精品解析：黑龙江牡丹江市初中课改联盟第一子联盟 2025—2026学年第二学期八年级期末数学

牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025—2026学年度第二学期八年级期末考试数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟． 2.全卷共分三道大题，总分120分． 3.请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（ ） A. ①、②均是二次根式 B. ①、②均不是二次根式 C. ①是二次根式，②不是二次根式 D. ①不是二次根式，②是二次根式 2. 在物理实验中，小敏通过测量和计算得到了一些数据，在对数据进行处理时，涉及到根式计算，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 正方形的四条边相等 4. 2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 28和3 B. 28和22 C. 33和3 D. 22和22 5. 已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 8. 如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，，下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②点到直线的距离为；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是__________． 12. 如图，的对角线交于点O，若，请你添加一个条件，使是正方形__________． 13. 牡丹江市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是______． 14. 点在直线上，则代数式的值是______． 15. 已知，则的值为_________． 16. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 17. 在矩形中，．点P从点A出发以的速度沿射线方向运动，同时点Q从点C出发以的速度沿射线方向运动．点Q到达点D时，两点同时停止运动．连接、．当运动时间为____s时，． 18. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 19. 如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：，直线，在直线上取一点，使，以点为对称中心，作点的对称点，过点作∥，交轴于点，作∥轴，交直线于点，得到四边形；再以点为对称中心，作点的对称点，过点作 ∥，交轴于点，作∥轴，交直线于点，得到四边形；…；按此规律作下去，则四边形的面积是___________． 三、解答题（满分60分） 21. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a是的解． 22. 如图，在平面直角坐标系中． （1）在方格纸中画出以为边的平行四边形，满足，，，轴，，且点D的坐标为_____； （2）四边形的面积_____； （3）在y轴上是否存在点P，使；则点P的坐标为_____． 23. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生，________； （2）补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________； （3）若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 24. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． （1）概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 25. 某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． （1）___________． （2）求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； （3）桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 26. 某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，两种饮料每箱的进价和售价如表所示．设购进果汁饮料x箱（为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为w元（注：总利润总售价总进价）． 饮料 果汁饮料 碳酸饮料 进价（元/箱） 55 36 售价（元/箱） 63 42 （1）设商场购进碳酸饮料y箱，直接写出y与x的函数关系式； （2）求总利润w关于x的函数关系式； （3）如果购进两种饮料的总费用不超过2000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、． （1）点坐标为________，点坐标为________； （2）求直线的表达式； （3）若的面积为4，求点坐标； （4）在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025—2026学年度第二学期八年级期末考试数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟． 2.全卷共分三道大题，总分120分． 3.请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（ ） A. ①、②均是二次根式 B. ①、②均不是二次根式 C. ①是二次根式，②不是二次根式 D. ①不是二次根式，②是二次根式 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的概念求解即可． 【详解】①：不是二次根式， ②：是二次根式． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的概念，负整数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的概念．形如的式子是二次根式， 2. 在物理实验中，小敏通过测量和计算得到了一些数据，在对数据进行处理时，涉及到根式计算，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．依次进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 正方形的四条边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，菱形的判定，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意； B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原选项错误，符合题意； D、正方形的四条边相等，正确，不符合题意； 故选C． 4. 2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 28和3 B. 28和22 C. 33和3 D. 22和22 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数即第个数， ∴ 中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别为和． 5. 已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，解题关键理解比较一次函数值的大小的方法． 根据已知函数的解析式得出y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在直线上，， ∴， 故选：B． 6. 如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可. 【详解】解：如图将正面与右面展开在同一平面，连接， 由勾股定理得：， 如图将下底面与后面展开在同一平面，连接， 由勾股定理得：， 如图将下底面与右面展开在同一平面，连接， 由勾股定理得：， ∴从处爬到处的最短路程是． 7. 如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 8. 如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再由勾股定理可得，证明，作交于H，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出即可得解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，． ． 将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合， ，． ． ． ， ． ． ． 如图，作于H， 则． ∴四边形为矩形． ，． ． ． ． 9. 如图，在中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， ∴当最小时，最小， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， ∵， ∴根据垂线段最短可得，当时，线段有最小值2． ∴的最小值为． 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，，下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②点到直线的距离为；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，从而判定①正确，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，判定③正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，然后根据列式计算即可判断出④正确；过点B作交的延长线于F，先求出，从而判断出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出的长为，判断出②错误． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， ， ，故④正确； 过点B作交的延长线于F， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，即， ∴（负值已舍）， 即点B到直线的距离为，故②错误， 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：且， ∴函数中自变量的取值范围是且． 12. 如图，的对角线交于点O，若，请你添加一个条件，使是正方形__________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】先得到四边形是矩形，再从矩形的角度添加条件证明其为正方形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，  四边形是矩形， 若添加条件， 四边形是矩形，， 四边形是正方形． 13. 牡丹江市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据众数定义，观察图中的数据，确定答案即可． 【详解】解：由折线统计图可得，这周每天最低气温的七个数据分别为15，14，16，17，18，15，13． ∵在这组数据中，15出现了2次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是15． 14. 点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入直线解析式得到与的关系式． 再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴． 15. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ ． 16. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把点的坐标代入直线求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 不等式的解集是． 17. 在矩形中，．点P从点A出发以的速度沿射线方向运动，同时点Q从点C出发以的速度沿射线方向运动．点Q到达点D时，两点同时停止运动．连接、．当运动时间为____s时，． 【答案】或8 【解析】 【分析】设运动时间为t，则，，证明得，分两种情况讨论：当点P在线段上时；当点P在线段的延长线上时；根据列方程求解． 【详解】解：设运动时间为t，则，， 在矩形中，， 在和中， ， ∴， ∴， 分以下两种情况： 当点P在线段上时，， ∴， 解得； 当点P在线段的延长线上时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，． 18. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【解析】 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 19. 如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 【答案】2 【解析】 【分析】以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，根据矩形的性质，推出四边形的面积等于矩形的面积即可得出结果. 【详解】解：以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，如图， 由题意，可知，四边形均为矩形， ∴， ∵为矩形的对角线， ∴， 同理：，， ∴， 即四边形的面积. 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：，直线，在直线上取一点，使，以点为对称中心，作点的对称点，过点作∥，交轴于点，作∥轴，交直线于点，得到四边形；再以点为对称中心，作点的对称点，过点作 ∥，交轴于点，作∥轴，交直线于点，得到四边形；…；按此规律作下去，则四边形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的解析式求得直线和轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，然后根据等边三角形的性质，求得，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半即可求得． 【详解】解：直线， 直线， 直线与轴夹角为， 直线与轴夹角为， 为上一点，且， 根据题意可知： ， ， ， ， ， ， 四边形、四边形、四边形是菱形， ， △，△，，△，△是等边三角形， ，，， ， ， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，关键是利用中心对称的性质，以及等边三角形的性质求得线段的长，得出一般规律． 三、解答题（满分60分） 21. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a是的解． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则和平方差公式即可求解； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1） （2）原式 或 a是方程的解而 当时，原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中． （1）在方格纸中画出以为边的平行四边形，满足，，，轴，，且点D的坐标为_____； （2）四边形的面积_____； （3）在y轴上是否存在点P，使；则点P的坐标为_____． 【答案】（1）作图见解析； （2）7 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意即可作图，写出点D的坐标; （2）根据梯形面积公式求解即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：平行四边形即为所求， 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：存在， 由题意得， ∴ ∴ ∴的坐标为或． 23. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生，________； （2）补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________； （3）若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？ 【答案】（1） （2）补全条形统计图见详解， （3） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联求解即可； （2）求出级人数即可补全条形统计图，再由级人数占比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角； （3）由级学生人数占比估计该校4000名学生中级学生人数即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图与扇形统计图中级人数及占比可得在这次调查中一共抽取学生数为； 由条形统计图中级人数可得其占比为，则； 【小问2详解】 解：由（1）知这次调查中一共抽取名学生， 则级人数为， 补全条形统计图如下： 扇形统计图中级对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：该校4000名学生中级学生有名． 24. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． （1）概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】（1）①③ （2） 解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 25. 某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． （1）___________． （2）求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； （3）桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】（1）25 （2） （3）43.25或44.25或48 【解析】 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【小问1详解】 解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； 【小问2详解】 解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； 【小问3详解】 解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 26. 某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，两种饮料每箱的进价和售价如表所示．设购进果汁饮料x箱（为正整数），且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为w元（注：总利润总售价总进价）． 饮料 果汁饮料 碳酸饮料 进价（元/箱） 55 36 售价（元/箱） 63 42 （1）设商场购进碳酸饮料y箱，直接写出y与x的函数关系式； （2）求总利润w关于x的函数关系式； （3）如果购进两种饮料的总费用不超过2000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 【答案】（1） （2） （3）购进果汁饮料10箱、碳酸饮料40箱，最大利润320元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据购进碳酸饮料箱数=购进果汁饮料和碳酸饮料总箱数-购进果汁饮料箱数解答即可； （2）根据总利润果汁饮料的利润碳酸饮料的利润计算即可； （3）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，再由一次函数的增减性判断当x取何值时w值最大，求出其最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 与x的函数关系式为． 【小问2详解】 ， 关于x的函数关系式为 【小问3详解】 根据题意，得， 解得， 为正整数， ， ， 随x的增大而增大， 当时w值最大，， 箱 答：购进果汁饮料10箱、碳酸饮料40箱才能获利最多，最大利润是320元． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、． （1）点坐标为________，点坐标为________； （2）求直线的表达式； （3）若的面积为4，求点坐标； （4）在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标； （2）根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定法可以计算出直线的解析式； （3）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （4）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【小问1详解】 解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， 当时，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解∶∵点， ， ∵点C为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； 【小问4详解】 解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或； 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行四边形的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $