第06讲 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数、一元二次方程与不等式的内在联系，衔接初中已学的求根公式和判别式，构建“方程根-函数零点-不等式解集”的知识支架，系统讲解判别式应用、数形结合方法及含参数问题处理。 以“新知导图”梳理知识逻辑，通过题型分类训练（如恒成立问题例3及变式）培养推理能力，数形结合看抛物线位置体现几何直观，巩固检测卷分基础与提升，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第 06 讲 二次函数与一元二次方程、不等式 ▶ 预习目标 ● 1．理解二次函数 、方程 、不等式 （或 ）三者的内在联系。 ● 2．会用判别式 判断方程根的情况，并据此写出不等式的解集。 ● 3．掌握“三个二次”对应的数形结合方法：看图象在 轴上方还是下方。 ● 4．会处理含参数不等式的恒成立与根的分布问题。 ▶ 知识回顾 初中已学一元二次方程求根公式与判别式，本讲把它们和二次函数图象、不等式解集统一起来： ● 判别式 ： 有两不等实根， 有两相等实根， 无实根； ● 二次函数 （）图象是抛物线，与 轴交点的横坐标正是对应方程的根。 ▶ 新知导图 方程根 函数零点 不等式解集边界 判别 两根个数 解集是“两根之间”还是“两根之外” 数形结合 看抛物线在 轴上方（）还是下方（） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 三个二次的关系 设 ，方程 的两根为 。则： ● 若 ，抛物线穿过 轴， 解集为 ， 解集为 ； ● 若 ，抛物线与 轴相切， 解集为 ， 解集为空集； ● 若 ，抛物线在 轴上方， 解集为 ， 解集为空集。 ◆ 知识点 02 一元二次不等式的解法步骤 ① 化为标准形式（二次项系数为正）；② 求对应方程的两根；③ 由“大于取两边、小于取中间”写出解集。若 ，先两边乘 改变不等号方向再解。 ◆ 知识点 03 含参数与恒成立 不等式对某范围恒成立，等价于对应抛物线在该范围始终在 轴上方（或下方）。常借助判别式、对称轴、端点函数值联合判定。 ◆ 理解提示 解含参不等式务必先看二次项系数是否含参、是否能为零；分类讨论“、、”三档，避免漏掉一次函数的退化情形。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 解不等式 。 【答案】 方程 的根为 ；开口向上，大于取两边，解集为 。 【详解】 解：，根为 ；因二次项系数正， 解集为 。 【变式 1-1】 解不等式 。 【答案】 根为 ，小于取中间，解集为 。 【详解】 解：方程根为 ；开口向上且小于 ，解集为 。 【变式 1-2】 解不等式 。 【答案】 ，根为 （二重）；大于 的解集为 ，即 。 【详解】 解：，当且仅当 成立，解集为 。 【变式 1-3】 解不等式 。 【答案】 两边乘 得 ，根为 ，解集为 。 【详解】 解：原式等价于 ，方程根为 ，开口向上小于 ，解集 。 【例 2】 已知不等式 的解集为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 解集为“两边”说明抛物线开口向上 ，且根为 ，故 ，得 。 【变式 2-1】 若不等式 的解集为 ，则 的符号是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 小于取“中间”且区间有限，说明开口向下 ，根为 ，展开 ，因 得 。 【变式 2-2】 已知 的解集为 ，则 的值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 根为 ，故 ，得 。 【变式 2-3】 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 对应方程根 ，开口向上大于 取两边。 【例 3】 若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 【答案】 二次项系数为正，需 ，解得 。 【详解】 解：要恒成立且 处二次项系数为 ，只需判别式 ，得 。 【变式 3-1】 若不等式 对一切实数 恒成立，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 需 且 ，即 （等号时取 为 ，不严格大于）。 【变式 3-2】 不等式 在区间 上恒成立，求 的范围。 【答案】 在 上最小值在 处为 ，需 ，故 。 【详解】 解： 在 单调递增，最小 ，得 。 【变式 3-3】 不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 需 且 ，即 且 ，综合 。 【例 4】 方程 有两个正根，求 的取值范围。 【答案】 需 ，且两根和 、两根积 ，综合得 。 【详解】 解：两正根条件：①；②（已满足）；③。综上 。 【变式 4-1】 方程 有一正根一负根，则 满足（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 一正一负等价于两根积 （此时 自动成立）。 【变式 4-2】 方程 的两根均在区间 内，求 的范围。 【答案】 条件：① ；② 对称轴 ；③ ；④ 。综合 。 【详解】 解：设 。两根均在 需：对称轴 ；；；。得 。 【变式 4-3】 关于 的方程 有实根，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D．全体实数 【答案】 A 【详解】 当 时退化为 有根 ；当 时需 。综合 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础训练（每小题 6 分，共 60 分） 1． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 根为 ，开口向上大于 取两边。 2． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 仅当 成立。 3． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 方程 根为 ，开口向上小于 取中间。 4． 若 解集为 ，则（ ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 【答案】 A 【详解】 抛物线恒在 轴上方需开口向上且无交点。 5． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 等价于 ，根为 ，闭区间 。 6． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．空集 【答案】 A 【详解】 根为 ，小于 取中间。 7． 若方程 无实根，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 8． 二次函数 与 轴交点的个数是（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】 C 【详解】 ，两个交点（横坐标 ）。 9． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，取两边 之外。 10． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 当且仅当 。 ◆ 二、能力提升（每小题 8 分，共 40 分） 11． 若不等式 对一切 恒成立，则 的范围是（ ） A． B． 或 C． D． 【答案】 A 【详解】 。 12． 已知 解集为 的形式不成立，而 解集为 ，求 。 【答案】 根为 ，故 ，得 。 【详解】 解：两根 ，则 ，故 。 13． 方程 有两负根，求 的范围。 【答案】 需 或 ；两根和 ；两根积 。综合得 。 【详解】 解：两负根： 或 ；；。取交集得 。 14． 关于 的不等式 对一切实数恒成立，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 需 且判别式 ，即 且 ，综合 。 15． 函数 在 上的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，对称轴 ，最小值 。 ▶ 基础训练 参考答案 1．B 2．A 3．A 4．A 5．A 6．A 7．B 8．C 9．B 10．C ▶ 能力提升 参考答案 11．A 12．根为 ，故 ，得 。 13．需 或 ；两根和 ；两根积 。综合得 。 14．A 15．A 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 06 讲 二次函数与一元二次方程、不等式 ▶ 预习目标 ● 1．理解二次函数 、方程 、不等式 （或 ）三者的内在联系。 ● 2．会用判别式 判断方程根的情况，并据此写出不等式的解集。 ● 3．掌握“三个二次”对应的数形结合方法：看图象在 轴上方还是下方。 ● 4．会处理含参数不等式的恒成立与根的分布问题。 ▶ 知识回顾 初中已学一元二次方程求根公式与判别式，本讲把它们和二次函数图象、不等式解集统一起来： ● 判别式 ： 有两不等实根， 有两相等实根， 无实根； ● 二次函数 （）图象是抛物线，与 轴交点的横坐标正是对应方程的根。 ▶ 新知导图 方程根 函数零点 不等式解集边界 判别 两根个数 解集是“两根之间”还是“两根之外” 数形结合 看抛物线在 轴上方（）还是下方（） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 三个二次的关系 设 ，方程 的两根为 。则： ● 若 ，抛物线穿过 轴， 解集为 ， 解集为 ； ● 若 ，抛物线与 轴相切， 解集为 ， 解集为空集； ● 若 ，抛物线在 轴上方， 解集为 ， 解集为空集。 ◆ 知识点 02 一元二次不等式的解法步骤 ① 化为标准形式（二次项系数为正）；② 求对应方程的两根；③ 由“大于取两边、小于取中间”写出解集。若 ，先两边乘 改变不等号方向再解。 ◆ 知识点 03 含参数与恒成立 不等式对某范围恒成立，等价于对应抛物线在该范围始终在 轴上方（或下方）。常借助判别式、对称轴、端点函数值联合判定。 ◆ 理解提示 解含参不等式务必先看二次项系数是否含参、是否能为零；分类讨论“、、”三档，避免漏掉一次函数的退化情形。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 解不等式 。 【变式 1-1】 解不等式 。 【变式 1-2】 解不等式 。 【变式 1-3】 解不等式 。 【例 2】 已知不等式 的解集为 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 若不等式 的解集为 ，则 的符号是（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 已知 的解集为 ，则 的值分别为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【例 3】 若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围。 【变式 3-1】 若不等式 对一切实数 恒成立，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 不等式 在区间 上恒成立，求 的范围。 【变式 3-3】 不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例 4】 方程 有两个正根，求 的取值范围。 【变式 4-1】 方程 有一正根一负根，则 满足（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 方程 的两根均在区间 内，求 的范围。 【变式 4-3】 关于 的方程 有实根，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D．全体实数 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础训练（每小题 6 分，共 60 分） 1． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 2． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 3． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 4． 若 解集为 ，则（ ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 5． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 6． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．空集 7． 若方程 无实根，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 8． 二次函数 与 轴交点的个数是（ ） A． B． C． D．不确定 9． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 10． 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（每小题 8 分，共 40 分） 11． 若不等式 对一切 恒成立，则 的范围是（ ） A． B． 或 C． D． 12． 已知 解集为 的形式不成立，而 解集为 ，求 。 13． 方程 有两负根，求 的范围。 14． 关于 的不等式 对一切实数恒成立，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 15． 函数 在 上的最小值为（ ） A． B． C． D． ▶ 参考答案（原卷请另见解析版） 学科网（北京）股份有限公司 $