精品解析：河南省郑州枫杨外国语学校2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷

郑州枫杨外国语中学2022-2023学年九年级上期开学考试数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 3. 把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 以上都有可能 4. 为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生．某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程的解是正整数，且k为整数，则k的值是( ) A. 0 B. C. 0或6 D. 或6 6. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为（ ） A. 10 B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点E，连接，若，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，正方形的边长为10，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（ ） A. ①②④ B. ②③⑤ C. ①②⑤ D. ①④⑤ 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a3﹣ab，那么将a⊗16进行分解因式的结果为_____． 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 13. 已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 14. 如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 15. 如图，矩形ABCD中，点P、Q分别是边AD和BC的中点，沿过C点的直线折叠矩形ABCD使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ于点G，若BC长为3，则线段FG的长为_____． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 解方程： （1） （2） 17. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点都在格点上，，，三点的坐标分别为，，． （1）将向右平移3个单位长度，得到，画出； （2）以点为对称中心，画出的中心对称图形； （3）在（1）问的平移过程中，扫过的图形面积为 ． 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）证明无论取何值时方程总有两个实数根． （2）中，，、的长是这个方程的两个实数根，求为何值时，是等腰三角形？ 20. 已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． （1）四边形的形状是______，并证明你的结论． （2）当、满足 时，四边形是菱形． （3）当、满足 时，四边形是矩形． （4）当、满足 时，四边形是正方形． 21. 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需130元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需230元． （1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种奖品共40件，A奖品的数量不少于B奖品数量的，且购买总费用不超过920元．当购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 22. 【感知】如图①，在中，点为边延长线上的点，若，过点作交延长线于点．若，求的长． 【探究】如图②，在中，点是边上的点，点为边的中点，连接、交于点，若，小明尝试探究的值．在图②中．小明过点作交于点，易证，则，从而得到的值为___________，易证，则，从而得到的值为___________．从而得到的值为___________． 【应用】如图③，在中，点是边上的点，为边延长线上的点，连接，延长，交于点．若，，且的面积为1，则的面积为___________． 23. 在平面直角坐标系中，直线分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．连接交x轴于点D． （1）求点C的坐标； （2）P为x轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点P的坐标． （3）点E在直线上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州枫杨外国语中学2022-2023学年九年级上期开学考试数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 详解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误． 故选C． 点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合. 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，熟知矩形、正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形具有的性质为对角线互相平分，对角线相等，四个角都是直角， 正方形具有的性质为对角线互相平分且垂直，对角线相等，四个角都是直角， 故选：A． 3. 把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝1440°， 解得n＝10， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是9或10或11． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 4. 为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生．某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1−降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找出降价后的价格与原价之间的关系为：降价后＝原价×（1−降价率）2是解题的关键． 5. 已知关于x的方程的解是正整数，且k为整数，则k的值是( ) A. 0 B. C. 0或6 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】先用含k的代数式表示出x的值，然后根据方程的解是正整数，且k为整数讨论即可得到k的值. 【详解】∵， ∴9-3x=kx， ∴kx+3x=9， ∴x=, ∵方程的解是正整数，且k为整数, ∴k+3=1，3，9， k=-2，0，6， 当k=0时，x=3，分式方程无意义，舍去， ∴k=-2，6. 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验. 6. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可以得出AD和CD的长度，根据勾股定理即可得出OD的长度，即可得出点C的坐标． 【详解】∵点A、B的坐标分别为， ∴ ∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握性质是本题的关键． 7. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DF＝AF，根据含30°角的直角三角形的性质，可得DE＝5，再根据勾股定理可得AE的长，进一步即可求出△DEF的周长． 【详解】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F， ∴DF＝AF， ∵∠BAC＝60°，AD是角平分线， ∴∠DAC＝30°， ∵DE⊥AC，AD＝10， ∴DEAD＝5， 根据勾股定理，得AE， ∴△DEF的周长＝AE+DE＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点E，连接，若，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形性质得，，结合算出，由折叠得，故，结合可证．再由与三角函数得，进而可得，则，由勾股定理得． 【详解】解：如图， 四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ， 将沿着所在的直线折叠得到， ，，，，， ， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴在中，，， ， ，， ，即：， ． 9. 如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可得． 【详解】解：共可以画出以下4个格点矩形： 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与网格问题，熟练掌握矩形的判定是解题关键． 10. 如图，正方形的边长为10，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（ ） A. ①②④ B. ②③⑤ C. ①②⑤ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①运用三角形边角关系证明即可求解． ②④如图过点做的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，在构建的直角三角形中求解线段长度即可求解． ③⑤运用三角函数比较角度可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，①正确 ∵ ∴ 由勾股定理得 ∵ ∴在中， ∴ ∴，④错误 如图过点做的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为 在中， ∴由勾股定理得，,, ∴在中，，②正确 过点作的垂线，垂足为 有 ∴在中， ∵ ∴，⑤正确． 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为 则 ∵为中点，且∥ ∴ ∴在中 有 ∴，③错误． 故选C 【点睛】本题考查知识点较多，涉及三角形综合、三角函数、垂线的运用等，熟练掌握概念，构建边角关系即可求解． 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a3﹣ab，那么将a⊗16进行分解因式的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】a＜﹣2 【解析】 【分析】先求出各个不等式的解集，再根据不等式组无解列出关于a的不等式，即可解得答案． 【详解】解： 解不等式①得，x≥﹣2， 解不等式②得，x≤2a＋2， ∵不等式组无解， ∴2a＋2＜﹣2， 解得a＜﹣2， 故答案为：a＜﹣2 【点睛】此题考查了解不等式组，根据不等式组的解求参数，解题的关键是掌握不等式组无解的条件． 13. 已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 【答案】12 【解析】 【分析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形周长之比等于相似比，据此列出比例式计算即可． 【详解】解：，、是对应角平分线， 相似比， 又相似三角形周长之比等于相似比， ， 已知周长为16，代入得：， 解得：． 14. 如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 【答案】2 【解析】 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 15. 如图，矩形ABCD中，点P、Q分别是边AD和BC的中点，沿过C点的直线折叠矩形ABCD使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ于点G，若BC长为3，则线段FG的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据△EFC由△EBC折叠而成可知△EFC≌△EBC，故∠3＝∠4，∠B＝∠EFC＝90°，BC＝CF＝3，由于Q是BC的中点可知CQ＝BC，故∠1＝30°，∠2＝60°，所以∠FCQ＝60°，故∠3＝∠4＝30°，在Rt△BEC中，由直角三角形的性质可得出BE的长，再由三角形外角的性质即可得出∠5＝60°，故可得出△EFG是等边三角形，故可得出结论． 【详解】解：如图， ∵△EFC由△EBC折叠而成，∴△EFC≌△EBC， ∴∠3＝∠4，∠B＝∠EFC＝90°，BC＝CF＝3， ∵Q是BC的中点，∴CQ＝BC，∴∠1＝30°，∠2＝60°， ∴∠FCQ＝60°，∴∠3＝∠4＝30°， 在Rt△BEC中，∵∠3＝30°，∴BE＝BC•tan30°＝3×＝，∴EF＝BE＝，∵∠5是△CGF的外角，∴∠5＝∠1+∠4＝60°，∴∠5＝∠2＝60°， ∴△EFG是等边三角形，∴GF＝EF＝． 故答案为． 【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可解题． 【详解】解：（1）去分母得：， 去括号得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）， ， ， 即， ， ，． 17. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】2a-6，当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案． 【详解】 = = = = =2a-6， ∵a≠3且a≠-1， ∴a=0，a=1， 当a=0时，原式=2×0-6=-6； 当a=1时，原式=2×1-6=-4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18. 如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点都在格点上，，，三点的坐标分别为，，． （1）将向右平移3个单位长度，得到，画出； （2）以点为对称中心，画出的中心对称图形； （3）在（1）问的平移过程中，扫过的图形面积为 ． 【答案】（1） （2） （3）11.5 【解析】 【分析】（1）平移规律：平面内点向右平移3个单位，横坐标，纵坐标不变，求出平移后三点坐标，即可画出平移后的三角形； （2）关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，求出关于原点对称的对应点，连接得到； （3）平移扫过的图形平行四边形的面积的面积；先算出面积，再算出平行四边形面积，求和即可． 【小问1详解】 解：平移规则：向右平移3个单位，横坐标，纵坐标不变． 已知，，： ， ， ， 在网格里标出、、，依次连接三点，得到． 【小问2详解】 解：关于原点中心对称：点对称点为． 由，，可得： ，，， 在坐标系标出三点，依次连接得到． 【小问3详解】 解：先求的面积，用割补法： 包围的矩形范围：横向从到，纵向从到，矩形面积； 减去周围个直角三角形面积： ．平行四边形：底，高为点到轴的距离， ． 平移过程中扫过的图形面积是平行四边形的面积加上的面积：． 19. 已知：关于的一元二次方程． （1）证明无论取何值时方程总有两个实数根． （2）中，，、的长是这个方程的两个实数根，求为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）证明见解析 （2）k=3或4 【解析】 【分析】（1）直接利用跟的判别式进行证明即可； （2）先用k表示出方程的两根，再根据等腰三角形的定义求解即可. 【小问1详解】 证明：∵a=1，b=，c=， ∴， ∴无论k取何值时方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：在方程中， ∵， ∴， 即，， ∵AB、AC是方程的两个实数根， ∴AB≠AC， ∵BC＝5， ∴当，或时，△ABC是等腰三角形， ∴k＝3或4. 【点睛】本题考查三角形三边关系、一元二次方程及根的判别式，熟练掌握计算法则是解题关键. 20. 已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． （1）四边形的形状是______，并证明你的结论． （2）当、满足 时，四边形是菱形． （3）当、满足 时，四边形是矩形． （4）当、满足 时，四边形是正方形． 【答案】（1）结论：四边形的形状是平行四边形． 证明：连接、． 、分别是、中点， 是的中位线， ，． 同理，；，；，， 四边形的形状是平行四边形． （2） （3） （4）且 【解析】 【分析】（1）连接对角线、，利用三角形中位线定理，得到两组对边分别平行，从而判定四边形为平行四边形． （2）已经知道是平行四边形，再证一组邻边相等即可得到菱形，继续借助中位线． （3）平行四边形只要有一个内角是即为矩形，利用中位线的平行关系结合垂直推导直角． （4）正方形既要邻边相等，又要有一个内角为，综合菱形、矩形成立的条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由中位线定理： ，， 若，则． 平行四边形中有一组邻边相等， 平行四边形为菱形． 【小问3详解】 解：由中位线可得：，． ， ，即． 有一个角是直角的平行四边形是矩形， 平行四边形是矩形． 【小问4详解】 解：由得平行四边形是菱形； 由得平行四边形是矩形． 既是菱形又是矩形的四边形是正方形． 且时，四边形为正方形． 21. 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需130元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需230元． （1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种奖品共40件，A奖品的数量不少于B奖品数量的，且购买总费用不超过920元．当购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 【答案】（1）A的单价30元，B的单价20元 （2）购买A种奖品10件时，购买总费用最少；总费用最少是900元 【解析】 【分析】（1）通过设立未知数，根据花费的钱数列出二元一次方程组，解方程组求出A、B奖品单价． （2）先设A奖品数量为件，则B奖品为件；根据题目给出的两个约束条件列出不等式组求出取值范围；再列出总费用的一次函数，利用一次函数增减性求出最小值． 【小问1详解】 解：设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意得： ， ∴． ∴A的单价30元，B的单价20元． 【小问2详解】 解：设购买A奖品数量为件，则B奖品为件， 由题意可知， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，取最小值，最小值为900元， 购买A种奖品10件时，购买总费用最少；总费用最少是900元． 22. 【感知】如图①，在中，点为边延长线上的点，若，过点作交延长线于点．若，求的长． 【探究】如图②，在中，点是边上的点，点为边的中点，连接、交于点，若，小明尝试探究的值．在图②中．小明过点作交于点，易证，则，从而得到的值为___________，易证，则，从而得到的值为___________．从而得到的值为___________． 【应用】如图③，在中，点是边上的点，为边延长线上的点，连接，延长，交于点．若，，且的面积为1，则的面积为___________． 【答案】；；；；； 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，可得，根据相似三角形的性质可得； （2）【探究】过点作交于点，易证，则，从而得到的值为，易证，则，从而得到的值为，设，则，可求得，从而得到的值为； （3）【应用】过点作交于，交于，过点作交于点,设以为底的高为．根据，可得，从而得到，所以，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式得到，，从而得到 ，根据，得到，代入，求出四边形的面积，用的面积减去四边形的面积即可求出的面积． 【详解】解：（1）∵， ， ， ∴， ， ， ． （2）【探究】过点作交于点， ， ∴， 为的中点， , ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ， ， ∴． 故答案为，，； （3）【应用】如图，过点作交于，交于，过点作交于点,设以为底的高为． ∵，， ， ∴，， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确作出辅助线． 23. 在平面直角坐标系中，直线分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．连接交x轴于点D． （1）求点C的坐标； （2）P为x轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点P的坐标． （3）点E在直线上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）点C的坐标为； （2）； （3）点F的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求得点，的坐标，过点作轴于，证明，则，，进而即可求得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接延长交轴于点，则点就是所求的最大值点，待定系数法求直线解析式，即可求得点； （3）先求得直线的解析式为，直线的解析式为，进而求得点，的坐标，分三种情况讨论，①以为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质，中点坐标公式，即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ， 令，则， ， ，， 过点作轴于，则，如图， 由旋转可得，，， ∴， 又∵， ， 又∵， ， ，， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接延长交轴于点，如图， ， 在中，， ∴当P，B，C三点共线时，最大，此时点就是所求的最大值点， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ， 解得， ∴直线的解析式为， ； 【小问3详解】 解：，，， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设，， ①以为平行四边形的对角线时， ， 解得， ； ②当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ； ③当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $