1.4 充分条件与必要条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件、充要条件的概念及判断，通过“若p则q”形式的真假命题问题导入，关联命题真假判断，搭建从命题到条件关系的学习支架，帮助学生理解推出关系与条件关系的联系。 其亮点在于用问题驱动结合表格梳理命题真假与条件关系，通过定义法、集合法等多种判断方法及几何代数实例，培养数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）能力。学生能掌握系统判断方法提升逻辑推理素养，教师可借助丰富例题和方法总结高效教学。

1.4 充分条件与必要条件 1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性. 2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法. 3.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件之间的关系. 学习目标 充分条件与必要条件 命题 概念 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命 题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 形式 中学数学中的许多命题可以写成“若，则（为条件,为结论）”“如果 ， 那么 ”等形式. 4 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2-4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 问题 提示　在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题.   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p q p q 条件 关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个________ 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________ 充分条件与必要条件 ⇒ 充分 必要 充分 必要 充分条件 必要条件 知识梳理 AI·思考辨析 若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗? 提示 不唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>2是x>1的充分条件,x>5,x>10等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的必要条件. 体验新知 1.(多选题)使“x>3”成立的充分条件是(　　) A.x>4 B.x>5 C.x>2 D.x>1 AB 2.判断下列各题中,p是不是q的充分条件,q是不是p的必要条件: (1)p:x∈Z,q:x∈R; (2)p:x是矩形,q:x是正方形. 解 (1)因为整数都是有理数,从而一定也是实数,即p⇒q,因此p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)因为矩形不一定是正方形,即p q,因此p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一. 注 意 点 <<< 10 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件. 充分、必要条件的判断方法 反 思 感 悟 充要条件 一 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 问题1 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 问题2 提示　判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件. 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充要 知识梳理 知识剖析 1.一般地，（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条 件；（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件； （3）一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件. 2.从命题的真假理解充分性、必要性.若原命题为“若，则 ”，则 原命题 逆命题 与 的关系 结论 真 假 ,但 是 的充分不必要条件 假 真 ,但 是 的必要不充分条件 真 真 且,即 与 互为充要条件 假 假 ,且 是的既不充分也不必要条件， 是 的既不充分也不必要条件 17 4 充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即,,则有,即是 的充 分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即,,则有,即是 的必 要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即,,则有,即是 的充 要条件. 18 (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 注 意 点 <<< 19 AI·思考辨析 定义“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”合理吗? 提示 合理.因为“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形是平行四边形”的充要条件. 例1 指出下列各题中是 的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要 条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）． （1）， ； 【解析】，但，故 是 的充分不必要条件. （2）两个三角形相似， 两个三角形全等； 【解析】两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似， 故是 的必要不充分条件. （3）， . 【解析】，但,,时, ， 故是 的充分不必要条件. 类型1 定义法 21 类型2 集合法 例2 (2026·山东省滨州市期中)设,则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由，解得， ，故“ （小范围）”是“ （大范围）”的充分不必要条件. 22 例3 （1），，则是 的__________________条件． 既不充分也不必要 【解析】， ． 由图1.4-1可知，且，所以是 的既不充分也不必要条件． （2）一个四边形是平行四边形，一个四边形是正方形，则是 的_________ ___条件． （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 必要不充分 【解析】由图1.4-2可知，所以是 的必要不充分条件． 23 例4（多选）[2026江西宜春模考]已知，都是的充分条件，是 的必要条 件，是 的必要条件，则( ) BD A.是的既不充分也不必要条件 B.是 的充分条件 C.是的必要不充分条件 D.是 的充要条件 【解析】 ,,,，故,,,.所以 是 和的充分条件，是的充要条件，是 的充要条件.故A，C错误，B， D正确. 类型3 等价法 24 类型4 传递法 例5 若是的充分不必要条件，是的必要条件，又是的充要条件，是 的必要 条件，则是 的什么条件？ 【解析】,,,之间的关系如图所示，由图可知，但 （是的充要条件，可将替换为，则是的充分不必要条件，即 是的必要不充分条件），故是 的必要不充分条件． 25 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 反 思 感 悟 充分条件与必要条件的应用 例5 利用推出关系判断下列甲是乙的什么条件. (1)甲:x≤0,乙:x<0; 解 令A={x|x≤0},B={x|x<0},B是A的子集,但是A不是B的子集,所以甲是乙的必要不充分条件. (2)甲:x2+y2=0,乙:x=0,y=0; 解 因为x2+y2=0⇔x=0,y=0,所以甲是乙的充要条件. (3)甲:x>0,乙:|x|>0; 解 由|x|>0,可得x≠0,所以甲是乙的充分不必要条件; (4)甲:|x|≤2,乙:|x+1|<1. 解 |x|≤2⇔-2≤x≤2,|x+1|<1⇔-2<x<0,所以甲是乙的必要不充分条件. 例6(2026湖南阶段练习)(多选题)下列“若p,则q”形式的命题中, p是q的充分条件的有(　 　) A.若x,y是偶数,则x+y是偶数 B.若方程x2-2x+a=0有实根,则a<2 C.若一个四边形是矩形,则这个四边形的对角线相等 D.若集合A⊆B,则A⫋B ABC 解析 由x,y是偶数,能推出x+y是偶数,则p是q的充分条件,故A正确;方程x2-2x+a=0有实根⇔(-2)2-4a≥0⇔a≤1⇒a<2,则p是q的充分条件,故B正确;由一个四边形是矩形,能够得到该四边形的对角线相等,则p是q的充分条件,故C正确;由真子集的定义知,A⊆B推不出A⫋B,则p不是q的充分条件,故D错误.故选ABC. 例7(2026甘肃甘南阶段练习)(多选题)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有(　 　) A.若x<1,则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似 C.若x≠1,则|x|≠1 D.若ab>0,则a>0,b>0 BCD 解析 对于A,由x<2,不能推出x<1,所以p不是q的必要条件,故A错误;对于B,由两个三角形相似,能推出这两个三角形的三边对应成比例,所以p是q的必要条件,故B正确;对于C,由|x|≠1,则x≠±1,能推出x≠1,所以p是q的必要条件,故C正确;对于D,由a>0,b>0,能推出ab>0,所以p是q的必要条件,故D正确.故选BCD. (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 充分条件与必要条件的应用技巧 反 思 感 悟 充要条件的证明 例8 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明 (1)先证充分性. 因为a+b+c=0,所以a×12+b×1+c=0, 所以关于x的方程有一个根为1. (2)再证必要性. 因为关于x的方程有一个根为1, 所以a×12+b×1+c=0,所以a+b+c=0. 由(1)(2)可知,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 例题探究 将例8中的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”, “a+b+c=0”改为“ac<0”,如何证明? 证明 充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根, 由根与系数关系可知这两个根的积为 <0, 所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根, 所以ac<0⇒方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根. 必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根, 由根与系数关系可知这两个根的积为 <0, 所以ac<0, 综上,方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 例9 已知a,b是实数,求证:“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1成立”的充要条件. 证明 充分性: 若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立. 必要性: 若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0, ∴a4-(b2+1)2=0,∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0. ∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2-1=0,即a2-b2=1成立. 综上,“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1成立”的充要条件. (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A=｛x|p(x)｝，q：B=｛x|q(x)｝，若A=B，则p与q互为充要条件. 充要条件证明的两个思路 反 思 感 悟 既不充分也不必要条件 例10 (1)已知x,y∈R,则“x<y”是“x2<y2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D 解析 由-2<1,但(-2)2>12,可知x<y推不出x2<y2; 由12<(-2)2,但1>-2,可知x2<y2推不出x<y. 故“x<y”是“x2<y2”的既不充分也不必要条件.故选D. (2)(多选题)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是(　　) A.p:x≤1,q:x<1 B.p:x>-1,q:x2>1 C.p:=x,q:x>0 D.p:x≤0,q:|x|=-x AC 解析 因为x<1能推出x≤1,而x≤1不能推出x<1,所以p是q的必要不充分条件,故A正确;因为x>-1不能推出x2>1,如x=0,同时x2>1不能推出x>-1,如x=-2,即充分性与必要性都不成立,所以p是q的既不充分也不必要条件,故B错误;因为=x不能推出x>0,如x=0,即充分性不成立,x>0可以推出=x,即必要性成立,故C正确;因为|x|=-x等价于x≤0,所以p是q的充要条件,故D错误. 故选AC. 例11(2026重庆万州期中)在中国传统的十二生肖中,马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜,则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D 解析 若甲的生肖不是马,则甲的生肖未必属于六畜;若甲的生肖属于六畜,则甲的生肖不一定是马.故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件.故选D. 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念、判断. (2)充要条件概念的理解. (3)充分条件与必要条件的应用. (4)充要条件的证明 、充要条件的应用. 课堂小结 随堂演练 题型一 充分、必要条件的判断 1.（2026天津和平区期末）“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 因为，所以“”是“ ”的充 分不必要条件. 43 2.（2026重庆部分学校期末联考）为空集，，中至少有一个是空集，则 是 的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 若，中至少有一个是空集，则必为空集，即 ； 若为空集，（两集合交集为 包括两种情况：①两集合中至少有一个是空集，②两 集合没有公共元素）未必，中至少有一个是空集（如,），即 . 所以是 的必要不充分条件. 44 3.（2026河南安阳期中）若，则“”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 若，则由，得，即 ，即 ，即 ， 若且，即且，此时 ， 所以若，则“”是“ ”的充要条件. 45 4.在下列“若,则”的命题中,是 的必要条件的命题是( ) C A.若四边形的一组邻边相等,则四边形是平行四边形 B.若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等 C.若,则 D.若是无理数,则 也是无理数 【解析】 是的必要条件，即命题“若,则 ”是真命题. 仅邻边相等不能判定四边形为平行四边形,（不是平行四边形的判定定理）为假命 题； 若一个三角形三边长分别为5,6,9,另一个三角形三边长分别为6,6,8,两个三角形周长 相等（不是全等三角形的判定定理）,却不全等,为假命题； 若，则,为真命题,所以是 的必要条件； 若,则,此时为无理数， 不是无理数,为假命题. 46 5.（2026陕西咸阳检测）已知是的充分不必要条件,是的充分条件,是 的必要条件, 是 的必要条件,则下列命题中： 是的充要条件； 是 的充分不必要条件； 是的必要不充分条件； 是 的充分不必要条件. 正确的命题序号是( ) B A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 【解析】 由题意画出关系示意图,如图. 由,,形成闭环知,,,故是的充要条件,是的充要条件,是 的充要 条件,故①正确,③④错误； 易得,,故是 的充分不必要条件,②正确. 47 题型二 充分、必要条件的探求 6.（2026安徽开学考试）“ ”的一个必要不充分条件是( ) D A. B. C. D. 【解析】 48 若，解得，即等价于 . 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是 的既不 充分也不必要条件； 因为集合与集合相等，所以是 的充要条件； 因为集合是集合的真子集，所以是 的充分不必要 条件； 因为集合是集合的真子集，所以是 的必要不充分条件. 7.（多选/2025甘肃天水第一中学段考改编）关于的方程 的根为负根的充分 不必要条件是( ) ABC A. B. C. D. 【解析】 探求使不等式成立的充分不必要条件,可先寻找满足条件的范围,再找比该范围 更小的选项.当 时,此方程无解, 当时,若方程 的根为负根, 则,则 . 综上所述,当关于的方程的根为负根时,有 ,（充要条件）选项中，A,B,C 的范围均比 所确定的范围小. 50 8.若,都是实数,试从；；； 中选出满 足下列条件的式子,并用序号填空. （1） 使, 都不为0的充分条件是____； （2） 使, 中至少有一个为0的充要条件是____. ④ ① 【解析】 ①或,即, 中至少有一个为0； ②,互为相反数,则, 可能均为0,也可能一正一负； ③, 为任意实数； ④或即, 都不为0且同号. 综上可知, （1）使,都不为0的充分条件是④；（2）使, 中至少有一个为0的充要条件是①. 51 题型三 已知充分、必要条件求参数 9.（2026山西太原检测）集合,,若“”是“ ” 的充分不必要条件,则 不能是( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 由“”是“”的充分不必要条件,得是的真子集,结合数轴可得 ， （时,,仍满足题意）所以 不能是2. 52 10.（2025吉林长春期末）大招2已知,,若是 的充 分条件,则实数 的取值范围为( ) B A.} B.} C. D. 【解析】 ，解得或 ,（十字相乘法） 因为是的充分条件,所以,所以 . 53 11.（多选/2026江西临川一中期末）若是 的必要不充 分条件,则实数 的值可以为( ) BCD A.2 B. C. D.0 【解析】依题意,是,的真子集,则 可以是 ,或 ,解之即得. 由十字相乘法得,解得或 , 因为是的必要不充分条件,所以是,的真子集,则 可 以是 ,或 . 当 时,易得 ； 当时,可得 ； 当时,可得 . 54 12.（2026百师联盟联考）已知集合 ，集合 . （1） 若且，求实数 的取值范围； 【答案】 集合 ， 由，可得，解得 ， 由，可得，解得，则由，可得或 ， 由且，可得，所以实数的取值范围为 }. 55 （2） 设,，若的充分不必要条件是，求实数 的取值范围. 【答案】 因为的充分不必要条件是，且,，所以是 的真子集， 因为, ， 所以或 . ①当，即时， ，则 ，满足题意； ②当时，需满足，或，解得 . 综上可得，实数的取值范围为或 . 56 题型四 充分、必要条件的证明 13.（2025陕西部分学校调考改编）证明： （1） “”是“ ”的充分不必要条件； 【答案】 充分性：当时, ,充分性成立. 必要性：由,得,即 ,必要性不成立. 故“”是“ ”的充分不必要条件. （2） “ ”是“ ”的充要条件. 【答案】 充分性：若 ,则 ,充分性成立. 必要性：若,则 ,必要性成立. 故“ ”是“ ”的充要条件. 57 14.（2026上海市三林中学检测） （1） 已知关于的一元二次方程，求证:无论 取何值， 此方程总有两个不相等的实数根. 【答案】 关于的一元二次方程 . 因为恒成立，所以无论 取何值，此方程 总有两个不相等的实数根. 58 （2） 求证:关于的方程有一个根为1的充要条件是 . 【答案】 必要性:若关于的方程有一个根为1，则 , （把 代入方程即可）必要性成立. 充分性:若，则 , 则关于的方程 有一个根为1，充分性成立. 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是 . . . 59 15.已知的三边长分别为,,,其中,求证： 为等边三角形的充要条件 是 . 【答案】 充分性：当时, 可化为 ,即 ,所以 , 则,所以,即 ,则 为等边三角形,充分性成立. 必要性：为等边三角形,且,所以 ,则 ,必要性成立. 故为等边三角形的充要条件是 . 60 能力提升 1.（2026重庆外国语学校检测）《三国演义》是中国古典四大名著之一.《三国演义》中 曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的( ) B A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 “卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为:得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以 安天下，则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件， 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件.因此“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分 不必要条件. 61 2.（2026辽宁辽阳期末）表示不超过的最大整数，如，则“ ”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 若，则，所以“”是“ ”的必要不充分条件. 62 3.（2026广东汕尾期末）下列各选项中，是 的既不充分也不必要条件的是( ) D A., B., C.,, D.四边形是长方形， 四边形的对角线互相垂直且平分 63 【解析】 因为，所以或，即由不能推出，但由能推出 ， 所以是 的必要不充分条件； 由等式的性质可知由能推出，由能推出，所以是 的充要条件； 因为,，所以 ， 若，则,或, ， 即由能推出，但由不能推出，所以是 的充分不必要条件； 因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出，所以是 的既不充分也不必要条件. 64 4.命题“是的必要不充分条件”是假命题,则 的取值可能是( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 由是的必要不充分条件,得,则由命题是假命题,得 ,所以 在选项中， 的取值可能是1. 65 5. （多选/2025四川内江六中月考）设全集为,是 的非空子集,在下列选 项中, 的充要条件是( ) BD A. B. C. D. 66 【解析】 . 当时, ,必要性不成立； 如图，由图可知, 等价于 ,充分性、必要性都成立； 当时,取,,,此时 , ,满足 条件,但 不成立,即充分性不成立； 由图可知,等价于 ,充分性、必要性都成立. 67 6.（多选/2026江苏省东海高级中学城北校区月考）设计如图所示的四个电路图,条件 开关闭合；条件灯泡亮,则是 的必要条件的电路图为( ) BC A. B. C. D. 【解析】 是的必要条件,即灯泡亮 开关 闭合. 灯泡亮,可能是开关闭合,也可能是开关闭合,故不是 的必要条件； 只有一个开关,灯泡要亮,开关必须闭合,则是的充要条件,即是 的必要条件； 灯泡亮，必须开关和同时闭合,则是 的必要条件（必要不充分条件）； 灯泡一直亮,跟开关是否闭合没有关系,则是 的既不充分也不必要条件. 68 7.（多选/2026山东德州检测）“集合,, }只有3个真子 集”的充分不必要条件有( ) CD A. B. C. D. 【解析】 因为集合只有3个真子集，所以集合 中有2个元素， 因为, ，则有: 当,时， ， 当,时， ， 当,时， ， 因为集合中只有2个元素，所以 ， 所给选项中， ， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件. 69 8.（2026安徽合肥十中检测）已知集合,, }. （1） 判断8，9，10是否属于集合 ； 【答案】 ，，故 ， ， 假设，,，则 ，且 ， 由，得或 显然均无整数解， ， 综上，，， . 70 （2） 已知集合,，证明:“”的充分不必要条件是“ ”； 【答案】 集合,，则恒有 ， ，即一切奇数都属于，即，则必有 ； 又，而，即推不出 ， “”的充分不必要条件是“ ”. 71 （3） 若集合中所有的偶数构成的集合为，集合,，求证: . 【答案】 集合,,， . ①当，同奇或同偶时，,均为偶数， 为4的倍数； ②当，一奇一偶时，,均为奇数， 为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为, ， . 72 $