精品解析：黑龙江省牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025—2026学年上学期八年级期末考试数学试卷

牡丹江市初中课改联盟第一子联盟 2025－2026学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 溶度积是化学中沉淀溶解平衡常数，常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列分解因式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，利用乘法公式可判断A、B、D，利用提公因式法可判断C． 【详解】解：A、，分解因式正确，不符合题意； B、，分解因式正确，不符合题意； C、，原式分解因式错误，符合题意； D、，分解因式正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，，，，连接，，则∠A的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点H，由三角形的内角和可求得，再由平行线的性质可得，，从而可得解． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用． 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，分别计算 a、b、c 的值，然后比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 6. 已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（　　） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值． 7. 能使分式的值为整数的整数的值有_____个（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数的个数．需要注意原分式在时无定义，需排除该情况． 【详解】解：整理得： （）. 设 （ 为整数）， 则 ， ∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数， ∴ 为 2 的约数，即 . 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，. 所有 均满足 ， ∴ 整数 的值有 4 个. 8. 如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，过I作于M，于N，利用角平分线的性质，以及等积法求线段的长度，即可得解． 【详解】解：连接、、，过I作于M，于N， ∵点I为各内角平分线的交点，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度．熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线段的长度是解题的关键． 9. 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲型机器人每台万元,根据万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可. 【详解】解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程. 10. 如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定等知识，通过求角度证明边角关系是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到，且，，从而判定，从而判断出③错误；通过计算得到，从而得到，再根据角平分线和平行线推导等腰三角形的方法证明，再根据垂直平分线的判定定理即可证明②；通过证明可以证明①，设，则，，继而求出和，证明，从而求出，即可证明④正确． 【详解】解：在等腰直角中，，点是斜边的中点， ∴，且，， ∴， ∵，即， ∴不是等边三角形，故③错误． 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点C、M都在的垂直平分线上，即垂直平分，故②正确． ∵，垂直平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确， 设， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故正确的有：①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 点关于轴对称点的坐标在第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的特征，各个象限内点的坐标的特点，根据相关知识求解即可． 【详解】点关于轴对称，横坐标相反，纵坐标相等， 点关于轴对称点的坐标为， 故该坐标在第一象限， 故答案为：一． 12. 若分式的值为0，则x的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件得到且，解方程即可． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得到且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零． 13. 等腰三角形中，，则的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．分是顶角，是顶角，是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形中，， 当是顶角，则， ∴； 当是顶角，则， ∴； 当是顶角，则． 综上为或或． 故答案为：或或 14. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如果，那么代数式的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查乘法公式，熟记基本的乘法公式，并准确化简以及运用整体思想是解题关键．首先根据乘法公式进行计算化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 16. 如图所示，在中，，，，，分别是边，上的高，是上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的高，掌握相关知识是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出是的垂直平分线，则，要求的最小值，当点B、P、E三点共线时，的值最小，即的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可求解． 【详解】解：，是边上的高， 是的垂直平分线， ，， 是边上的高， 当B、P、E三点共线时，的值最小，即的长， ，，，，分别是边，上的高， ， 则， ， 的最小值是， 故答案为：． 17. 若是一个完全平方式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的2倍，据此求解即可． 【详解】解：∵一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为；． 18. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，首先将分式方程化为整式方程，求解得到x关于m的表达式，然后根据解为正数且分母不为零的条件列出不等式，求解m的取值范围． 【详解】解： 两边同乘得， 解得， ∵原方程的解为正数， ∴ 解得． 又∵分母不为0， ∴，即， ∴ 综上，且． 故答案为：且． 19. 观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】不难看出，奇数项为负，偶数项为正，分子部分为2n+1，分母部分为：3n-1，据此即可作答． 详解】解：∵， ， ， …， ∴第n个数为：， ∴第8个数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 20. 如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是___________． 【答案】4s或12s 【解析】 【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上． 【详解】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示： ∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t ∴当PO＝QO时， 12﹣2t＝t 解得t＝4； 当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图2所示： ∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t； ∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t； 解得t＝12； 故答案为：4s或12s． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论． 三、解答题（满分60分） 21. 解方程 （1）； （2）； （3）计算：． 【答案】（1） （2）无解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）（2）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （3）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 化简得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问3详解】 解： ． 22. 先化简：，再从、0、1、2中选取一个合适的的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴，且， ∴当时，原式． 23. 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）若图中与点关于一条直线成轴对称，则这条直线是_____；若点关于直线的对称点是，则的坐标为_____； （3）已知点在格点上，若为等腰三角形，请写出图中第四象限内所有符合条件的点坐标_____． 【答案】（1）见详解； （2），； （3）、． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称、等腰三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可求解； （2）利用轴对称的点的坐标特点进行求解即可； （3）根据等腰三角形的性质找出第四象限内所有符合条件的点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：与点关于一条直线成轴对称， 这条直线是， 点关于直线的对称点是， 坐标为； 【小问3详解】 解：点在格点上，为等腰三角形，且点在第四象限内， 点坐标为：、． 24. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（2）16；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式的应用： （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得x、y、z的值，代入所求代数式求解即可； （3）设，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）根据图形可得：， 故答案为：； （2）∵， ∴可以用图3中的2张边长为a的正方形，7张边长为a、b的长方形，3张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形， ∴，，， ∴； （3）设，， ∴， 由得：； ∴， ∴． 25. （1）如图1，在中，点在线段上，是的中点，连接与相交于点，若．求证：； （2）如图2，在中，，，平分，点在线段的延长线上运动，过点作，交于点，交于点，且，请直接写出线段和之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （2）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】解：（1）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 26. 为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝．已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． （1）每副护肘和护膝的价格分别是多少元； （2）若学校决定用不超过8000元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案； （3）在（2）的条件下，若已知商家每副护肘的进价为15元，每副护膝的进价为20元，为支持学校的冰上运动，该商家准备正好用去方案中的最大利润的10%再次购进两种护具赠送给学校，请直接写出最多可赠送护膝多少副？ 【答案】（1）每副护肘的价格是20元，每副护膝的价格的价格是30元 （2）方案1：购进护肘100副，护膝200副；方案2：购进护肘101副，护膝199副；方案3：购进护肘102副，护膝198副 （3）最多可赠送护膝11副 【解析】 【分析】1）设每副护肘的价格是x元，则每副护膝的价格的价格是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每副护肘的价格，再将其代入1.5x中即可求出每副护膝的价格； （2）设购进护肘m副，则购进护膝（300﹣m）副，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元且购进护肘数量不多于102副，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润＝每副的销售利润×购进数量，即可求出选择各方案获得的销售总利润，比较后可得出最大利润，设可赠送护膝a副，护肘b副，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数可得出最多可赠送护膝11副． 【小问1详解】 解：设每副护肘的价格是x元，则每副护膝的价格的价格是1.5x元， 依题意得：，解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×20＝30． 答：每副护肘的价格是20元，每副护膝的价格的价格是30元． 【小问2详解】 解：设购进护肘m副，则购进护膝（300﹣m）副， 依题意得：， 解得：100≤m≤102． 又∵m为正整数， ∴m可以取100，101，102， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进护肘100副，护膝200副； 方案2：购进护肘101副，护膝199副； 方案3：购进护肘102副，护膝198副． 【小问3详解】 解：方案1获得的利润为（20﹣15）×100+（30﹣20）×200＝2500（元）； 方案2获得的利润为（20﹣15）×101+（30﹣20）×199＝2495（元）； 方案3获得的利润为（20﹣15）×102+（30﹣20）×198＝2490（元）． ∵2500＞2495＞2490， ∴选择方案1获得的利润最大，最大利润为2500元． 设可赠送护膝a副，护肘b副， 依题意得：20a+15b＝2500×10%， 化简得：a＝． 又∵a，b均为正整数， ∴或或或， ∴最多可赠送护膝11副． 点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 27. 平面直角坐标系中， 点，， 为等腰直角三角形， ，， 交y轴负半轴于点 D． （1）如图1， a、b满足关系式 ，直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图2， 点E是x轴正半轴上的动点， 过点B作交于点F， 且．求证：点 D是的中点； （3）在（2） 的条件下， 如图3， 点F在线段上，的值是否为定值？ 若是，请计算出定值； 若不是，请用含有a，b的代数式表示． 【答案】（1），，， （2）详见解析 （3）是定值， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，三角形的面积等知识点， (1)由可知，，据此即可求出A，B两点坐标，如图，过点C作轴交y轴于点M，证出，可得，，进而即可得解； （2）如图，过点F作轴交y轴于点N，先证，得出，再证，得出，进而即可得解； （3）设，分别用a，b，x表示出和，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 如图，过点C作轴交y轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点F作轴交y轴于点N， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点D是的中点； 【小问3详解】 是定值，，理由如下， 由（2）知，， ∴，，， 由（1）知， 设， ∴, ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第一子联盟 2025－2026学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列分解因式中，不正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，，，，，连接，，则∠A的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（　　） A. B. C. D. 0 7. 能使分式的值为整数的整数的值有_____个（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，中，，点I为各内角平分线交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 9. 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 点关于轴对称点的坐标在第__________象限． 12. 若分式的值为0，则x的值为_____． 13. 等腰三角形中，，则度数为________． 14. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则__________． 15. 如果，那么代数式的值为____________． 16. 如图所示，在中，，，，，分别是边，上的高，是上的动点，则的最小值是_____． 17. 若是一个完全平方式，则的值为________． 18. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为_____． 19. 观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____． 20. 如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是___________． 三、解答题（满分60分） 21. 解方程 （1）； （2）； （3）计算：． 22. 先化简：，再从、0、1、2中选取一个合适的的值代入求值． 23. 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）若图中与点关于一条直线成轴对称，则这条直线是_____；若点关于直线的对称点是，则的坐标为_____； （3）已知点在格点上，若为等腰三角形，请写出图中第四象限内所有符合条件的点坐标_____． 24. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 拓展】 （3）已知：，求的值． 25. （1）如图1，在中，点在线段上，是的中点，连接与相交于点，若．求证：； （2）如图2，在中，，，平分，点在线段延长线上运动，过点作，交于点，交于点，且，请直接写出线段和之间的数量关系． 26. 为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝．已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． （1）每副护肘和护膝的价格分别是多少元； （2）若学校决定用不超过8000元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案； （3）在（2）的条件下，若已知商家每副护肘的进价为15元，每副护膝的进价为20元，为支持学校的冰上运动，该商家准备正好用去方案中的最大利润的10%再次购进两种护具赠送给学校，请直接写出最多可赠送护膝多少副？ 27. 平面直角坐标系中， 点，， 为等腰直角三角形， ，， 交y轴负半轴于点 D． （1）如图1， a、b满足关系式 ，直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图2， 点E是x轴正半轴上的动点， 过点B作交于点F， 且．求证：点 D是的中点； （3）在（2） 的条件下， 如图3， 点F在线段上，的值是否为定值？ 若是，请计算出定值； 若不是，请用含有a，b的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $