第09讲 幂函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理幂函数的概念、五个常见幂函数（如y=x等）的图象与性质，以及幂指数符号与奇偶性对单调性、奇偶性的影响，通过知识回顾衔接已有函数知识，构建完整学习支架。 资料设计亮点突出，含新知导图辅助直观理解（数学眼光），题型分类训练及变式题培养推理能力（数学思维），易错清单和方法总结墙帮助规范表达（数学语言）。课中助力教师授课，课后便于学生回顾练习，有效查漏补缺。

第 09 讲 3.3 幂函数 ▶ 预习目标 ● 1．理解幂函数的概念，能识别形如 的函数。 ● 2．掌握五个常见幂函数 的图象与性质。 ● 3．会根据幂指数 的符号与奇偶，判断幂函数的单调性与奇偶性。 ● 4．会比较同底或同指数的幂值大小。 ▶ 知识回顾 此前学过的 、 都可写成 的形式。本讲专门研究这类以底数为自变量、指数为常数 的函数——幂函数。 ▶ 新知导图 幂函数 （ 为常数，系数为 ） 五个代表 性质规律 过原点且递增； 过 且递减 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 幂函数的定义 形如 （）的函数叫幂函数，其特征：系数为 、只有底数是自变量 、指数 是常数。注意 、 都不是幂函数。 ◆ 知识点 02 五个常见幂函数的图象与性质 ：过原点与 ，奇函数，在 上递增。 ：抛物线，偶函数，在 递减、 递增，值域 。 ：过原点与 ，奇函数，在 上递增。 ：定义域 ，非奇非偶，递增，图象过原点与 。 ：定义域 ，奇函数，在 与 上分别递减。 ◆ 知识点 03 幂指数的规律 当 时，幂函数图象过 与 ，在第一象限递增；当 时，图象过 不过原点，在第一象限递减。 为奇数时函数多为奇函数， 为偶数（或分数分母为偶数时）需注意定义域与奇偶性。 ◆ 理解提示 比较幂值大小：同指数看底数（利用单调性），同底看指数；指数底数都不同可找中间值（如 或公共点）搭桥。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列函数中是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 若 为幂函数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 或 【变式 1-2】 下列函数中，定义域为 的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【例 2】 比较 与 的大小，结果为（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【变式 2-1】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【变式 2-2】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【变式 2-3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【例 3】 幂函数 的图象同时过原点和 ，且在第一象限递增，则 应满足（ ） A． B． C． D． 为偶数 【变式 3-1】 函数 与 的关系是（ ） A．互为反函数 B．同一函数 C．都是偶函数 D．都递减 【变式 3-2】 若幂函数 在 上递减，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 五个常见幂函数中，图象关于 轴对称的有（ ） A． 与 B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 2． 函数 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 3． 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 4． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 5． 幂函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 6． 若 是幂函数，则 的值为（ ） A． 或 B． C． D． 7． 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 8． 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．偶函数 9． 下列幂函数图象过点 的是（ ） A．只有 B．只有 C．所有幂函数 D．只有 10． 函数 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 比较 、、 的大小，正确顺序是（ ） A． B． C． D． 12． 若幂函数 是偶函数且在 上递减，则 可以是（ ） A． B． C． D． 13． 函数 的图象不过原点且在第一象限递减，则 可能为（ ） A． B． C． D． 14． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 15． 设 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．幂函数必须系数为 、底数为自变量 、指数为常数；带常数或系数不为 的不是幂函数。 ● 2．比较大小先看“同底”还是“同指数”：同底看底数与指数函数的增减，同指数看幂函数的增减。 ● 3． 当 时不过原点； 时过原点与 。 ● 4．奇偶性：先化简再用 代入，注意分数指数幂的定义域。 ▶ 方法总结墙 （1）识别：系数为 且形如 。（2）性质：记牢五个代表函数的图象与关键点 、。（3）比较：同底用指数单调性，同指数用幂单调性，都不同取中间值 或公共点搭桥。（4）分类： 正负决定过不过原点与增减。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 09 讲 3.3 幂函数 ▶ 预习目标 ● 1．理解幂函数的概念，能识别形如 的函数。 ● 2．掌握五个常见幂函数 的图象与性质。 ● 3．会根据幂指数 的符号与奇偶，判断幂函数的单调性与奇偶性。 ● 4．会比较同底或同指数的幂值大小。 ▶ 知识回顾 此前学过的 、 都可写成 的形式。本讲专门研究这类以底数为自变量、指数为常数 的函数——幂函数。 ▶ 新知导图 幂函数 （ 为常数，系数为 ） 五个代表 性质规律 过原点且递增； 过 且递减 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 幂函数的定义 形如 （）的函数叫幂函数，其特征：系数为 、只有底数是自变量 、指数 是常数。注意 、 都不是幂函数。 ◆ 知识点 02 五个常见幂函数的图象与性质 ：过原点与 ，奇函数，在 上递增。 ：抛物线，偶函数，在 递减、 递增，值域 。 ：过原点与 ，奇函数，在 上递增。 ：定义域 ，非奇非偶，递增，图象过原点与 。 ：定义域 ，奇函数，在 与 上分别递减。 ◆ 知识点 03 幂指数的规律 当 时，幂函数图象过 与 ，在第一象限递增；当 时，图象过 不过原点，在第一象限递减。 为奇数时函数多为奇函数， 为偶数（或分数分母为偶数时）需注意定义域与奇偶性。 ◆ 理解提示 比较幂值大小：同指数看底数（利用单调性），同底看指数；指数底数都不同可找中间值（如 或公共点）搭桥。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列函数中是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 幂函数形如 且系数为 。B 为 是幂函数；A 系数为 ；C 多了常数；D 底数是 不是 。 【变式 1-1】 若 为幂函数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】 B 【详解】 幂函数要求系数为 ，即 ；此时指数 ，得 ，符合。 【变式 1-2】 下列函数中，定义域为 的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 要求 ，定义域为 ；其余定义域分别为 、 含更多或 。 【变式 1-3】 函数 是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 B 【详解】 ，定义域 关于原点对称，且 ，是偶函数。 【例 2】 比较 与 的大小，结果为（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 底数 ，指数函数（或幂函数 与 比较需同底）这里指数 且底 ，由 递增得 。更准确：固定底 ，指数越大值越大。 【变式 2-1】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 ，函数 递减，因 ，故 。 【变式 2-2】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 B 【详解】 同指数 ，幂函数 在 递增，因 ，故 。 【变式 2-3】 比较 与 的大小（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 ，函数 递减，因 ，故 。 【例 3】 幂函数 的图象同时过原点和 ，且在第一象限递增，则 应满足（ ） A． B． C． D． 为偶数 【答案】 A 【详解】 时幂函数图象过 与 且在第一象限递增； 不过原点； 为常函数 （除 ）。 【变式 3-1】 函数 与 的关系是（ ） A．互为反函数 B．同一函数 C．都是偶函数 D．都递减 【答案】 A 【详解】 的反函数为 即 ，二者互为反函数；均为奇函数且递增。 【变式 3-2】 若幂函数 在 上递减，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 当 时幂函数在 上递减； 时递增。 【变式 3-3】 五个常见幂函数中，图象关于 轴对称的有（ ） A． 与 B． C． D． 【答案】 B 【详解】 是偶函数，图象关于 轴对称；、、 为奇函数（关于原点对称）； 定义域 非奇非偶。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 只有 符合 且系数为 。 2． 函数 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 B 【详解】 ，偶函数。 3． 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 ，函数递增，，故 。 4． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 要求 。 5． 幂函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．常函数 【答案】 B 【详解】 ，在第一象限递减。 6． 若 是幂函数，则 的值为（ ） A． 或 B． C． D． 【答案】 A 【详解】 幂函数系数为 ，故 或 。检验指数： 时 ； 时 ，均符合幂函数定义，选 A。 7． 与 的大小关系是（ ） A． B． C．相等 D．无法比较 【答案】 A 【详解】 底 递减，，故 。 8． 函数 在 上（ ） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．偶函数 【答案】 A 【详解】 导数 ，在 上递增，且为奇函数。 9． 下列幂函数图象过点 的是（ ） A．只有 B．只有 C．所有幂函数 D．只有 【答案】 C 【详解】 任意幂函数 在 处值为 ，均过点 。 10． 函数 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 【答案】 B 【详解】 ，定义域 ，，偶函数。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 比较 、、 的大小，正确顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 同指数 ，幂函数递增，，故 。 12． 若幂函数 是偶函数且在 上递减，则 可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 递减要求 ；偶函数要求指数对应的函数为偶。 时 为偶函数且递减，符合。 递增； 非奇非偶且递增； 奇且递增。 13． 函数 的图象不过原点且在第一象限递减，则 可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 不过原点且递减对应 ，选项中仅 满足。 14． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 15． 设 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 同底 递减：；同指数 的幂递增：，故 最大。再比 ：，，因 得 。综合 ，选 D。 ▶ 易错清单 ● 1．幂函数必须系数为 、底数为自变量 、指数为常数；带常数或系数不为 的不是幂函数。 ● 2．比较大小先看“同底”还是“同指数”：同底看底数与指数函数的增减，同指数看幂函数的增减。 ● 3． 当 时不过原点； 时过原点与 。 ● 4．奇偶性：先化简再用 代入，注意分数指数幂的定义域。 ▶ 方法总结墙 （1）识别：系数为 且形如 。（2）性质：记牢五个代表函数的图象与关键点 、。（3）比较：同底用指数单调性，同指数用幂单调性，都不同取中间值 或公共点搭桥。（4）分类： 正负决定过不过原点与增减。 学科网（北京）股份有限公司 $