第04讲 等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先回顾初中等式的对称、传递、加减乘除性质，通过作差法建立实数大小比较基础，进而系统梳理不等式的对称、传递、加法、同向相加等八条性质，构建从等式到不等式的知识支架。 资料以新知导图清晰呈现知识结构，题型分类训练含例题、变式及巩固检测，强调作差法推理依据，培养数学思维中的推理能力与数学语言的符号表达。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识应用。

第 04 讲 等式性质与不等式性质 ▶ 预习目标 ● 1．回忆等式的基本性质，能用数学符号准确表述对称性、传递性与等量代换。 ● 2．理解实数大小比较的充要条件：作差法 。 ● 3．掌握不等式的八条基本性质，能判断变形对错、进行大小比较与简单证明。 ● 4．会求已知范围的代数式的取值范围（同向可加、正数可乘）。 ▶ 知识回顾 初中我们学过等式的性质，本讲把它推广到不等式，并给出严格的“作差比较”依据： ● 等式性质：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 。 ● 实数有序：任意两个实数必可比较大小，且 ，，。 ▶ 新知导图 等式性质 对称、传递、加减、乘除（除数非零） 大小比较 作差法：差的正负决定大小 不等式性质 对称、传递、加法、同向相加、乘正数不变号、乘负数变号、正数同向相乘 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 等式的基本性质 等式两边同时加、减、乘同一个数（或除以同一个非零数），等式仍成立。简记：等号两边“同加同减同乘同除（除零外）”保持相等。 ◆ 知识点 02 实数的大小比较（作差法） 对任意实数 ，有 ，，。比较两式大小的标准步骤：作差 变形（配方或因式分解） 判断符号 下结论。 ◆ 知识点 03 不等式的基本性质 记 ，核心性质如下： ● （1）对称性：； ● （2）传递性：若 ，则 ； ● （3）加法单调性：若 ，则 ； ● （4）同向可加：若 ，则 ； ● （5）乘法单调性：若 ，则 ；若 ，则 ； ● （6）正数同向相乘：若 ，则 ； ● （7）乘方：若 ，则 。 ◆ 理解提示 作差法是最“根本”的比较工具，所有不等式性质最终都可由它推出。乘（或除以）负数时方向必须反过来；只有两边都为正数时才能“同向相乘”或“同向相除”。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 已知 ，，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 由加法单调性， 与 同向相加得 ，C 恒成立。A 中 不能保证 ；B 需 为正数；D 除式可能为负或零，均不一定成立。 【变式 1-1】 若 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 因 ，取绝对值有 ，故 ，B 对。A 错：负数取倒数方向反转，；C 错：（因 乘 变号）；D 当 时取等号而非严格小于。 【变式 1-2】 下列命题中正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】 C 【详解】 由 知 ，两边同除以正数 得 ，C 对。A 反例 有 但 ；B 反例异号；D 未说明 正负，乘负数会变号。 【变式 1-3】 若 ，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由正数同向相乘性质， 与 相乘得 ，B 对。A 不能由异向相减推出；根据B的结果C 不成立；D 由同向相加应为 ，题写 一般不成立。 【例 2】 已知 ，，求证：。 【答案】 因为 且 ，由乘法单调性得 ；又 且 ，得 。由传递性 ，故 。 【详解】 证明：由 ；由 ；所以 。 【变式 2-1】 已知 ，，求证：。 【答案】 由 得 ；又 ，同向相加得 ，即 。 【详解】 证明：因 ，两边乘 变号得 ；与 同向相加即得 。 【变式 2-2】 已知 ，求证：。 【答案】 因为 ，由乘方性质（或 ）得 。 【详解】 证明：作差 ，由 知 ，故差为正，即 。 【变式 2-3】 已知 ，，求证：。 【答案】 由乘法单调性：不等式两边同乘正数 ，方向不变，故 。 【详解】 证明：已知 ，两边同乘 得 。 【例 3】 比较 与 的大小。 【答案】 作差：，故二者相等。 【详解】 解：作差得 ，所以 。 【变式 3-1】 比较 与 的大小。 【答案】 作差：，故 。 【详解】 解： 恒成立，所以 。 【变式 3-2】 比较 与 的大小。 【答案】 作差：，故 （当且仅当 取等）。 【详解】 解：，所以 ，等号当且仅当 成立。 【变式 3-3】 比较 与 的大小。 【答案】 作差：，故前者小于后者。 【详解】 解：作差得 ，所以 。 【例 4】 已知 ，，求 与 的取值范围。 【答案】 ：由 得 ，与 同向相加得 ；： 且 ，得 。 【详解】 解：（1）由 得 ，与 相加得 。（2）由 取倒数得 ，与 正项相乘得 。 【变式 4-1】 已知 ，，求 与 的取值范围。 【答案】 ：由 得 ，与 相加得 ；：（需分 正负讨论，可得上下界分别为 与 ）。 【详解】 解：（1）由 得 ，与 相加得 。（2） 在矩形域上的最值出现在顶点：，，且可取中间值，故 。 【变式 4-2】 已知 ，，则下列范围正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 同向相加得 ，A 对；B 错：；C 不一定（ 时 ）；D 不一定（ 时 ）。 【变式 4-3】 已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 作差：（因 时 且 ），故 。 【详解】 解：作差 ，由 知 ，故差为正，即 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础训练（每小题 6 分，共 60 分） 1． 下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】 C 【详解】 见变式 1-2，C 由 推出。 2． 若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 取倒数方向反转，；A 错（绝对值大的平方大）；C 错；D 错（负负得正）。 3． 已知 ，，能直接推出的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 正数同向相乘得 。 4． 比较 与 的大小，结论为（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】 A 【详解】 作差 ，恒大于。 5． 已知 ，则下列恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 同加 1 方向不变；B、D 错（应为 ）；C 需正数条件。 6． 若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 时倒数大于 1；A、；C、D 显然错。 7． 已知 ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．不确定 【答案】 B 【详解】 正数取倒数方向反转。 8． 若 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 乘负数变号得 。 9． 已知 ，，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 同向相加：，即 。 10． 设 ，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】 C 【详解】 函数 在 上严格递增，故 。 ◆ 二、能力提升（每小题 8 分，共 40 分） 11． 已知 ，，求 的取值范围。 【答案】 由 得 ；由 得 ；同向相加得 。 【详解】 解：，，相加得 。 12． 已知 ，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 由 得 ，与 同向相加得 。A 负负相乘方向需细算；B、D 符号混杂不一定。 13． 比较 与 的大小。 【答案】 作差：，故 。 【详解】 解：作差得 ，所以 。 14． 已知 ，且 ，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由基本不等式（下讲）或 ；因 不取等。 15． 已知 ，，证明：。 【答案】 作差：，故原不等式成立。 【详解】 证明：作差 ，由 知分子分母均正，差 ，得证。 ▶ 基础训练 参考答案 1．C 2．B 3．B 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B 9．B 10．C ▶ 能力提升 参考答案 11．由 得 ；由 得 ；同向相加得 。 12．C 13．作差：，故 。 14．B 15．作差：，故原不等式成立。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 04 讲 等式性质与不等式性质 ▶ 预习目标 ● 1．回忆等式的基本性质，能用数学符号准确表述对称性、传递性与等量代换。 ● 2．理解实数大小比较的充要条件：作差法 。 ● 3．掌握不等式的八条基本性质，能判断变形对错、进行大小比较与简单证明。 ● 4．会求已知范围的代数式的取值范围（同向可加、正数可乘）。 ▶ 知识回顾 初中我们学过等式的性质，本讲把它推广到不等式，并给出严格的“作差比较”依据： ● 等式性质：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 。 ● 实数有序：任意两个实数必可比较大小，且 ，，。 ▶ 新知导图 等式性质 对称、传递、加减、乘除（除数非零） 大小比较 作差法：差的正负决定大小 不等式性质 对称、传递、加法、同向相加、乘正数不变号、乘负数变号、正数同向相乘 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 等式的基本性质 等式两边同时加、减、乘同一个数（或除以同一个非零数），等式仍成立。简记：等号两边“同加同减同乘同除（除零外）”保持相等。 ◆ 知识点 02 实数的大小比较（作差法） 对任意实数 ，有 ，，。比较两式大小的标准步骤：作差 变形（配方或因式分解） 判断符号 下结论。 ◆ 知识点 03 不等式的基本性质 记 ，核心性质如下： ● （1）对称性：； ● （2）传递性：若 ，则 ； ● （3）加法单调性：若 ，则 ； ● （4）同向可加：若 ，则 ； ● （5）乘法单调性：若 ，则 ；若 ，则 ； ● （6）正数同向相乘：若 ，则 ； ● （7）乘方：若 ，则 。 ◆ 理解提示 作差法是最“根本”的比较工具，所有不等式性质最终都可由它推出。乘（或除以）负数时方向必须反过来；只有两边都为正数时才能“同向相乘”或“同向相除”。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 已知 ，，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 若 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 下列命题中正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式 1-3】 若 ，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【例 2】 已知 ，，求证：。 【变式 2-1】 已知 ，，求证：。 【变式 2-2】 已知 ，求证：。 【变式 2-3】 已知 ，，求证：。 【例 3】 比较 与 的大小。 【变式 3-1】 比较 与 的大小。 【变式 3-2】 比较 与 的大小。 【变式 3-3】 比较 与 的大小。 【例 4】 已知 ，，求 与 的取值范围。 【变式 4-1】 已知 ，，求 与 的取值范围。 【变式 4-2】 已知 ，，则下列范围正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 已知 ，比较 与 的大小。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础训练（每小题 6 分，共 60 分） 1． 下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2． 若 ，则（ ） A． B． C． D． 3． 已知 ，，能直接推出的是（ ） A． B． C． D． 4． 比较 与 的大小，结论为（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 5． 已知 ，则下列恒成立的是（ ） A． B． C． D． 6． 若 ，则（ ） A． B． C． D． 7． 已知 ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．不确定 8． 若 ，，则（ ） A． B． C． D． 9． 已知 ，，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 10． 设 ，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ◆ 二、能力提升（每小题 8 分，共 40 分） 11． 已知 ，，求 的取值范围。 12． 已知 ，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 13． 比较 与 的大小。 14． 已知 ，且 ，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 15． 已知 ，，证明：。 ▶ 参考答案（原卷请另见解析版） 学科网（北京）股份有限公司 $