云南省昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期适应性月考卷（二） 数学试题

云南师大附中2027届高考适应性月考卷（二） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效· 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求， 1.已知集合A={x||x|≤2}，B={xx(x-3)≤0|，则A∩B= A.{x|0≤x≤2} B.{x|-2≤x≤0 C.{x|-2≤x≤3 D.{x|x≤2或x≥3} 1-1 2.已知z=1+i,则1的虚部为 z+1 3 A.5 c号 D.- 2 3.已知x,y∈R,则下列条件中使x>y成立的充要条件是 A.IsI B.x2>y2 x Y C.In(x-y)>0 D.a>a'(a>1) 4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=Sg,a6=1,则a1= A.-1 B.6 C.1 D.0 5.已知 cosa =5,则tama+ T sa-sing A.1 3 B.1+ C.33+12 D.3+4 3 13 13 6.已知抛物线E:y2=4x的准线为l,P为E上的一点，F为E的焦点，直线PB与圆 C:(x-4)2+y2=1相切于点B,若|PF|=1PB|,则点P到1的距离为 c 0 D.3 数学·第1页（共4页） ■回口■■■口■■口□■口 7.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排 法有 A.12种 B.24种 C.40种 D.48种 8.已知函数f(x+2)为偶函数，且满足f(x)+f(2-x)=0,当xe[1,2]时，f(x)=ax2+b. 若f(4)+f(3)=9,则a+2b= A.9 B.3 C.6 0.2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， g已知等比数列1心，的公比为9,0三4，“5S是0，的前n项和，则 C.S2n>S2n-1 D.5,的最小值是时 10.已知函数f(x)=2x3-3x2+1,则 A.x=1是f(x)的极小值点 B.(x)有三个不同零点 Cy)的对称中心是行，》 D.若过点(1，m)存在3条直线与曲线y=x)相切，则实数m∈子0 1山.在平面直角坐标系0中，点P为双曲线C:等y=1的右焦点，点7(-3,0)，过 F的直线1与C的右支交于P,Q两点，1,2为双曲线C的两条渐近线，过点P分 别作PA⊥L1,PB⊥L2,垂足依次为A,B,过点P作PM∥L2交L于点M,过点P作 PN∥L1交L2于点N,则下列结论正确的是 A.C的渐近线方程为x-2y=0 B.点P到C的两渐近线的距离之积为 4 C.25SAPAB=16SAPMN D.若△PQT的外心在y轴上，则|PQ|=16 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量a=(x,2),=(x-3,2x),若a1(a-),则11= 数c)ax++既有极大值也有极小值，则c的 14.在三棱锥P-ABC中，△ABC是等边三角形，PA=PB,PA⊥PB,二面角P-AB-C的 余弦值为- 3,若三棱锥P-ABC的外接球0的表面积为6m,则△ABC的面 积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bcosC=2a-c. (1)求角B的大小； (2)若b=4,且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长 16.(本小题满分15分) 某校高三年级1000名学生某一次的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图1 所示，其中成绩分组区间是[30,50)、[50,70)、[70,90)、[90,110)、[110， 130)、[130,150]. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的上四分位数和 平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)； (3)从这次数学成绩位于[50,70)、 频率 组距 [70,90)、[90,110)的学生中采用比例0.0150 分配的分层随机抽样的方法抽取10人， 再从这10人中随机抽取3人，该3人中 0.0075 成绩在区间[70,90)的人数记为X,求X0.0025 的分布列及数学期望 030507090110130150数学成绩/分 图1 数学·第3页（共4页） ■■口■■■口■■口■回口 17.(本小题满分15分) 如图2，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC,PC=2√2，BC=1,AB =√5. （1)若AD⊥PB,证明：BC∥平面PAD; (2)若A,B,C,D四点共圆，且二面角A-CP-D的正弦值为 6 3,求四棱锥P一ABCD的体积 图2 18.（本小题满分17分) 三知猫圆C:寸@心>0的离心率为得，焦距为2G,以a,。,©为三边的三角 形面积为1.过左焦点F的直线1交C于A,B两点，过点F与l垂直的直线交C于 D,E两点，其中B,D在x轴上方，M、N分别为AB,DE的中点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线MN过定点，并求定点坐标； (3)设G为直线AE与直线BD的交点，当△GMN的面积取到最小值时，求直线AB 的方程 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=axe-ex2+b(m∈R),曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程 为y=2x+1. (1)求实数a,b; (2)当m=ln2时，证明f(x)在R上有唯一零点； (3)对Hxe[-1,+∞)，f(x)+e2“≤e2r-m恒成立，求m的取值范围. 数学·第4页（共4页) ■■口■■■口■■口■■口 云南师大附中2027届高考适应性月考卷（二） 数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的 题号 2 5 6 P 答案 A B D B C D B 【解析】 1.集合A={x|-2≤x≤2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B={x0≤x≤2}，故选A. 2国为-2-D:号-写则的部为号故达B, 2+i 5 z+1 11 3.取x=1,y=-2,显然有二>二，所以A不正确；取x=1,y=-2,显然有x2<y2,所以B x y 不正确；因为x>y,所以x-y>0,再由函数y=lnx是单调递增函数，但(x-y)>0不 一定成立，故C不正确：对于D:显然正确，故选D 4.由。-S,=a,+a,+a,=3a,=0,则a,=0,等差数列{a}的公差d=a,-a,=-1,故 41=a6-5d=1-5×(-1)=6,故选B. 5.因为 cosa -=,所以 1 =5 cosa-sin a 1-tana →ama=1- ,所以 3 tana+ 335+12 tan a+ 故选C 6 √3 13 1 tan o 6.由题意得，抛物线E:y2=4x的焦点坐标为(1,0)，圆C:(x-4)2+y2=1的圆心C(4,0), 半径r=1,设P(x,),则y=4x,(≥0)，根据抛物线的定义可得PF上x+1,又直线 PB与圆C:(x-4)2+y2=1相切于点B,PB=√PCP-r2,又PC=√x-4)2+, PB=Vx-4+-1.又1 PFHPB1,+1=√x-42+6-1，即 7 6+=6。-42+方-1，把=4%代入，得(6+1=6-4到+4%-1，解得6=3 则点P到1的距离为号，故选C 数学参考答案·第1页（共11页） ■■口圆■画口圆■口■圆口 7.间接法，先求甲不站在两端，丙和丁相邻的排法，因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看 做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3！种排列方式：为使甲不在两端，必须且 只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两 人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3！×2×2=24种不同的排列 方式，又甲不站在两端的排法有3×4！=72，则所求排法为72-24=48，故选D. 8.由f(x)+f(2-x)=0,知f(-x+1)=-f(x+1),令x=0,得f①)=a+b=0,令x=1, f0)=-f(2)=-4a-b.又f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1,得 f(3)=f)=a+b,f(4)=f(0),所以f(4)+f(3)=-4a-b+a+b=-3a=9,所以c=-3, 再由a+b=0,可得b=3,所以a+2b=3,故选B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AD ACD BCD 【解析】 1 9.因为等比数列a,}的公比为g,4=4a,= 1 立则经=：名所以g=-分B选项 号方A项正确41，因为，== 错误；4，==-1， <0,所以 Sn-Sm=an<0,所以S2n<Sm4,C选项不正确；Sn 1 当n为偶数时，。 单调递增，Sn的最小值是S2=。, 当n为奇数时， S- 单调递减，所以3，>号， 综上，S的最小值是S,=,D选项正确，故选 2 AD. 10.因为f'(x)=6x2-6x,所以当0<x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当x>1时，f'(x)>0, f(x)单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点，故A正确：因为 f(x)=2x3-3x2+1=(x-1)(2x+1),所以函数只有两个零点，故B错误；由 数学参考答案·第2页（共11页） ■圆口回■■口■■口■■口 f(x)=12x-6=0知，y=f()的对称中心是 11 22 故C正确；设切点坐标为 (,2x-3x6+1),所以切线方程为y-(2x-3x+1)=(6x6-6x)x-x),因为切线过点 (1,m），所以m-(2x-3x+1)=(6x-6x)1-)，即m=-4+9x号-6x+1，令 h()=-4x3+9x2-6x+1,则h(x)=-12x2+18x-6=-6(2x-1(x-1),令h(x)=0,解得 x现=1，当时，有极小值付)-子当：=1时，威划有段大值0=0， 1 过点(1，m)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，等价于关于x的方程 m=4x+9x2-6x+1有三个不同的根，则-<m<0,所以实数m的取值范围是 40 故D正确，故选ACD. 11.因为双曲线C: 父-y=1,C的渐近线方程为x士2y=0,故A错误：设P(,,bx≥2， 4 且6-4=4，又x-2y=0,4:x+2y=0,则P4-5-2到，P8=5+2,则 5 1P4-PB=-2.+2_-42-4 5 5 5 故B正确：直线PM:y=c-)+%, 5 直线PN:y=(x-)+乃，联立 =-2-)+,得M+2,五+2，则 2 x-2y=0 2 4 OM= xo +2yo xo +2yo 5(x。+2y)2 ,联立 y=2x-)+为， 得 2 4 16 x+2y=0 -2y。 -x,+2y0 5(x-2y0)2 ,设 4 ，则ONM= 2 4 16 1 2tan0 ∠MON=20,因为tan0= 2x2_4 2 ,所以tan20= 则 1-tan20 13， 1- 4 16 tan220 sin 20= 9 4 1+tan220 6=亏，因为四边形ONPM为平行四边形，所以 1+ 数学参考答案·第3页（共11页） ■■口■圆■口园■口■■口 5na=5aw=号0M-ONin2:0-× 5(x+2 5(x-2y24 -X 16 16 8-音sP:m血28-知-20-子9-号×号是 5525 故25S△PB=16SAww,故C正确；设P(,bQ(:,y),E(0,),E为外心，由题知 |E0 HEPHET1,故V9+2=Vx+0y-)2=好+0y-)2,又=4+4号=4+4， 所以5y2-2y,-5=0,5y片-2y-5=0,所以y2是方程5y2-2y-5=0的两根，所以 x=my+5, 为=-1，设上x=m+√5，联立 x2 y2=1, 得(m2-4)y2+2W5my+1=0, △=16m2+16>0,所以yy2= 故m一4-1，所以m=±5，此时，直线1的斜 m24,故1 率的绝对值为，大于渐近线斜率的绝对值}，满足题设，所以 3 |P2=V1+m3 1+m =16,故D正确，故选BCD 1m2-4m2-4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 V6丽 √5 【解析】 12.a-万=(3,2-2x),因为ā⊥(a-),则a(a-=0,则3x+4-4x=0,解得x=4.则 =(1,8),则16=√65. 13.函数定义域为0，+四)，且/=2-2c=-2x-2c,由题意，方程)=0，即 Γxx2x3 x x2-2x-2c=0有两个正根，设为x，x,则有+x=2>0,x52= -2>0 1 △=22+8c>0,则c的范围为 -20 14.如图1甲，设AB的中点为G,连接CG、PG,设AB=2a,设△ABC的中心为D,在 剖面图图乙中，1⊥PG,过D作CG的垂线交1于点O,则O即为球心，记∠PGC=a, 数学参考答案·第4页（共11页） ■■口■圆■口回圆口■■口 则cosa=- m∠0GD=5→os∠0GD=5,易求得cG=5a,GD= 5 -a 3 所以OG= DG ,由球0的表面积S=4R=6r得，球O的半径R= √2 cos∠OGD 2 故由R=0G+G= 得a=1,4B=2a=2,则△4BC的面积为5（2a=5. 2 4 甲 图1 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由2 cosC=2a-c及正弦定理，得2 sin BcosC=2sinA-sinC, 因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以2 sin B cos C=2(sin Bcos C+cos Bsin C)-sinC,整理得2 cos Bsin C-sinC=0. 因为sinC>0,所以2cosB-1=0,即cosB= 又B∈(O,),所以B= 3 (6分) (2)由8ae-7acsi血B=V5,且B 1 3,得ac=4. 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B,及b=4, 得16=(a+c)2-3ac,所以a+c=2√7（负值舍去）， 故△ABC的周长为4+2万.…(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)由频率分布直方图可得(0.0025+0.0075+0.015×2+2a)×20=1, 解得a=0.005,…(3分) (2)前三个矩形的面积之和为(0.0025+0.0075+0.015)×20=0.5， 前四个矩形的面积之和为(0.0025+0.0075+2×0.015)×20=0.8， 设这1000名学生的这次考试数学成绩的上四分位数为m, 数学参考答案·第5页（共11页） ■■口■回圆口■圆口■国回 320 则0.5+(m-90)×0.015=0.75,解得m= 3 设平均数为x,，则 x=(40×0.0025+60×0.0075+80×0.015+100×0.015+120×0.005+140×0.005)×20=91. ……(7分) (3)数学成绩位于[50,70)、[70,90)、[90,110)的学生人数之比为 0.0075:0.015:0.015=1:2:2, 所以，所抽取的10人中，数学成绩位于50,70)的学生人数为10×=2， 数学成绩位于[70,90)的学生人数为10×2=4人，数学成绩位于90,110)的学生人数为 10×2=4人， 由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3， 则P(X=0)= =,PX=)= C_1 C61 C。2 P(X=2) CC=3,pX=3)= =1 Ci。10 3.30 所以，随机变量X的分布列如下表所示： 0 1 3 3 6 2 10 30 .1 3 所以，E(X)=0×二+1×二+2× -+3× =1.2,…(15分) 6 2 10 30 17.(本小题满分15分) (I)证明：，PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,∴.PA⊥AD. 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB, .AD⊥平面PAB,,ABc平面PAB,·AD⊥AB. PA⊥AC,PC=22,∴.PA=AC=2 在△ABC中，AB2+BC2=AC,∴.AB⊥BC A,B,C,D四点共面，.AD∥BC, 又：ADc平面PAD,BC丈平面PAD, BC∥平面PAD,…(7分) 数学参考答案·第6页（共11页） ■■口国■四口■■口圆回口 (2)解：方法一：由(1)及A,B,C,D四点共圆，知AD⊥DC 以D为原点，以DA,DC所在直线分别为x,y轴， 以过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系， 设AD=t(0<t<2), 则A60,0)，P(60,2),D(0,0,0),DC=4-F, C0,V4-子，0， AC=(-6,V4-2,0),AP=(00,2), 元·AC=0, 设平面ACP的法向量为乃=(z),则 元P=0, 图2 即G+V4-F=0, 2z1=0, 不妨令x=√4-F,则y=t,名=0，故元=（√4-2,6,0）. DP=,0,2),DC=(0,√4-，0)， 设平面CPD的法向量为%=g,),则区，D=0, c2+2z2=0, 即 n·DC=0, V4-子y2=0, 不妨令22=t,则x=-2,2=0，故m=(-2,0,) :二面角A-CP-D的正弦值为5，∴平面4CP与平面CPD夹角的余弦值为5 3 cosm,3=5·乃24- ,可得t=√2，AD=√2. 1n1%12W2+4 所以四棱锥P-ABCD的体积为V= 3× 2=3+2 3 …(15分) 方法二：解：如图3所示，过点D作DE⊥AC于E,过点E作EF⊥CP于F,连接DF ,PA⊥平面ABCD,PAC平面PAC,∴.平面PAC⊥平面ABCD 又平面PAC∩平面ABCD=AC,DE⊥AC,∴，DE⊥平面PAC 又CPC平面PAC,∴，DE⊥CP,又EF⊥CP,DE∩EF=E, D .CP⊥平面DEF,得DF⊥CP. 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 图3 数学参考答案·第7页（共11页） ■■口■■■口■■口圆■口 即sin∠DFE=V6 又∠DFE为锐角，an∠DFE=5. 3 由(1)及A,B,C,D四点共圆，知AD⊥DC 设AD=x(0<x<2),则CD=V4-x2, 由等面积法可得，DE=W4-元，则CB=4-x)-4-5_4 2 又△EFC为等腰直角三角形，：EF=4-x 2√2 xv4-x 故tan∠DFE= DE 2 4-x2 =V2,解得x=√2，即AD=√2 EF 2V2 所以四陵8oD的体积为-写×51+分×x2-52 (15分) 18.(本小题满分17分) bc=1 2 [a=5 (1)解： 由已知可得a2=b2+c2→b=2, c_V3 e= c=1 则椭圆C的标准方程为号+少-1.… …(4分) 5 4 (2)证明：易知直线I的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x=my-1, x=my-1 联立 y2, 消去x并整理得(4m2+5)y2-8my-16=0, =1 5 4 87m y+y2= 由韦达定理得 4m2+5 此时+=，-5 -16 24m2+5 ·y2= 4m2+5 因为点M为线段AB的中点，所以M -5 4m） 4m2+5’4m2+5 9m 因为loE上1B’ 同理得W -5m2 -41m 5m2+4'5m2+4 所以kMN= (m≠±1)， 5m2-10 数学参考答案·第8页（共11页） 所以MN的直线方程为y= (9x+5),此时直线MN过定点 5m2-1D -g0 当m=1时， 则直线MW过定点 5 当m=-1时， 则直线MN过定点 -g0 综上，直线MW过定点 0 5 …(10分) (3)解：如图4，因为点M,N分别为AB,DE的中点时， 1 SAGMN =SAGBN-SABMN-SAGBM 2 寺-安g0e 1 由(2)知1A=1+m以-为=8v5m+D 4m2+5 同理得DE= 5m+D,所以S6m=g”4m+X5m+48T 1 64×5(m2+1)2≥160 5m2+4 当且仅当4m2+5=5m2+4,即m=1时，等号成立 则△GMN面积的最小值为I6 ,此时直线AB的方程为x=士y-1.…(17 1 分) E 图4 19.(本小题满分17分) (1)解：因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=2x+1, 所以f(0)=b=1,f(x)=a(x+1)e-2e"x,f'(0)=a=2, 则=2b=1 (3分) (2)证明：由(1)知f(x)=2xe-e"x2+1(m∈R), 为了表示方便，设f"(x)为f(x)的2阶导函数，∫“()为f(x)的3阶导函数， m=In2,f(x)=2xe*-2x+1, 数学参考答案·第9页（共11页） 回■口■■国口■■口■■口 f'(x)=2(x+10e-4x,f“(x)=2(x+2)e-4,f"(x)=2(x+3)e, 故知当x∈(-∞，-3)时，f"(x)<0,f"(x)单调递减，且此时f“(x)<0: 当x∈(-3，+∞)时，f(x)>0,f"(x)单调递增，注意到f“(0)=0, 故知当xe(-∞，0)时，f“(x)<0,f'(x)单调递减： 当x∈(0，+∞)时，f(x)>0,f'(x)单调递增 故f(x)m=f(O)=2,故f'(,>0恒成立，即f(x)在R上单调递增， -)=子-1<00=1>0，故知6h0,使得/)=0. 综上，f(x)在R上有唯一零点x=X·…（9分) (3)解：由题意知f(0)+1≤em,即2≤em,解得m≤-ln2, 即m≤-n2为题中不等式恒成立的必要条件， 下证明m≤-n2亦为充分条件 当m≤-n2时，欲证2xe-e"x2+1+e2r≤e2r-m, 即证20-2+1≤-e em 即证e2 e ei, -e+2e++r≥0. 令1e卫+，设g0=ef-e+2e+t+eD+o四，即证s00 则对于二次函数y=g0,其对称轴为1=+2e+1_2xe+1,1 2e2r 2e2x2 令h()=2xe+1 2e2x +2xe[-l,+∞)， 则h)=2+1e·2e-4e2-2xe+）=。-xe-1 4e4 令m(x)=e-xe-1,x∈[-l,+∞)，则m'(x)=e-(x+1)e=-xe, 故知m(x)在(-1,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 故m(x)=m(0)=0, 故m(x)≤0，即h'(x)≤0，故知h()在[-l,+∞)上单调递减， 故hm=h-0=-2e+1+1-e2-2e1」 2e2 +5<2. 22 2 即对于二次函数y=g0,其对称轴1=2e+1+<2,又e2”>0, 2e2+21 数学参考答案·第10页（共11页） ■国□圆■■口■■口■■回 故二次函数y=g(t)在t∈[2，+∞)上单调递增， 故g0≥g(2)=4e2r-2(e2r+2xe+1)+x2=2e2r-4xe-2+x2. 令u(x)=2e2r-4xe*-2+x2,xe[-1,+∞)， 则u(x)=4e2r-4(x+1)e+2x,u()=8e2x-4(x+2)e+2. 设p(x)=e-x-1,x∈[-l,+o),则p(x)=e-1,令p'(x)=e-1=0,解得x=0, 当x∈[-1,0)时，p(x)<0,此时p(x)单调递减， 当xe(0,+∞)时，p'(x)>0,此时p(x)单调递增， 则p(x)m=p(0)=0,即e-x-1>0,则e≥x+1, 故u"(x)=8e2-4x+2)e*+2=8e。e-4(x+2)e+2>8(x+1)e-4(x+2)e+2 =4xe+2, 对于w)=4e+2w()=4x+10e,故知wM)=w-1)=-4+2>0, 故u"(x)>0,即'(x)在[-1，+∞)上单调递增，注意到u(0)=0, 故知当x∈[-1，O)时，u(x)<0,即u(x)单调递减： 当xe(0,+∞)时，t(x)>0,即u(x)单调递增， 故u(x)=u(O)=0,故知g(t)≥0，得证. 即当m≤-h2时，x∈[-l,+∞)，f(x)+e2r≤e2r-m恒成立， 故m≤-n2亦为充分条件. 综上，m的取值范围为(-∞，一血2].…(17分) 数学参考答案·第11页（共11页）