江苏省南菁高级中学2026-2027学年第一学期高三数学周练1试卷

**基本信息** 高三周练数学试卷，以悬链线历史情境设计双曲函数解答题，融合数学文化与逻辑推理，考查抽象能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数性质、导数应用|基础概念辨析，如充分必要条件判断| |多选|3/18|命题逻辑、函数图像与性质|多选项分层，如函数单调性与对称性综合| |填空|3/15|二分法、函数恒成立、对称性|强调数学语言表达，如零点近似值计算| |解答|5/77|双曲函数（数学史）、命题与不等式、导数综合|融入悬链线历史情境，分层设计证明与探究，如两角和双曲余弦公式证明|

2026~2027学年第一学期高三周练1 数学参考答案 1．C 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 2．D 【分析】先根据表达式单调性确定最大值的取值，再利用约束条件将最小值问题转化为基本不等式求最值，最终计算差值即可. 【详解】表达式中，为关于的减函数，为关于的增函数， 结合约束，当、时表达式取最大值： ，满足约束条件，成立. 对固定的，由得，当且仅当时取等号. 又，当且仅当即时，等号成立. 因为，此时，满足约束，故. 所以，. 3．A 【分析】当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，通过求导确定切点坐标后利用点到直线距离公式计算最小值. 【详解】将直线整理为一般式：，其斜率为1， 又，曲线在点处的切线斜率为， 若该切线与直线平行，则，即，解得， ，即切点的坐标为， 到直线的距离 ， 故曲线上一个动点P到直线的距离的最小值是. 4．B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 5．C 【分析】通过代入化简各选项的函数表达式，结合奇函数定义域关于原点对称、满足的性质逐一验证即可. 【详解】首先确定的定义域：由且，得或， 对于A选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故A选项错误； 对于B选项，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：， 不满足，故不满足奇函数性质，故B选项错误； 对选项C，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：满足奇函数性质，故C选项正确； 对于D选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故D选项错误； 6．B 【分析】将变形成，然后构造函数，利用的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得，，，即. 设，可得. ，当时，，在单调递增. ，，又，即. ，即. 7．C 【分析】对A：可变形为，构造函数，利用该函数单调性及零点存在性定理即可得；对D：由题可得，分别是函数，与函数和图象的交点横坐标，可设两个交点分别为，，结合反函数性质即可得；对B：由D中所得可得，再利用基本不等式中“1”的活用计算即可得；对C：结合A中所得与计算即可得. 【详解】对A：可变形为，令， 则当时，单调递减，又， 时，，故，故A错误； 对D：由题可得，分别是函数，与函数和图象的交点横坐标， 则两个交点分别为，， 由于函数和图象关于直线对称， 而且函数，图象也关于对称， 所以，两点关于直线对称，故，故D错误； 对B：因为，所以，则，取倒数变形得， 所以，，故，故B错误； 对C：因为，所以，则， 又因为，故，故C正确. 8．B 【分析】求出，设，推导出，转化为方程在区间上有两解，参变分离，在区间上有两解，构造函数，得到函数单调性，数形结合得到结论. 【详解】由题意得函数与的图象关于直线对称，故， ，设， 则方程，即均在函数图象上， 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 综上，，即方程在区间上有两解， 即，在区间上有两解， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 其中，即， 画出函数在上的图象如下： 要想在区间上有两解，需要， 解得. 9．BC 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 10．ABD 【分析】对函数进行化简后，结合基本不等式求解最小值判断A，利用函数对称性的定义判断B，利用复合函数的单调性判断C，结合对称性与换元法判断D即可. 【详解】对于A，由题意得 ， 令，则变为， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，，得到的最小值为1，即的最小值为1，故A正确， 对于B，由题意得， 且， 可得，则的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，令，由对勾函数性质得在上单调递增， 由对数函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增，即在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得，且， 令，则，， 因为，所以， 则，且， 而欲证，则证，即证， 则证，则证，即证， 而，则得证，即得证， 而在上单调递增，可得， 即，得到，故D正确. 11．ABD 【分析】首先将原曲线方程变形得到，结合的隐含条件，针对四个选项的不同设问方向分别构造单变量函数，通过导数分析函数的单调性、最值、零点情况，逐一判断选项正误． 【详解】对于A选项，曲线方程变形为， 因为点在上，所以， 因为，所以． 令，， ，所以函数在上单调递减， 又，所以的解集为， 所以的解集为， 所以，故A正确； 对于B选项，， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C选项，联立与，得， 令，构造函数， 求导，所以在单调递增， 当时，；当时，， 由零点存在定理，存在唯一的使得，对应两个横坐标， 即两个交点和，共2个交点，故C错误； 对于D选项，要证，等价于证， 令，由，得， 则， 下面证明当时，， 设，只需证， 求导，显然在单调递增， 当时，；当时，， 所以存在唯一极值点，满足， 且在单调递减，在单调递增， 故在上的最大值为， 故当时，， 因此， 第一个等号当且仅当或1时成立，第二个等号当且仅当时成立， 因此两个等号无法同时取得，所以，即，故D正确． 12． 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 13． 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 14． 5 【分析】根据函数图像的对称性可得,可对进行赋值,求,构造函数，根据二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】因为图像关于直线对称,所以 当时,得① 当时,得② 联立①②可得:,所以； 所以, 令, 则， 因为是开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故答案为: 【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型. 15．（1）为定值，定值为 （2）证明：因为，， 所以， ，得证. 【分析】（1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； 【详解】（1）∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. （2）略 16．（1）；（2）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 【详解】（1）设，， 因为是的必要条件，所以， ①当时符合题意，此时，解得； ②当时，则且等号不能同时成立，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （2）由不等式化为，， 即得． 因为，所以， ①当，即时，原不等式的解集为或； ②当时，原不等式化为，原不等式的解集为； ③当时，，原不等式的解集为或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解的解集为； 当时，不等式的解集为或. 17．（1） （2）由题意， 则， 因为为的中点，则， 故， 由 ， 故要证，即证， 由于，即证， 不妨设，只需证，即证， 设，构造函数，则， 所以函数在单调递增，故， 即，从而． 【分析】（1）由切线斜率相等得到，再结合基本不等式即可求解； （2）先根据已知条件表示出和，然后将问题转化成，再构造新函数，求导通过单调性证明即可. 【详解】（1）由题意：，． 所以，． 又因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以， 因为且，所以， 即的取值范围是. （2）略 18．（1）对求导可得，，， 所以直线是函数的切线， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以直线是函数的“上切线”. （2） （3） 【分析】（1）先证直线是函数的切线，令，要证直线是函数的“上切线”，只需先证恒成立即可； （2）根据“上切线”和“下切线”的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围； （3）根据是函数和的公切线，设的切点为，可得，令 ，利用导函数分析函数单调性和最值，即可求的取值范围． 【详解】（1）对求导可得，，， 所以直线是函数的切线， 令 ，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以直线是函数的“上切线”； （2）因为是函数的“上切线”， 所以对一切恒成立， 即 ， 化简得 对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则需，解得； 因为是函数的“下切线”， 所以对一切恒成立， 即 ， 化简得 对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则需，解得； 综上可得. （3）设的切点为，，则切线斜率， 所以的切线方程为，即， 因为直线既是函数的“下切线”， 所以即恒成立，且， ， 令 ，则，令 ，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以 ，即， 又直线也是函数的“上切线”， 所以即恒成立， 因为直线是函数的切线， 所以，即有且只有一个实数根， 所以 ，所以， 所以 ， 令 ， 则， 令 ，则 ， 所以 在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 又，所以当时，，当时，， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，所以，所以. 19．（1）极大值为，极小值为； （2）当为奇数时，在定义域上单调递减； 当为偶数时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：要证，即证，也即 设，即需证. 则， ① 当时，，此时， 由，得，由，得或， 则在，上单调递减，在上单调递增． 则的极小值为，又，即当时，恒成立； ② 当时，令，则， 因为，所以，又， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得最大值（*）， 设，则， 由，得，由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 取,则，进而，即， 则由（*），， 即，则 则由可得， 由可得， 则在上单调递减，在上单调递增．恒成立． 综上，对，成立，即恒成立． 【分析】（1）利用导数法求出单调性，利用单调性得到函数极大值和极小值； （2）复合函数求导，对分为奇数和偶数讨论求解； （3）通过构造函数，利用导数法求函数最小值，得到构造函数的最小值，从而证得. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 因为或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，的极小值为， （2）因为，所以的定义域为，， 当为奇数时，为偶数，恒成立， 所以在定义域上单调递减. 当为偶数时，为奇数， ， ， 则在上单调递减，在上单调递增. （3）略. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期高三周练1 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设集合中的最大值与最小值分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知为自然对数的底数，均为大于1的实数，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，满足，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 10．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的图像关于直线对称 C．在上不具有单调性 D．若，则 11．已知曲线，点在上，为坐标原点，则（    ） A． B．的取值范围是 C．直线与有且仅有4个交点 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________ （参考数据：）． 13．函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 14．已知函数的图象关于直线对称，则______； 函数的最小值为 _________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分） 意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为， 已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； 16．（本题满分15分） （1）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集． 17．（本题满分15分） 已知函数的图象上有不重合的两点，． （1）若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； （2）若，设的中点为，求证： ． 18．（本题满分17分） 已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”． （1）证明：直线是函数的“上切线”； （2）若函数有“上切线”且有“下切线”，求的取值范围； （3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围． 19．（本题满分17分） 已知，函数，， （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：对，恒成立． 高三数学试卷 第1页，共2页 高三数学试卷 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $