3.4 函数的应用（一）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的应用核心知识点，涵盖一次、二次、分段及幂函数模型，梳理从函数概念到模型构建再到解决实际问题的完整脉络，通过模型类型归纳、解题步骤指导、分题型示例搭建递进式学习支架。 该资料以电信收费、水果销售等现实情境为载体，引导学生用数学眼光观察问题，通过规范的审题建模步骤培养数学思维，结合例题与跟踪训练强化数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固提升。

3.4 函数的应用（一） 知识点一、几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 知识点二、利用函数模型解决实际问题 1.解答函数应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型. （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立 相应的数学模型. （3）求模：求解数学模型，得出数学结论 （4）还原：将数学问题还原为实际问题. 2.确定函数解析式的基本方法 （1）待定系数法：若已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模 型，可用待定系数法求出函数解析式. （2）归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出对应的函数值，从中发现规律，再推广 到一般情形，从而得到函数的解析式. 题型一：一次函数模型的应用 例1.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． （1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； （2）请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 跟踪训练： 1.某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 2.刘先生购买了一部手机，欲使用中国移动的“智慧”卡或加入中国联通网，经调查收费标 准如表： 网络 月租 本地话费 长途话费 甲：联通 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 乙：移动 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． （1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用甲种入网方式所需话费的函数f（x）及使用乙种入网方式所需话费的函数g（x）； （2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的入网方式． 题型二：二次函数模型的应用 例1.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 跟踪训练： 1.据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． （1）写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系； （2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 2.某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均 不计利息）． 已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销量q（百件）与销售价p（元/件）之间的关系用如图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元． （1）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 题型三：分段函数模型的应用 例1.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝，且t∈N*， （1）求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式； （2）求该商场日收益的最小值(千元)． 跟踪训练： 1.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地． （1）把汽车离A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数； （2）求当t＝5小时时汽车离A地的距离． 2.某厂生产一种机器的固定成本是0.5万元，每生产100台，需增加可变成本0.25万元，市 场对该成品的需求是500台，销售收入是f（t）＝5t﹣0.5t2万元（0≤t≤5），其中t 是产品 的售出数量（百台）． （1）把年利润表示为年产量x（x≥0，单位：百台）的函数； （2）年产量为多少时，工厂所得的纯利润最大？ 题型四：“对勾”函数模型的应用 例1.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7 万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x） 万元，且R（x）． （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入﹣年总成本） 跟踪训练： 1.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了 新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示 为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 2.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年 产量不足80千件时，C（x）（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝ 51x（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品 能全部售完． （1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A．10元 B．11元 C．13元 D．15元 2.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和 的最小值是（　　） A．cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2 3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 4.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如 表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A．17m3 B．18m3 C．19m3 D．20m3 5.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，绿灯时长超过5 s，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么(　　) A．人可在7秒内追上汽车 B．人可在10秒内追上汽车 C．人追不上汽车，其间距最少为5米 D．人追不上汽车，其间距最少为7米 6.李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000 (其中x为销售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为 元． 7.某游乐场每天的的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，则售出320张门票时，盈利为 元；售出520张门票时，盈利为 元． 8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格 依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销： 一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会 得到支付款的80%． ①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 1.为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过300m3 3.2元/m3 超过300m3但不超过600m3的部分 3.6元/m3 超过600m3的部分 4.5元/m3 若某户居民一年的燃气用量为500m3，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（　　） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算， 计算公式为y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边 角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、 y应为（　　） A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为(　　) A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好 5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件 下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）， 如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间（　　） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 6.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是(　　) A．① B．①② C．①③ D．①②③ 7.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为 万元． 8.邮局规定，邮寄包裹，在5千克内（含5千克）每千克5元，超过5千克时，超过部分按 每千克3元收费，则邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为 ． 9.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5 v2－0.175 v＋4.27，则车速为 km/h时，汽车的耗油量最少． 10.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为 元． 11.商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于 . 12.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费 元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了 千米． 13.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元； 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费． （1）若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明； （2）若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？ 14.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得 利润是元． （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； （2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 15.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新 手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x（千部）手机， 需另投入成本R（x）万元，且R（x）由市场调研知，每 部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）求出2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）； （2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 16.某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如 图，每月各种开支2000元， （1）写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系． （2）该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？ （3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 函数的应用（一） 知识点一、几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 知识点二、利用函数模型解决实际问题 1.解答函数应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型. （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立 相应的数学模型. （3）求模：求解数学模型，得出数学结论 （4）还原：将数学问题还原为实际问题. 2.确定函数解析式的基本方法 （1）待定系数法：若已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模 型，可用待定系数法求出函数解析式. （2）归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出对应的函数值，从中发现规律，再推广 到一般情形，从而得到函数的解析式. 题型一：一次函数模型的应用 例1.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． （1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； （2）请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 解：（1）由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)． （2）令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜． 跟踪训练： 1.某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 解：设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸； 每月所获利润是y元， 则每月售出报纸共(20x＋10×250)份； 每月退回报社报纸共10×(x－250)份． 依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)． 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)， 化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400， 因为此一次函数的k＝1.6>0， 所以y是一个单调递增函数，再由250≤x≤400知， 当x＝400时，y取得最大值， 此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． 所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元． 2.刘先生购买了一部手机，欲使用中国移动的“智慧”卡或加入中国联通网，经调查收费标 准如表： 网络 月租 本地话费 长途话费 甲：联通 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 乙：移动 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． （1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用甲种入网方式所需话费的函数f（x）及使用乙种入网方式所需话费的函数g（x）； （2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的入网方式． 解：（1）∵刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍， ∴设刘先生每月通话时间为x分钟，使用甲种入网方式所需话费的函数f（x）及使用乙种入网方式所需话费的函数g（x）； 则他每月接打本地电话时间为x．接打长途x， 若选择甲种入网分式，则月租12元，本地话费0.3x＝0.25x，长途话费0.6x＝0.1x， 则f（x）＝12+0.25x+0.1x＝12+0.35x，（x＞0）． 若选择乙种入网分式，则月租0元，本地话费0.5xx，长途话费0.8xx， 则g（x）xx＝0.55x，（x＞0）． （2）f（x）﹣g（x）＝12+0.35x﹣0.55x＝12﹣0.2x， 当12﹣0.2x＞0时，即x＜60时，f（x）＞g（x），此时应选择乙方式入网，省钱， 当12﹣0.2x＜0时，即x＞60时，f（x）＜g（x），此时应选择甲方式入网，省钱， 当12﹣0.2x＝0时，即x＝60时，f（x）＝g（x），此时甲乙两种方式话费一样． 题型二：二次函数模型的应用 例1.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． （2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． （3）因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 跟踪训练： 1.据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． （1）写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系； （2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解：（1）设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5， 解得a＝.所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)． （2）设最大利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． 2.某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均 不计利息）． 已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销量q（百件）与销售价p（元/件）之间的关系用如图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元． （1）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 解：（1）由图可知：当40≤p≤58时，p、q的关系为：﹣2p+140＝q； 当p＝52时，q＝36．设此时该店的职工人数为m， 则：3600（52﹣40）＝600m+13200， 解得：m＝50，即该店的职工人数为50人． （2）由图可知：q，设该店月收入为S， ①当40≤p≤58时， S＝100（p﹣40）（﹣2p+140）﹣13200﹣600×40＝﹣200（p﹣55）2+7800， 即当p＝55时，最大月收入S1＝7800． ②当58＜p≤81时， S＝100（p﹣40）（﹣p+82）﹣13200﹣600×40＝﹣100（p﹣61）2+6900， 即当p＝61时，最大月收入S2＝6900． 由于S1＞S2，故当p＝55时，还清所有债务的时间t最短， 且t＝（26.8+20）×10000÷12S1＝5， 即当每件消费品的价格定为55元时，该店可在最短5年内还清债务． 题型三：分段函数模型的应用 例1.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝，且t∈N*， （1）求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式； （2）求该商场日收益的最小值(千元)． 解：（1）由题意w(t)＝f(t)·g(t)，且t∈N*， 则w(t)＝，且t∈N*， （2）当1≤t≤7时，w(t)单调递增，最小值在t＝1处取到，w(1)＝500； 当7<t≤30时，w(t)单调递减，最小值在t＝30处取到，w(30)＝519－120＋＝. 由<500，可得w(t)的最小值为. 所以，该商场日收益的最小值为千元． 跟踪训练： 1.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地． （1）把汽车离A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数； （2）求当t＝5小时时汽车离A地的距离． 解：（1）汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t； 当2.5<t≤3.5时，x＝150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时， 这时x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325. 所求函数的解析式为x＝. （2）当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，即当t＝5小时时汽车离A地75千米． 2.某厂生产一种机器的固定成本是0.5万元，每生产100台，需增加可变成本0.25万元，市 场对该成品的需求是500台，销售收入是f（t）＝5t﹣0.5t2万元（0≤t≤5），其中t 是产品 的售出数量（百台）． （1）把年利润表示为年产量x（x≥0，单位：百台）的函数； （2）年产量为多少时，工厂所得的纯利润最大？ 解：（1）设年纯利润为y，则当0≤x≤5时，y＝f（x）﹣0.25x﹣0.5＝﹣0.5x2+4.75x﹣0.5， 当x＞5 时，销售收入为f（5），年纯利润为y＝f（5）﹣0.25x﹣0.5＝﹣0.25x+12， 故函数关系式为y， （2）当0≤x≤5时，y＝﹣0.5（x﹣4.75）2+10.78125， 故ymax＝10.78125，此时x＝4.75百台，当x＞5时，y＜12﹣0.25×5＝10.75， 综上所述，年产量为475台时，工厂的年利润最大． 题型四：“对勾”函数模型的应用 例1.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7 万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x） 万元，且R（x）． （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入﹣年总成本） 解：（1）当； 当x＞10时，W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝982.7x． ∴ （2）①当0＜x＜10时，由W'＝8.10，得x＝9， 且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0， ∴当x＝9时，W取最大值，且 ②当x＞10时， 当且仅当， 即x时，W＝38， 故当x时，W取最大值38． 综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 跟踪训练： 1.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了 新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示 为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为： ， 当且仅当，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． （2）设该单位每月获利为S， 则S＝100x﹣y， 因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值﹣40000． 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损． 2.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年 产量不足80千件时，C（x）（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝ 51x（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品 能全部售完． （1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：（1）∵每件商品售价为0.05万元， ∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元， ①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本， ∴L（x）＝（0.05×1000x）10x﹣25040x﹣250； ②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本， ∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x1450﹣250＝1200﹣（x）． 综合①②可得，L（x）． （2）由（Ⅰ）可知，， ①当0＜x＜80时，L（x）40x﹣250， ∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元； ②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x）≤1200﹣21200﹣200＝1000， 当且仅当x，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元． 综合①②，由于950＜1000， ∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元． 1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A．10元 B．11元 C．13元 D．15元 解：设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145， 由x>0，Q＝100－5x≥0，得0<x≤20，故当x＝13时，每天获利最大．故选：C. 2.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和 的最小值是（　　） A．cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2 解：设两段长分别为xcm，（12﹣x）cm，则这两个正三角形面积之和为： S（）2（）2（x2﹣12x+72）[（x﹣6）2+36]≥2.故选：D． 3.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 解：设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．故选：C. 4.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如 表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A．17m3 B．18m3 C．19m3 D．20m3 解：设用水量为xm3，水费为y元，当0≤x≤12时，y＝3x， 当12＜x≤18时，y＝12×3+（x﹣12）×6＝6x﹣36， 当x＞18时，y＝12×3+6×6+（x﹣18）×9＝9x﹣90， ∵12＜x≤18，∴令6x﹣36＝66，解得x＝17，故此用户居民本月用水量为17m3． 故选：A． 5.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，绿灯时长超过5 s，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么(　　) A．人可在7秒内追上汽车 B．人可在10秒内追上汽车 C．人追不上汽车，其间距最少为5米 D．人追不上汽车，其间距最少为7米 解：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2， 车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7. 故选：D. 6.李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000 (其中x为销售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为 元． 解：依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这家销售了(110－x)辆电动车，总利润S＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000 ＝－5(x－60)2＋33000(0≤x≤110)，所以当x＝60时，S取得最大值，且Smax＝33 000. 故答案为：33000. 7.某游乐场每天的的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，则售出320张门票时，盈利为 元；售出520张门票时，盈利为 元． 解：当x∈[0,400]时，设y＝k1x，函数图象过点(400,1 500)， 代入得1 500＝400k1，解得k1＝； 当x∈[400,600]时，设y＝k2x＋b，函数图象过点(400，1 500)，(600,1 750)， 代入得，解得.所以解析式为y＝. 将x＝320,520分别代入，得到y＝1 200,1 650.故答案为：1200；1650. 8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格 依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销： 一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会 得到支付款的80%． ①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%， 即有x恒成立，若m＜120，可得到支付款为80%m； 当m≥120，可得x15，则x的最大值为15元． 故答案为：130，15 1.为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过300m3 3.2元/m3 超过300m3但不超过600m3的部分 3.6元/m3 超过600m3的部分 4.5元/m3 若某户居民一年的燃气用量为500m3，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（　　） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 解：由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为： 3.2×300+3.6×（500﹣300）＝960+720＝1680（元）．故选：B． 2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算， 计算公式为y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 解：令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意； 若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意； 若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意， 故拟录用人数为25.故选：C. 3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边 角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、 y应为（　　） A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 解：由直角三角形相似得，得x•（24﹣y）， ∴矩形面积S＝xy（y﹣12）2+180，∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15．故选：A． 4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为(　　) A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好 解：设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．又m≥0，所以0<x<54， 由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)·(162－3x)． 上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大．故选：B. 5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件 下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）， 如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间（　　） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p＝at2+bt+c，可得， 解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t3.75． 故选：B． 6.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是(　　) A．① B．①② C．①③ D．①②③ 解：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确．故选：A. 7.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为 万元． 解：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.故答案为：125. 8.邮局规定，邮寄包裹，在5千克内（含5千克）每千克5元，超过5千克时，超过部分按 每千克3元收费，则邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为 ． 解：设邮寄包裹重量为x千克所需邮费为f（x）， 当0≤x≤5时f（x）＝5x. 当x＞5时f（x）＝5×5+3（x﹣5）＝3x+10， ∴邮寄包裹重量为x千克所需邮费为f（x）. 故答案为f（x）. 9.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5 v2－0.175 v＋4.27，则车速为 km/h时，汽车的耗油量最少． 解：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27 ＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.故v＝35 km/h时，耗油量最少．故答案为：35. 10.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为 元． 解：根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0<x<13)(桶)， 则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0<x<13. 当x＝6.5时，y有最大值．所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润． 故答案为：11.5. 11.商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于 . 解：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：， 解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.故答案为:15. 12.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费 元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了 千米． 解：设出租车行驶x千米时，付费y元，则y＝， 当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y＝22.6，知x>8， 由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9.故答案为：14.59；9. 13.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元； 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费． (1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明； (2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？ 解：设工厂生产x件产品时， 依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2， 则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000， y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x. (1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000. 因为y1<y2，故应选择第2个方案处理污水． (2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元． 因为y1>y2，故应选择第1个方案处理污水． 14.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得 利润是元． （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； （2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 解：（1）由题意可得：200（5x+1）≥3000，即5x14，解得x≥3，又1≤x≤10， ∴3≤x≤10． （2）设生产1200千克产品的利润为y， 则y＝100（5x+1）•120000（5）＝120000[﹣3（）2]， ∴当即x＝6时，y取得最大值610000． 故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元． 15.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新 手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x（千部）手机， 需另投入成本R（x）万元，且R（x）由市场调研知，每 部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）求出2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）； （2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）当0＜x＜40时，W（x）＝700x﹣（10x2+100x）﹣250＝﹣10x2+600x﹣250， 当x≥40时，， 故2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式为W（x）． （2）若0＜x＜40，W（x）＝﹣10（x﹣30）2+8750， 当x＝30时，W（x）max＝8750万元， 若x≥40，， 当且仅当时，即x＝100时，W（x）max＝9000万元， ∴2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元． 16.某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如 图，每月各种开支2000元， （1）写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系． （2）该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？ （3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值． 解：（1）由题设知，当14≤x≤20时，设Q＝ax+b， 则，∴∴Q＝﹣2x+50， 同理得，当20＜x≤26时，Qx+40，所以； （2）由（1）得：Q， 当14≤P≤20时，（P﹣14）（﹣2P+50）×100﹣3600﹣2000≥0， 即P2﹣39P+378≤0，解得18≤P≤21，故18≤P≤20； 当20≤P≤26时，， 即3P2﹣122P+1232≤0，解得，故20≤P≤22． 所以18≤P≤22．故商品价格应控制在[18，22]范围内； （3）设月利润和除职工最低生活费的余额为L，则L＝100（P﹣14）Q﹣2000．分两种情况： 第一种：当14≤P≤20时，即L＝100（P﹣14）（﹣2P+50）﹣2000＝﹣200P2+7800P﹣72000，则当P19.5时，L有最大值， 此时L3600＝4050﹣3600＝450； 第二种：当20≤P≤28时，即100（P﹣14）（﹣1.5P+40）﹣2000＝﹣150P2+6100P﹣58000， 则当P时，L有最大值，此时L3600＝40163600＝416． 因为450＞416，所以当P＝19.5元时，月利润最大，为450元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $