1.4 充分条件与必要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”，从命题概念切入，衔接集合知识，通过思维导图梳理逻辑关系，构建从基础定义到高考应用的学习支架，为后续数学命题分析奠定基础。 其亮点在于分层训练（基础、中档、拔高）与跨学科情境（如《三国演义》“东风”案例），运用定义法、集合法培养数学思维，通过符号表达和集合图示强化数学语言。学生提升逻辑推理能力，教师可实现一体化教学，高效覆盖不同层次需求。

高一数学●2024人教A版必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 理解充分条件、必要条件与充要条件的含义，能够判断命题之间的逻辑关系，学会辨析条件的充分性与必要性，提升逻辑推理能力，为后续数学命题分析打下基础 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括67张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 充分条件与必要条件 1 命题 概念 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命 题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 形式 中学数学中的许多命题可以写成“若，则（为条件,为结论）”“如果 ， 那么 ”等形式. 4 2 充分条件与必要条件 命题的真假 “若,则 ”是真命题 “若,则 ”是假命题 推出关系 条件 是的充分条件， 是 的必要条件 不是的充分条件，不是 的必要条件 是的充分条件，也即的充分条件是；是的必要条件，也即 的必要条 件是 .注意区分这两个表述方式中谁是条件，谁是结论. 5 3 充要条件的概念 如果“若，则”和它的逆命题（将命题“若，则”中的条件和结论 互换，就得到 一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题）“若，则 ”均是真命题， 即既 有，又有，就记作 . 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是 的充分必要条件，简称 为充要条件. 且，即与等价 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果 ，那么 与 互为充要条件. 6 知识剖析 1.一般地，（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条 件；（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件； （3）一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件. 2.从命题的真假理解充分性、必要性.若原命题为“若，则 ”，则 原命题 逆命题 与 的关系 结论 真 假 ,但 是 的充分不必要条件 假 真 ,但 是 的必要不充分条件 真 真 且,即 与 互为充要条件 假 假 ,且 是的既不充分也不必要条件， 是 的既不充分也不必要条件 7 4 充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即,,则有,即是 的充 分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即,,则有,即是 的必 要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即,,则有,即是 的充 要条件. 8 例1 下列语句中，为真命题的是( ) A A.直角的补角是直角 B.同旁内角互补 C.过直线外一点作直线于点 D.两个锐角的和是钝角 【解析】直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 只有两直线平行时同旁内角才互补，所以B选项为假命题； C选项中的语句是祈使句，不是命题； 与 的和为锐角，所以D选项为假命题． 9 例2 用符号“ ”“”“ ”填空： （1）,都是偶数___ 是偶数； 【解析】，都是偶数是偶数,但是偶数,都是偶数如 , ,故填“ ”. （2）为空集___， 至少有一个是空集； 【解析】若为空集，则未必，至少有一个是空集如, ，故填 “ ”. （3）已知集合，则“”____“ ”. 【解析】若，则一定有，因此“”“ ”. 若，又有，则有，因此若集合，则“”“ ”.故填“ ”. 10 例3 (2026·浙江省杭州学军中学月考)设,是实数，则“”是“ ”的 ( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】若,取,,则 不成立； 反之，若,取,,则 也不成立， 因此“”是“ ”的既不充分也不必要条件. 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法. 11 知识点2 从集合角度看充分、必要条件深挖点 我们把使命题为真命题的变量的取值集合记作，同理有 ,则 记法 ， 关系 且 图示 结论 是 的充分不必要 条件 是 的必要不充分 条件 ， 互为充要 条件 是 的既不充分也 不必要条件 简记：小范围 大范围，大范围 小范围，即“充小必大”. 12 例4 (2026·北京市第一零九中学期中)设，，则是 的( ) C A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为，所以是 的必要不充分条件. 13 方法帮丨解题突破 题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断 类型1 定义法 例5 指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要 条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）． （1）， ； 【解析】，但，故 是 的充分不必要条件. 14 （2）两个三角形相似， 两个三角形全等； 【解析】两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似， 故是 的必要不充分条件. （3）， . 【解析】，但,,时, ， 故是 的充分不必要条件. 15 例6 “”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】易知 ， 当时，满足，但此时 ，即充分性不成立；若 ，可得且，即必要性成立.因此可得“ ”是“ ”的必要不充分条件. 16 类型2 集合法 例7 (2026·山东省滨州市期中)设,则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由，解得， ，故“ （小范围）”是“ （大范围）”的充分不必要条件. 17 例8 （1），，则是 的__________________条件． 既不充分也不必要 【解析】， ． 由图1.4-1可知，且，所以是 的既不充分也不必要条件． 图1.4-1 18 （2）一个四边形是平行四边形，一个四边形是正方形，则是 的_________ ___条件． （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 必要不充分 【解析】由图1.4-2可知，所以是 的必要不充分条件． 图1.4-2 19 【解析】令， ． 20 类型3 特殊值法 例9 ［教材改编P23 T3（4）］(2026·广东省中山市段考)“，为无理数”是“ 为无 理数”的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】根据题意，“，为无理数”，则不一定可以推出“ 为无理数”，如 ，但是有理数.反之，若“为无理数”，不一定可以推出“， 为 无理数”，如，是有理数，是无理数.故“，为无理数”是“ 为无理数”的既不充分也不必要条件. 21 类型4 传递法 例10 若是的充分不必要条件，是的必要条件，又是的充要条件，是 的必要 条件，则是 的什么条件？ 图1.4-3 【解析】,,,之间的关系如图1.4-3所示，由图可知，但 （是的充要条件，可将替换为，则是的充分不必要条件，即 是的必要不充分条件），故是 的必要不充分条件． 22 用图形来反映条件之间的关系有三个地方容易出错：（1）翻译不 准确；（2）标注箭头有误；（3）读图错误.因此解决此类问题时，一定要细心，避 免“弄巧成拙”． 23 解题通法 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 定义法 （1）确定命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论. （2）判断“若，则”及“若，则 ”的真假. （3）得出结论. 集合法 写出集合及 ，利用集合间的包含关系进行判 断. 特殊值法 对于选择、填空题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件 （结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题. 传递法 若问题中出现（或可分解出）若干个条件和结论，则画出相应的“推式 图”，根据图中推式的传递性进行判断. 24 练变式1 已知集合与，则是 的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】若，则有 ，故充分性成立， 若，则有 ，故必要性成立， 故是 的充要条件. 25 练变式2 (2026·广东省东莞市翰林实验学校月考)“是整数”是“ 是整数”的 ( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】若是整数，则 为整数，所以充分性成立. 当时，为整数，但 不是整数，所以必要性不成立. 故“是整数”是“ 是整数”的充分不必要条件. 26 练变式3 (2023·天津)“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】方法1：（特值法） 当时，满足 ，但 ，因此“”不能推出“ ”； 若，则有，即，所以 ，则有 ，即“”能推出“ ”. 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 27 图D 1.4-1 方法2：（传递法） 因为“” “或 ”，“ ” “”，所以本题可以转化为判断“ 或 ”与“ ”的关系，条件与结论的关系如图D 1.4-1. 又“或”是“ ”的必要不充分条件， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 28 题型2 充分、必要、充要条件的探究 例11 使不等式 成立的一个充分不必要条件是( ) C A. B.或 C. D. 【解析】由得，所以选项中只有 ,故只有C选项中 的条件是使不等式 成立的一个充分不必要条件. 29 本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据 或，误选B.事实上，“不等式成立”为结论 ， 我们只需找到条件使且 即可. 注意：在求解此类问题时，一定要明确哪个是条件，哪个是结论. 30 例12 一次函数 的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是 ( ) D A., B. C., D. 【解析】一次函数的图象同时经过第一、二、四象限，所以 ,且 ，解得,.故由“一次函数 的图象同时经过第一、二、四 象限”可以推出“”,而由“”不一定能得到“一次函数 的图象 经过第一、二、四象限”如,，所以“”是“一次函数 的图象同时经过第一、二、四象限”的必要不充分条件. 31 解题通法 探求充分、必要条件的方法 探求充分、必要条件问题，首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，然 后推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充 要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 需注意的是：在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条 件的一个“子集”即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个“真子集”. 探求充要条件的方法 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法：将原命题进行等价变形或转化， 直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的. 32 练变式4 (2026·河北省石家庄市期中)设,，则“ ”的充要条件 是( ) C A.,都为2 B., 都不为2 C.,中至少有一个为2 D., 都不为0 【解析】因为，所以 ， 即，解得或 , 故“”的充要条件是“, 中至少有一个为2”. 33 题型3 充要条件的证明 例13 ［教材改编P23 T5］已知，求证： 成立的充 要条件是 . 先分清命题的条件和结论，条件是 ,结论是 . 34 【解析】方法1：先证充分性：, , （立方和公式） . 再证必要性： , , 又，且 , , ,即 . 综上可知，当时，成立的充要条件是 . 方法2：由知且 , 所以 . 35 所以 . 故当时，成立的充要条件是 . ①完全平方公式： , ; ②平方差公式： ; ③立方差公式： ; ④立方和公式： . 解题通法 充要条件的证明思路 1.根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明. 一般地，证明“成立的充要条件为 ”： （1）充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出 . （2）必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出 . 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分 性还是先证明必要性则无硬性要求. 2.在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性 ,也可以直接证明充要性. 37 练变式5 [教材改编P23 T6](2026·宁夏银川市唐徕中学月考)在中，设 , ,，证明“ 是等边三角形”的充要条件是“ ”． 38 【答案】必要性：若为等边三角形，即 ， 则, ， 因此 . 充分性：若 ， 则 ，于 是,, ， 即，因此 是等边三角形. 综上，“是等边三角形”的充要条件是“ ”. 39 题型4 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 例 14 (2026·河北省石家庄市第四十三中学期中)已知 ， . （1）若是的充分不必要条件，求实数 的取值范围； 【解析】因为是 的充分不必要条件， 所以是 的真子集， 所以或解得 . 所以实数的取值范围为 40 题型4 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 例 14 (2026·河北省石家庄市第四十三中学期中)已知 ， . （1）若是的充分不必要条件，求实数 的取值范围； 【解析】因为是 的充分不必要条件， 所以是 的真子集， 所以或解得 . 所以实数的取值范围为 41 （2）若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 【解析】因为是 的必要不充分条件， 所以是 的真子集. 当 （勿忽略空集的情形），即 时，符合题意； 当 ，即 时， 可得或解得 ． 所以实数的取值范围为 . 42 【解析】 当,即时，为空集； 当 ,即时， 为非空集合. 43 例15 是否存在实数，使“”是“或 ”的充 分条件？如果存在,求出 的取值范围；否则，请说明理由. 【解析】令,或 . 假设存在实数,使“”是“或”的充分条件，则 ,即 ，解得 . 故当时，“”是“或 ”的充分条件. 44 子题 是否存在实数,使“”是“或 ”的充分条件？如果存在，求 出 的取值范围;否则，请说明理由. 【解析】令,或 . 假设存在实数,使“”是“或”的充分条件，则,即 ， 解得 . 故当时，“”是“或 ”的充分条件. 45 例16 (2026·天津市第二新华中学月考)设，一元二次方程 有整 数根的充要条件是 ______. 3或4 【解析】由求根公式得，因为是整数，即 为 整数，所以为整数，又因为，且，取,2,3,4，验证可知 , 4符合题意；反之,4时，可推出一元二次方程 有整数根． 46 解题通法 根据充分、必要、充要条件求参数时，应根据等价转化思想或集合包含关系或分离 变量法，转化为对应方程（组）或不等式（组），再求出相关参数的值或取值范围. 47 练变式6 已知, ． （1）是否存在，使得是的充要条件?若存在，求 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】由，解得 . 若是的充要条件，则即此时方程组无解，即不存在 ，使得 是 的充要条件． 48 （2）若是的必要条件，求 的取值范围． 【答案】设命题对应的集合为 ， 命题对应的集合为 ， 因为是的必要条件，所以 . 当 时，，即 ； 当 时，且解得 . 综上，当时，是 的必要条件. 49 新考法 学科综合 例17 [新情境·语文综合](2026·山东省郓城第一中学测试)《三国演义》第49回：“欲 破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重 要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件． 50 例18 [新情境·政治综合]政治书上讲：“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的 东西一定有使用价值.”如果把有使用价值的东西看作集合 ，把有价值的东西看作集 合 ，那么它们的关系是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得，，，则是的必要不充分条件，所以 ，则 ， ． 51 例19 [新情境·物理综合]设计如图所示的四个电路图，条件“闭合开关”，条件 “灯泡亮”，则能说明是 的必要不充分条件的电路图是( ) B A. B. C. D. 52 【解析】对于A，闭合开关可以使灯泡亮；反之，若要使灯泡 亮，不一定非要 闭合开关，因此是 的充分不必要条件. 对于B，闭合开关而不闭合开关，灯泡不亮；反之，若要使灯泡亮，则开关 必须闭合，因此是 的必要不充分条件. 对于C，闭合开关可使灯泡亮；反之，若要使灯泡亮，开关 一定是闭合的，因 此是 的充要条件. 对于D，闭合开关但不闭合开关，灯泡不亮；反之，灯泡亮也可不闭合开关 ， 只要闭合开关即可，因此是 的既不充分也不必要条件. 53 “充分”的含义是“有它即可”,“必要”的含义是“无它不可”.用日常生 活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，学生更容易理解和接受.反之，用“条 件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，则更加明白和透彻. 54 练习帮丨分层巩固 1.(2026·天津市滨海新区期中)已知，，则是 的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由，，得, ， 所以是 的必要不充分条件. 55 2.(2026·山东省济南市期末)已知且，则“为质数”是“ 为合数”的 ( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】若为质数，由，得 必为奇数，（质数中只有2为偶数） 则为大于2的偶数，所以 为合数. 取，则 为合数，但9不是质数. 故“为质数”是“ 为合数”的充分不必要条件. 56 3.［新情境·齐民要术］ (2026·上海市市西中学月考)《齐民要术》是中国杰出农学 家贾思勰所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉 为“中国古代农业百科全书”．书中有一句话“顺天时，量地利，则用力少而成功多”， 大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利” 是“用力少而成功多”的( ) B A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】充分性：如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力取得更多成功， 所以充分性成立.必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比 如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的.故“顺天时， 量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件．故选B. 57 4.(2023·北京)若，则“”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为，且，所以 , 所以 ，所以充分性成立； 因为，且，所以 , 即，即，所以 . 所以必要性成立.（事实上，在证必要性成立的过程中均为等价转化，所以可以直接 得出充分性也成立） 所以“”是“ ”的充要条件. 58 5.(2026·福建省南平市期中)已知，，则“ ”的一个必要不充分条件是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】对于A，令，，推不出 ，故A错误. 对于B，由得,且，故，反之，若 ，推不出 ，如，，故是 的必要不充分条件，故B正确. 对于C，令，，推不出 ，故C错误. 对于D，令，，推不出 ，故D错误.故选B． 59 6.［多选题］ (2026·广东省广州市第一一三中学月考) 下列说法中正确的是( ) ACD A.“”是“ ”的必要不充分条件 B.在中，“”是“ 为直角三角形”的充要条件 C.若,，则“”是“, 不全为0”的充要条件 D.“为无理数”是“ 为无理数”的必要不充分条件 【解析】对于A，，所以“”是“ ”的必要不充分条 件，故A正确. 对于B，若，则为直角，所以 为直角三角形，充分性 成立；若为直角三角形，则“为直角”或“是直角”或“ 为直角”， 60 所以“”或“”或“ ”，即必要性不 成立．因此“”是“ 为直角三角形”的充分不必要条件，故B错误． 对于C，因为，若，则，所以 不成立，所 以，不全为0，充分性成立；若，不全为0，则 ，必要性成立．因此 “”是“， 不全为0”的充要条件，故C正确. 对于D，取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立；若 为无理数， 则是无理数，必要性成立．所以“为无理数”是“ 为无理数”的必要不充分条件， 故D正确.故选 ． 7.［多选题］ (2026·山东省菏泽第一中学检测)已知是的充分不必要条件，是 的 充分条件，是的必要条件，是 的必要条件，则下列结论正确的是( ) AB A.是的充要条件 B.是 的充分条件 C.是的必要不充分条件 D.是 的充分不必要条件 【解析】由条件可知，，，，且 , 由以上关系可知，，且，即，所以是 的充要条件，故A正确， C错误； 由，即，所以是 的充分条件，故B正确； 由，及，可知，所以是的充要条件，故D错误.故选 . 62 8.［多选题］ (2026·江苏省苏州实验中学科技城校调研) 有限集合中元素的个数记作．设， 都为有限集合，则下列结论中正确的 是( ) AB A. 的充要条件是 B.的必要条件是 C.的必要不充分条件是 D.的充要条件是 63 【解析】易知 ．（容斥原理） ，也就是集合与集合 没有公共元素，故A正确. ，也就是集合中的元素都是集合中的元素，因此 ,故B正确. 当时，满足，此时 , 所以 不成立，故C错误． ，也就是两个集合中的元素完全相同，元素个数也相等，则有 ,但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，如 ，2，，，2， ，故D错误. 故选 . 64 9.已知,,“”是“ ”的必要不充分 条件，则实数 的取值范围是________________. 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所以 .因为 , 所以即故实数的取值范围为 ． 65 10.(2026·安徽省宿州市灵璧中学周测)记关于的方程的解集为 ， 其中, ． （1）求 恰有3个元素的充要条件； 【答案】原方程等价于或 ， 所以或 ， 由于 ， 所以当时， 恰有3个元素， 即恰有3个元素的充要条件 ． 66 （2）在（1）的条件下，试求以 中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充 要条件． 【答案】必要性：由（1）知， , 则两个方程为或 ， 两个方程的3个根分别为,, ， 若它们是直角三角形的三边，则，且 ， 解得， ． 充分性：若，，可解得 ，以6，8，10为边长的三角形 恰为直角三角形． 所以， 为所求的充要条件． 67 $