精品解析：黑龙江省牡丹江市第四中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

第四中学2023-2024学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答案，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（ ） A. 1或3或7 B. 1或3或5 C. 或3或7 D. 或3或5 4. 若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，为实数，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，于点，于，，相交于点，，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 如图，在四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使四边形ABCD是矩形：________． 13. 在平面直角坐标系中，等边三角形的两个顶点的坐标分别为，，则点的坐标是______． 14. 将直线向上平移2个单位长度后的直线与轴的交点坐标为______． 15. 正方形的边长为，为边中点，连接，为正方形边上一点，是为底边的等腰三角形，则的面积是______． 16. 如图，在等腰中，，，分别是，的中点，连接，，，与相交于点．若，，则四边形的周长为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，点在轴的正半轴上，的平分线交于点，则直线的解析式为______． 18. 如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为________． 三、解答题（满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：其中 21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且EAC是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AC＝8，AB＝5，求ED的长． 22. 八年级某班两名学生对本班一次数学成绩（得分取整数，满分120分）分别用了两种方法进行了一次初步统计，制成如图所示的两幅尚不完整的统计图，结合图中信息解答下列问题： （1）班级共有______名学生； （2）将两图中空缺部分补充完整； （3）若这次测试成绩的中位数是100分；直接写出在这次测试中成绩为100分的同学至少有多少名． 23. 在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； （2）求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 24. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 25. 某家用电器商店欲购进甲、乙、丙三种型号的烤箱，三种型号烤箱的进价分别为：甲种型号的烤箱每台900元，乙种型号的烤箱每台700元，丙种型号的烤箱每台400元，现用14000元全部购进三种型号的烤箱共20台，且甲、乙每种型号的烤箱至少买3台．该电器商店将三种型号的烤箱的售价分别定为甲种型号的烤箱每台1400元，乙种型号的烤箱每台1000元，丙种型号的烤箱每台600元．设甲种型号的烤箱购进台，乙种型号的烤箱购进台，请解答下列问题： （1）请求出与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）该家用电器商店有哪几种购货方案？ （3）经市场调查后，家用电器商店决定将三种型号的烤箱的售价作出如下调整：甲种下调元，乙种上调元，丙种不变（为正整数）．这三种型号的烤箱全部售出后，家用电器商店所获得的利润比（2）中某方案的利润多200元，请直接写出家用电器商店按（2）中哪种方案进的货及的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，线段，的长分别是，，且满足，点是线段上的一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处． （1）求线段的长； （2）求的面积； （3）点在直线上，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四中学2023-2024学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答案，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 3. 一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（ ） A. 1或3或7 B. 1或3或5 C. 或3或7 D. 或3或5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数，将数据从小到大排列，分类计算出在不同位置时这组数据的平均数和中位数，再根据这组数据的平均数和中位数相同列出方程求解即得．解题关键是熟知平均数和中位数的公式，根据的位置分类讨论． 【详解】解：由题意可得：平均数为， 分四种情况如下： ①将这组数据从小到大的顺序排列为，，，， ∵这组数据处于中间位置的数是3，5， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ②将这组数据从小到大的顺序排列为，，，， ∵这组数据处于中间位置的数是3，， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ③将这组数据从小到大的顺序排列为，，，， ∵这组数据处于中间位置的数是，3， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ④将这组数据从小到大的顺序排列为，1，，， ∵这组数据处于中间位置的数是1，3， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； 故的值是或3或7， 故选：C． 4. 若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：一次函数中，， 随着的增大而减小． ∵，是一次函数的图象上的两个点，， ． 故选：A． 5. 下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判断方法是正确判断的前提．根据菱形的判定方法，矩形、菱形的性质以及平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，故①正确； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②不正确； 经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分，故③正确； 对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故④不正确； 则正确的有①③，共2个， 故选：B． 6. 若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解． 【详解】∵a+b+c=0，且a＜b＜c， ∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定）， ∵a＜0， ∴函数y=cx+a的图象与y轴负半轴相交， ∵c＞0， ∴函数y=cx+a的图象经过第一、三、四象限． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点． 7. 已知，为实数，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识点，如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，，若在，上分别任取一点，，由可知，进而可知当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于点G，交于点H，连接，，则，， 若在，上分别任取一点，， ， 当，分别与H，G重合时，四边形的周长最小，由题意得，，，，， ，， ，， 四边形的周长的最小值为， 在边、上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为． 故选：D． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48， ∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8， ∴OH=BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题． 10. 如图，在中，，于点，于，，相交于点，，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①由题意可知是等腰直角三角形，故此可得到；②由，证明即可；③先证明，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④证明，利用相似三角形的性质结合，可知；⑤证明，再根据，可知，结合题意可知，不一定等于，即可知不一定等于． 【详解】解：， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 即，故①正确； ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴，则， 若，，则，即， 整理得，即， ∴， ∴， ∴，即：， 结合题意可知，不一定等于，故⑤不正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查函数自变量的取值范围，根据二次根式的性质被开方数大于等于0，就可以求解．掌握二次根式被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】根据二次根式有意义得：， 解得：， 故答案为： 12. 如图，在四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，且，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使四边形ABCD是矩形：________． 【答案】 【解析】 【分析】先说明四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的判定方法即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴当时，四边形ABCD为矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，掌握平行四边形和矩形的联系是解答本题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，等边三角形的两个顶点的坐标分别为，，则点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，关键是根据题意画出图形，再根据点的坐标求出等边三角形的高．先根据题意画出图形，求出等边三角形的边长，再求出等边三角形的高，最后可得出答案． 【详解】解：如图，当点C在第四象限时， 等边的顶点、的坐标分别为、， ， 过点作于点， 则， ， 点的坐标是， 当点C在第三象限时， 同理可得，点的坐标是， 故答案为：或． 14. 将直线向上平移2个单位长度后的直线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，直线与坐标轴的交点；掌握平移规律是解题关键． 根据坐标的平移规律：纵坐标向上平移加，向下平移减；求得平移后的直线即可解答． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度，所得直线为：， 令，则， 平移后的直线与轴的交点坐标为：． 故答案为：． 15. 正方形的边长为，为边中点，连接，为正方形边上一点，是为底边的等腰三角形，则的面积是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形，勾股定理等知识，根据题意，分两种情况：当点在上时，当点在上时，利用勾股定理即可求解．理解题意，作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∵为边中点， ∴， 当点在上时， ∵是为底边的等腰三角形， ∴，则， 在中，，即， 解得：， ∴的面积； 当点在上时， ∵是为底边的等腰三角形， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得： ∴的面积； 综上，的面积为或． 16. 如图，在等腰中，，，分别是，的中点，连接，，，与相交于点．若，，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到，判定和是等腰直角三角形．由三角形中位线定理得到，判定，推出，得到是等腰直角三角形，同理：是等腰直角三角形，求出，，由勾股定理求出，得到，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理：是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 四边形的周长． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，点在轴的正半轴上，的平分线交于点，则直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边的性质，两点之间的距离，以及待定系数法求一次函数解析式，得出是解题的关键． 利用平行四边形的性质得出．利用角平分线的定义得出，等量代换可得出，根据等角对等边可得出，设，利用两点之间的距离公式得出m的值，然后用待定系数法求一次函数解析式即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴设，则 ∴， 解得：， ∴， ∴设的解析式为：， 则， 解得：， ∴的解析式为： 故答案为：． 18. 如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】转动前根据菱形的性质，可得的坐标，根据旋转的性质，可得转动后的坐标． 【详解】转动前菱形的顶点，， 的坐标， 每秒旋转，则第秒时得， ， 周， 与转动前位置比，移动了半周， 此时的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）首先根据完全平方公式和二次根式的乘法运算法则求解，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 先化简，再求值：其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且EAC是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AC＝8，AB＝5，求ED的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO， ∵△EAC是等边三角形， ∴EA=EC， ∴EO⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）-3 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AO=CO，根据等边三角形的性质得出EA=EC，推出EO⊥AC，根据菱形的判定得出即可； （2）根据勾股定理求出BO，求出DO，根据勾股定理求出EO，即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形，AC=8， ∴AO=CO=4，DO=BO， 在Rt△ABO中，BO= =3， ∴DO=BO=3， 在Rt△EAO中，EO==， ∴ED=EO-DO=-3． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度． 22. 八年级某班两名学生对本班一次数学成绩（得分取整数，满分120分）分别用了两种方法进行了一次初步统计，制成如图所示的两幅尚不完整的统计图，结合图中信息解答下列问题： （1）班级共有______名学生； （2）将两图中空缺部分补充完整； （3）若这次测试成绩的中位数是100分；直接写出在这次测试中成绩为100分的同学至少有多少名． 【答案】（1）50 （2）见解析 （3）这次测试中成绩为100分的同学至少有7名 【解析】 【分析】此题主要考查了频数分布直方图以及中位数，正确利用题目所给数据获取正确信息是解题关键． （1）根据分的人数及百分比求出总人数； （2）先求得分的人数，可知分的人数，即利用总人数减去已知人数可求得分人数，进而可得分所占百分比，即可补全统计图； （3）根据中位数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：人， 故答案为：50； 【小问2详解】 分有人， 则分有人 分有人， 分所占百分比为， 补全统计图如图， 【小问3详解】 由统计图可知，分的人数为人， 而50人的中位数为第25名、第26名同学的平均成绩， 当第25名同学低于100分，则中位数就不可能为100分， 当第25名、第26名同学成绩均为100分时，中位数为100分,即至少第名都是分，共名同学， 则这次测试中成绩为100分的同学至少有7名． 23. 在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； （2）求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【答案】（1）甲船的速度为，，两港之间的路程为 （2） （3）乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要漏解． （1）从图中可以计算出结论即可； （2）设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行驶，三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 从图中可以得出甲船的速度为：， ，两港之间的路程为， 故答案为：120； 【小问2详解】 从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为：， ， 设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为， ，解得：， 甲船从港到港的过程中与的函数关系式为； 【小问3详解】 乙船的速度为：， 设乙船行驶小时两船相距的路程为15千米， 甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 综上所述，乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 24. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：过点作于， 由折叠可知：，， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形的周长； （3）解：过点作，交的延长线于，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在 中，． 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 25. 某家用电器商店欲购进甲、乙、丙三种型号的烤箱，三种型号烤箱的进价分别为：甲种型号的烤箱每台900元，乙种型号的烤箱每台700元，丙种型号的烤箱每台400元，现用14000元全部购进三种型号的烤箱共20台，且甲、乙每种型号的烤箱至少买3台．该电器商店将三种型号的烤箱的售价分别定为甲种型号的烤箱每台1400元，乙种型号的烤箱每台1000元，丙种型号的烤箱每台600元．设甲种型号的烤箱购进台，乙种型号的烤箱购进台，请解答下列问题： （1）请求出与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）该家用电器商店有哪几种购货方案？ （3）经市场调查后，家用电器商店决定将三种型号的烤箱的售价作出如下调整：甲种下调元，乙种上调元，丙种不变（为正整数）．这三种型号的烤箱全部售出后，家用电器商店所获得的利润比（2）中某方案的利润多200元，请直接写出家用电器商店按（2）中哪种方案进的货及的值． 【答案】（1） （2）方案一：甲3台，乙15台，丙2台；方案二：甲6台，乙10台，丙4台；方案三：甲9台，乙5台，丙6台； （3）家用电器商店按甲6台，乙10台，丙4台， 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式等知识的综合，注意运算的准确性及灵活根据题意进行方案选择． （1）根据“14000元全部购进三种型号的烤箱共20台” 列出与的函数关系式； （2）结合（1），根据“甲、乙每种型号的烤箱至少买3台”可得，，再根据，，均为正整数，求得或6或9，即可求解； （3）由（2）中所得的方案，按所获得的利润比（2）中某方案的利润多200元进行比较，由为正整数进行判断可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 整理得：， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∵，，均为正整数， ∴或6或9， ∴有三种购货方案，方案一：甲3台，乙15台，丙2台；方案二：甲6台，乙10台，丙4台；方案三：甲9台，乙5台，丙6台； 【小问3详解】 若根据方案一调整， 则，解得：，不符题意； 若根据方案二调整， 则，解得：，符合题意； 若根据方案三调整， 则，解得：，不符题意； 即：家用电器商店按甲6台，乙10台，丙4台，． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，线段，的长分别是，，且满足，点是线段上的一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处． （1）求线段的长； （2）求的面积； （3）点在直线上，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2）15 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得、的长，由勾股定理求得； （2）由翻折的性质可得：，，，在中，由勾股定理可得，解方程求得x的值，即可得，再根据则的面积为即可求解； （3）过E作，在中，根据直角三角形面积的两种表示法求得的长，再利用勾股定理求得的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得的解析式，再根据平行四边形的性质分三种种情况：为对角线时，为对角线时，为对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵线段的长分别是且满足， ∴，， ∴，； ∴； 【小问2详解】 设，由翻折的性质可得：，，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 则的面积为； 【小问3详解】 由（2）可知，， 过E作，在中，， 即， 解得：， 在中，，则， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， 所以的解析式为：， 设，， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为对角线时， 则，即，解得：， 此时点的坐标为； 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为对角线时， 则，即，解得：； 此时点的坐标为； 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为对角线时， 则，即，解得：； 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $