导数与切线专题训练（求参数问题、在某点切线问题、过某点切线问题、公切线问题）-2026届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数几何意义为核心，构建从斜率计算到公切线问题的层级化方法体系，通过“知识梳理+解题思路”实现概念应用与逻辑推理的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求切线斜率及倾斜角|3题|导数几何意义直接求斜率|从导数定义到斜率计算，基础概念应用| |在某点的切线方程|4题|四步流程（求导→求斜率→求切点→写方程）|点在曲线上的切线方程构建，点斜式应用| |过某点的切线方程|3题|判位置→设切点→列方程→求切线|区分“在点”与“过点”，分类讨论思想| |公切线问题|2题|双切点设元→斜率与方程联立→解方程组|多曲线切线关系，方程同解思想应用|

导数与切线专题训练 一、求曲线的切线斜率及倾斜角 1、函数的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2、曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3、曲线在处的切线斜率为　 　. 二、在某点的切线方程问题 【方法点睛】 知识梳理 1.导数的几何意义：切线斜率 2.已知点在曲线上 3.切线方程点斜式（已知点和斜率使用） 解题思路 1.求导函数 2.求斜率代入得 3.求切点计算得到切点坐标 4.写方程代入点斜式整理为一般式或斜截式 说明： （1）若切线为水平直线若不存在切线为垂直直线 （2）计算后可代入验证切线方程是否正确 4、求曲线在点处的切线方程． 5、求曲线在点处的切线方程. 6、求曲线在处的切线方程. 7、已知函数满足，则求曲线在点处的切线方程. 三、过某点的切线方程问题 【方法点睛】 知识梳理 1.核心区别“过某点”的切线该点不一定是切点需分“点在曲线上”和“点在曲线外” 2.解题关键设切点利用导数表示斜率结合点斜式和已知点坐标列方程 解题思路 1.判位置判断已知点是否在曲线上 2.设切点若点在曲线外设切点为 3.列方程斜率切线方程为将代入解出 4.写方程代入求出斜率写出切线方程 8、求过点与曲线相切的直线方程． 9、已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 10、已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 四、公切线问题 【方法点睛】 知识梳理 1.公切线定义同时与两条曲线相切的直线 2.核心条件公切线在两个切点处的斜率相等且切线方程表示形式一致 解题思路 1.设切点分别设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为 2.表斜率与方程分别写出以及两条曲线的切线方程 3.列方程令两条切线方程的斜率和截距分别相等建立方程组 4.解方程组求出进而求出公切线方程 说明： （1）公切线问题的核心是“斜率相等”和“方程同解”两个条件缺一不可 （2）若两条曲线为二次函数可结合判别式法即切线与曲线联立后求解 （3）注意公切线的条数可能有1条、2条或多条需全面求解 11、已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则　 　． 12、若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（　　） A． B． C．1 D．e 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数与切线专题训练 一、求曲线的切线斜率及倾斜角 1、函数的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导，根据导数的几何意义，将代入即可得答案. 【解答过程】因为，所以，所以． 所以函数的图象在点处的切线的斜率为. 故选：C. 2、曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【解答过程】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 3、曲线在处的切线斜率为　 　. 【答案】3 【解析】【解答】解：曲线，求导可得，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3. 故答案为：3. 【分析】求导，将代入求值即可. 二、在某点的切线方程问题 【方法点睛】 知识梳理 1.导数的几何意义：切线斜率 2.已知点在曲线上 3.切线方程点斜式（已知点和斜率使用） 解题思路 1.求导函数 2.求斜率代入得 3.求切点计算得到切点坐标 4.写方程代入点斜式整理为一般式或斜截式 说明： （1）若切线为水平直线若不存在切线为垂直直线 （2）计算后可代入验证切线方程是否正确 4、求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率即可求解. 【详解】因为， 所以当时，，即切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为： 5、求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】 ，点在曲线上，，， 所以切线方程为， 即切线方程为. 6、求曲线在处的切线方程. 【答案】 【解析】【解答】解：当时，，切点为， 易知， 所以， 则所求的切线方程为，即． 故答案为：. 7、已知函数满足，则求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】求导后代入可得，即可得，从而可得，再利用导数的几何意义计算即可得. 【详解】，则， 即，故，则， 故曲线在点处的切线方程是， 化简得. 三、过某点的切线方程问题 【方法点睛】 知识梳理 1.核心区别“过某点”的切线该点不一定是切点需分“点在曲线上”和“点在曲线外” 2.解题关键设切点利用导数表示斜率结合点斜式和已知点坐标列方程 解题思路 1.判位置判断已知点是否在曲线上 2.设切点若点在曲线外设切点为 3.列方程斜率切线方程为将代入解出 4.写方程代入求出斜率写出切线方程 8、求过点与曲线相切的直线方程． 【答案】，． 【分析】设为切点，根据题意求出切线方程，再代入点和点求解和即可. 【详解】设为切点，则切线斜率为， 故切线方程为．① 在曲线上，．② 又在切线上， 将②式和代入①式得， 解得或， 或． 故所求的切线方程为和， 即和． 9、已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程. （2）分点为切点和不为切点两种情况讨论可求得函数的图像经过点的切线方程. 【详解】（1）由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. （2）①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 10、已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【解析】【分析】（1）先求导，则，再利用代入法得到的值，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程得出曲线在点处的切线方程. （2）设切点为，利用点斜式方程得出切线方程为，再结合点在直线上，则根据代入法列出方程得出的值，从而得出过点的切线方程. （1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 4、 公切线问题 【方法点睛】 知识梳理 1.公切线定义同时与两条曲线相切的直线 2.核心条件公切线在两个切点处的斜率相等且切线方程表示形式一致 解题思路 1.设切点分别设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为 2.表斜率与方程分别写出以及两条曲线的切线方程 3.列方程令两条切线方程的斜率和截距分别相等建立方程组 4.解方程组求出进而求出公切线方程 说明： （1）公切线问题的核心是“斜率相等”和“方程同解”两个条件缺一不可 （2）若两条曲线为二次函数可结合判别式法即切线与曲线联立后求解 （3）注意公切线的条数可能有1条、2条或多条需全面求解 11、已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点， 所以， 则，所以， 所以切线为， 又因为切线与曲线相切，设切点为， 因为， 所以切线斜率为，解得， 所以， 则， 解得. 故答案为：. 12、若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（　　） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【解析】【解答】解：设直线与的切点为 对求导，根据求导公式，得 由导数几何意义，切线斜率 又因为切点在切线上，代入得： ，把代入，化简后可求出，进而得 ，设直线（此时 ）与的切点为 对求导，根据求导公式，得 由导数几何意义，切线斜率① 又因为切点在切线上，代入得： ，化简得② 联立①②，把①中代入②，得，解得 把代入①，，解得 综上，实数的值为. 故答案为：B. 学科网（北京）股份有限公司 $