解得. 所以实数的取值范围是 6．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 7．（多选）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BC 【分析】结合函数的图象，即可得出的范围. 【详解】，结合函数的图象可知， 当时，既有最大值又有最小值， 故选：BC 8．已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 9．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 10．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $