第三章 图形的相似高频易错题《典例全解·题型通关》（单元通关检测）2026-2027学年九年级上册数学（北师大版）

**基本信息** 本单元卷聚焦图形的相似，以高频易错题为主，融合文化情境与分层设计，适配新授课后单元通关检测，助力巩固相似判定、位似等核心知识，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|相似矩形判定（1）、相似三角形判定（3）、位似性质（9）|结合五星红旗（2）等文化情境，基础题占比60%| |填空|8|黄金分割（13）、动点相似（14）、折叠问题（15）|设置纸扇黄金分割（13）等生活应用，易错点突出| |解答|7|相似证明（19）、几何动态应用（21）、探究拓展（24）|分层设计，21题长方体旋转倾斜求水面高度考查空间观念，24题问题探究培养推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解：题型通关》 第三章图形的相似高频易错题（单元通关检测) 参考答案 1.B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答. 16.12 【详解】解：：128， ∴.甲和乙不相似； 1612 ·129,且甲和丙都是矩形，四个角都相等， .甲和丙相似： 吕 .乙和丙不相似： 故选：B 2.D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算 面积比. 【详解】解：，两面国旗相似，对应边的比等于相似比 ∴.两面国旗的相似比为192：144=4：3 又，相似多边形的面积比等于相似比的平方， .两面国旗的面积比为42：32=16：9. 3.C 【分析】己知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边 对应成比例即可. 【详解】解：.∠ABD=∠CBA, AB BC ∴.要证明。ABC6DBA需要满足BDAB, .AB2=BD·BC,故C符合题意： A、B、D中的条件结合现有条件无法证明△ABC∽aDBA. 4.C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到PA与AB的关系， 再代入AB的长度计算即可. 【详解】解：，点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB PA 5-1 ∴.AB2 又.AB=4 1=54=25-2 2 5.B 2133 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果 【详解】解：，alb‖c, AB DE .BC EF' AB =6cm,BC=3cm,DF=7.5cm, 6 DE ∴.37.5-DE' ∴.DE=5cm. 6.B AD AE AD AE 【分析】利用DE∥BC时，BDEC或ABAC,逐一判断即可. AD AE AD AE 【详解】解：当DE∥BC时，BDEC或ABAC,由此可得： A:.AD=3,AB=4, ∴BD=AB-AD=4-3=1, AD_3=3. AE1.83 BD-i=3,EC2.44, ,AD≠AE ∴.BDEC,故A错误； B:.AD=2BD, AD=2 :.BD AC=3CE, ∴.AE=2CE, 3133 AE=2 :.C AD AE .BDCE,故B正确； AD AE C:缺少AB或BD的长度，无法计算BD与CE的比值关系，无法判断，故C错误； D:由AB=2BD可知D为AB中点，但仅凭BC=2DE无法确定E点位置及比例关系，无法判 断，故D错误； 7.B 【分析】根据相似三角形求得对应边的比值关系，再根据边的比值关系，即可求得. 【详解】解：在菱形ABCD中，AB=AD,AB‖CD, .△DFH△AFB,△HDGP△BEG, DH DF HF DH HG .AB AF BF BE BG' AF 2 又.DF DH DF HF 1 AB AF-BF2 设AE=DF=x,则AF=BE=2x,AD=3x, :DH=14B=3x 3 2 2 DH HG 3 BE BG4 设HF=y,则BF=2y,BH=3y, :c=,8G=号 7y, 4133 HF 7 .BG12· 8.D .125 【分析】分0<1≤5和5<1≤12两种情况进行分析，用含，的式子表示。BDE的面积，根据面积 表达式判断函数图象. 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=5cm,BC=l2cm, .AC=AB2 BC2 =13cm ,12+13=125 :点E沿BC→CA到达A点需要2.4=123， 当0<t≤5，点D在AB上，点E在BC上， 此时BD=tcm,BE=2.4tcm, 则sDxc-×24=12ram， 2 函数图象为开口向上抛物线的一部分： 当5<1s125 12,点D与点A重合，点E在AC上， 此时8D=AB=5am,CE=(2.4-12)om,则4ME=13-CE=(25-24)cm 如图，过点E作EF⊥AB,连接BE, B C·∠AFE=∠ABC∠FAE=∠BAC ∴.△AFE∽△ABC 5/33 AE EF 25-2.4tEF :.AC=BC,即13 12, =12(25-2.4cm 5=4xr-方5号a5-2)-8(e5-2)m， 2 13 函数图象为从左向右逐渐降低的直线的一部分， 综上，选项D符合要求. 9.A 【分析】根据位似图形的性质可得ABCD∽A'B'CD',相似比为1：4，根据相似图形的面积比等 于相似比的平方即可得出答案. 【详解】解：，四边形ABCD和ABCD'是以点O为位似中心的位似图形，OB:OB'=1:4, ∴.ABCD∽aA'B'CD',相似比为l:4, ∴.四边形ABCD与四边形AB'CD'的面积比为12：42=1：16. 10.A 【分析】先求出CD:AB=2:1,则可判断线段CD和线段AB的位似比为2：1，根据关于以原点 为位似中心，对应点的坐标变换规律，把A点的横、纵坐标都乘以2得到C点坐标. 【详解】解：A)B(2,1) .AB=1 .CD=2 6133 .CD:AB=2:1 ”以原点O为位似中心，线段B在第一象限内的位似图形为线段C”, ·线 CD和线段1B的位似比为2：1， C 2:1 ·点C的坐标为 x21x2）,即22) 11.3 a-c 【分析】本题考查成比例线段的定义，若a,b,cd按顺序为成比例线段，则满足bd,代入已 知线段长度即可求解d. 【详解】解：a,b,c,d是成比例线段， bd’ 34 将a=3cm,b=2cm,c=4cm代入得2d, 交叉相乘得3d=8, 8 解得d-3cm 12.V5+1 【分析】本题主要考查了圆周角的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平 行线的判定以及相似三角形的判定与性质.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可 知EF=BF=FG=EK,从而得到角相等，∠EKF=∠EFK,∠FBG=∠FGB,利用平行线的判 定，求得EG∥AC,通过对应角的相等，求得△BEKACAK,△EFK∽aBEK,设 7133 EF=BF=FG=BK=1,利用三角形相似的性质求线段长度即可. 【详解】解：如图，连接BE, A 在 中， 为直径， C ⊙0 EC ∴.∠EBC=90° .EF=FG F为EC的中点， 在R1△BE 中， EF=BF=FG ∴.EF=BF=FG=EK ∴.∠EKF=∠EFK∠FBG=∠FGB AC=AB .∴.∠ABC=∠ACB 且∠FBG=∠ABC, ∴.∠FBG=∠FGB=∠ACB .EG∥AC ∴.∠CEG=∠ACK 8133 且：∠EKF=∠CKA, ∴.△EFKP△CAK “在0中，同弧所对的圆周角相等， ∴.∠BEC=∠KAC 且∠EKB=∠AKC, ∴.△BEKACAK .∴△EFK△BEK ∴.∠EKF=∠EKF∠EFK=∠BEK :∠EKF=∠EFK ∴.∠EKF=∠BEK .BE=KF 设EF=BF=FG=EK=I,在△EFK∽△BEK中， EK FK BK EK, BK=BF+FK EK FK 。 BF+FK EK' 1 FK 1+FK1’ ∴.FK+FK2=1 9133 K=5-1 解得 2或 K=-5+1 2（舍)， .'△BEKCAK .∠EKF=∠CKA∠EFK=∠CAK ,∠EKF=∠EFK ∴.∠CKA=∠CAK ∴.AC=KC :△BEKACAK EK BK ”AKCK, EK BK AK AC .AC=AB=AK+BF+FK BK=BF+KF EK BF+KF AKAK+BF+KF' 1 1+5-1 2 AK AK+1+5-1, 2 5+1xK=AK+5+1 2 AK=3+5 2， .AC∥FG 10/33 5-1,3+5 :CC=4FFK+k-2十2=5+1. BG BF BF 1 13.(10√5-10)(10+105) 5-1 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为2，结合图形判断出BC为较 长线段，代入AB的长度进行计算即可. 【详解】解：点C为线段AB的黄金分割点，且由图可知BC>AC ..BC 为较长线段 .BC=5-1AB 2 :AB=20 :BC=5×20-10w5-)-(05-10m. 2 14.3 AP BP AP BC 【分析】设AP=x,则BP=7-x,分两种情况：①当ADBC时；②当ADBP时；分别得出 x的方程，解方程得出AP的长，即可得出结论 【详解】，AD/BC,∠ABC=90°， .∠PAD+∠ABC=180°， ∴.∠PAD=90°， 设AP=x,则BP=7-x, 11/33 分两种情况： AP BP ①当AD=BC时， x 7-x 即26， 解行：子 AP BC ②当ADBP时， x 6 即27-x) 解得：x=3或4， 7 综上，当P=4或3或4时，APAD与APBC是相似三角形，共3个. 15.20 【分析】连接AD交EF于点O,由三线合一得BD=CD=BC=5,MD1BC: 由折叠的性质 可知，OA=OD,AE=DE,AF=DF,AD⊥EF,可得EF∥BC,由平行线分线段成比例求出 E=BE=B=54F=CF=DF=4C=5,再根据三角形中位线的性质求出F=8BC=5即可 2 求解. 【详解】解：如图，连接AD交EF于点O, 12/33 是等边三角形，边长为 C,△ABC 10 ∴.AB=BC=AC=10 “点P是BC边的中点 .BD=CD-BC=5,ADLBC. 由折叠的性质可知，OA=OD,AE=DE,AF=DF,AD⊥EF, ∴.EF∥BC, AE AFOA=1 .BE CF OD :AE-BE-]AB-5.AF-CF-DF-TAC=5, 2 2 F=5 ∴.四边形EBDF的周长=BD+DF+EF+BE=5+5+5+5=20 16,名 DF DE 【分析】连接EF,首先求出DM、DF的长，证明△DEF∽△DPC,可得DCDP,求出DE 即可. 【详解】解：如图，连接EF, 13/33 E 四边形 是正方形， A M B ABCD :AB=BC=CD=DA=2∠DAB=90°∠DCP=45° ∴.AM=BM=1 在Rt△ADM中， DM=AD2+AM2=5 :AM∥CD ∴.△MPAP△DPC AM MP 1 DC-PD 2' :Dp=25 3, PF= 6, DF=DP-PF-5 , .∠EDF=∠PDC∠DFE=∠DCP ∴△DEFn△DPC DF DE DC DP DE=5 61 14/33 +CE-CD-DE-2-5_7 66 1008 17. 2017 【分析】连接B、B、B,、B:点，显然它们共线且平行于AC,依题意可知△BCB是等腰直 角三角形，知道△BB,D,与△CAD相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出S,同理： 211 B,B,:AC,=1:2,所以B,D,:D,C,=1:2,所以S,=3×23,同样的道理，即可求出S,5,得 到答案. 【详解】解：：n+1个直角边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上， B 1 1 -S,aG=)×1x1= 2 2 连接B、B,、B,、B4点，显然它们共线且平行于AC ∠BCB2=90° .AB Il BC, BC,B是等腰直角三角形，且边长1， △B,B2D△CAD .BD:DC=1:1 1111 S=2×242x0+0, 15/33 同理：B,B:AC=1:2, .B2D2:D,C2=1:2 2112 ÷5,=5×232x(2+0, n S,=2n+) 2016 1008 S062×2016+)）2017, 则 18. （-4,-1) 【分】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答 案 【详解】解：1(2,2)C(8,2) .A'C'=8-2=6, ,△ABC与△A'B'C位似，位似中心是原点O, k=4C=31 AC62, C(82) c分2，c4 16/33 19.证明：0A=1,OB=1.5,OC=3,OD=2, .0A1_20D2 0B1.53,0C=3, OA OD .0BOC’ 又∠AOD=∠BOC, .∴△OADP△OBC 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可. 【详解】略 20.3 【分析】证明△ADE一△ABC,即可解答. 【详解】解：·DE∥BC, .·△ADE△ABC .DE AD 4 2 BC=AB4+23· 24 21.5米 【分析】设DE=x,则AD=8-x,由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE,再由 勾股定理求出CD,过点C作CF⊥BG于F,证明aCDE∽aCBF得到比例线段求得结果即可. 【详解】解：如图过点C作CF⊥BG于F,则∠DCF=∠BFC=90°， 17/33 D A 水面高度 B F G ② 设DE=米，则D=(8-利米， 根据慰意得：8-x+8)x3×3=3x3x6, 解得：x=4, :DE=4米， .∠E=90° 由勾股定理得： CD=VDE2+CE2=V42+32=5 ,LBCE=∠DCF=90° .∠DCE=∠BCF=90°-∠BCD .LDEC=LBFC=90° ∴.△CDE∽△CBF CE CD ∴.CFCB, 35 即CF8, cF-4米)， 24 答：水面的高度为5米 18/33 22.(1)AC=16 F 【分析】(I)根据平分得∠CBE=∠DBE,由等腰三角形的性质得∠ABE=∠AEB,可得 AD AB ∠ABD=∠C,即可证明△ABD∽AACB,得到AB=AC,求解AC即可； AD AF (2)由平行线的性质得到△ADF∽△ACB,有AC=AB代入求得AF,结合BF=AB-AF即可. 【详解】(1)解：：BE平分∠CBD, ∴.∠CBE=∠DBE, AE=AB, ∴.∠ABE=∠AEB, ∴.∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠C, ,∠DBE=∠CBE ∴.∠ABD=∠C, ∠A=∠A, ∴.△ABDn△ACB, AD AB .'AB AC' .AD=9 AB=12 912 .12AC) 19/33 EE/0Z (⑦图) -}----- -r 、 (①图) gD【易】 H 1zLa1=p-8=4a: LE=d ‘b 41_91. HV 6 I=9V 91=OY 6=OV.. .gy ov.. HVaV aOPv∽HqHv. ‘7=F7 ‘37=4qf7: Oa∥Ha.() :91=OV. B (图③) 【分析】(1)先观察线段AB的横向和纵向格数分别为3,3，交换横向和纵向数据后，再在 目标点C按正确方向画出新线段CP,其横向和纵向格数分别为3,3. (2)构造相似三角形△ADE∽△CDF,其相似比为2：3，即可把AC分成两段，AD:CD=2:3. (3)将AC沿水平方向移动两格到MN处，再在BC上取点T,过点T作AC的垂线TS交MN于 点F,则AC垂直平分TF,故FC=TC. 【详解】(1)解：如图①，取格点P,连接CP交AB于点H,线段CH即为所求作. (2)解：如图②，取格点E、F,AE=2,CF=3,连接EF交AC于点D,连接BD,点D即 为所求作. (3)解：如图③，连接MN、ST,交于F,连接CF,线段CF即为所求作. 24.(1)60°：2 DC (2)解：AM的值不变化，理由如下： 延长AD,BC交于点E, 21/33 M ,BD⊥AE, .∠ADB=∠EDB=90°， 又∠ABD=∠EBD,BD=BD, .△ABD≌△EBD(ASA) ∴AD=ED,即D是AE的中点， :AM⊥BC,DC⊥BC, .DC‖AM, ED EC AD MC' .'AD=ED, ∴.EC=MC,即点C是ME的中点， .DC是△AEM的中位线， :CD=号w,即2： DC 1 (3)1或4 CD=3 【分析】(I)由三角形内角和定理可得结论：过点D作DE⊥AB于点E,求出CD=2, 22/33 DC 1 AM=V5x可求出AM=2: DC (2)AM的值不变化，延长AD'BC交于点E,证明DC是△MBM的中位线，可得结论： (3)分m∠D8C-和m∠BDC=两种情况，分别求出BC.CD.BD.E以及AM的长，再由勾 股定理求出BM的长，根据CM=BC-BM和CM=BC+BM求解即可. 【详解】(1)解：BD平分∠ABC,∠ABC=60°， ∴.∠ABD=∠DBC=30°， ,BD⊥AD, ∴.∠ADB=90°， ∴.∠BAD=180°-90°-30°=60°， 过点D作DE⊥AB于点E, E D B M C .BD平分∠ABC,DC⊥BC, ∴.DC=DE, 在Rt△ADE中，∠BAD=60°， 23/33 设D=x,则AB=2x,BD=V5x,E=DE=VAD-AB=5x 2) CD=3 2, 在Rt△ABM中，∠ABM=60°， ∴.∠BAM=30°， BM =7AB-x AM=VAB2-BM=3x ∴.DC 2 -x1 (2)略 1 (3)解：当an∠DBC=2时， 设DC=k,则BC=2k, BD=DC+BC=5k .BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC, 又∠ADB=∠BCD=90°， ∴.△ABD∽aCBD, AB BD BDBC,即BD2=ABBC, 24/33 .AB=5, (5k=5-2k, 解得：k=2,k=0(舍去) 延长AD,BC交于点E, D 口口 MC 、 E 由(2)知BE=AB=5,DE=AD=V5, :'AE=AD+DE=25, 又2AE~BD=)BEAM、 2 4M=62025264 BE 5 ∴由勾股定理得BM=VAB-AM=V52-4平=3 ∴.CM=BC-BM=4-3=1: 当an∠BDC=2时，延长AD'BC交于点E' 25/33 】 B 同理可得BC=1,DC=2,BD=V5,AM=4, 由勾股定理得BM=VAB-AM=V5-4=3 ∴.CM=BC+BM=1+3=4: 综上，CM的长为1或4. 25.(1)OD=OE+CG (2)解：补全图形如下： A (1)中结论不成立，正确的结论是：OD=CG-OE. 证明如下： 如图，过点C作Cg1A0于点9. 26/33 ,OC平分∠AOB,CQ⊥AO,CD⊥OB, .CD=CQ」 在RtAQOC与RtADOC中， 「CQ=CD .0C=0C, :RQOC≌RaD0C(Hm) ∴.00=0D ,DE⊥OA,CG⊥DE,CQ⊥OA, ∴.∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°， .四边形CQEG是矩形， ..QE=CG, ∴.OD=O0=QE-OE=CG-OE CD 1 3 (3)0C2或2 【分析】(1)过点C作CP⊥AO于点P.根据“角平分线的性质”可得，CD=CP.证 27133 RtaPOC≌RtDOC(L),根据“全等三角形的性质”可得，OP=OD.再证四边形CPE6是矩 形，从而可得PE=CG,最后证得OD=OE+CG: (2)过点C作C01A0于点Q.根据“角平分线的性质”可得，CD=C0.证 Rt△QOC≌RtADOC(HL ,根据“全等三角形的性质”可得，O0=OD.再证四边形COEG是矩 形，从而可得QE=CG,最后证得OD=CG-OE; (3)分0°<∠AOB<90°和90°<∠AOB<180°两种情况进行讨论求解，先证 CD ACGFAOEF,再运用勾股定理求DE,证&DOEPACDG,最后求出OC, 【详解】(1)解：OD=OE+CG,理由如下： 如图，过点C作CP⊥AO于点P. B .OC平分∠AOB,CP⊥AO,CD⊥OB, ∴.CD=CP. 在RtAPOC与Rt△DOC中， CP=CD .0C=0C, 28/33 RtAPOCS≌Rt△DOC(HL) ∴.OP=OD. ,DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA, ∴.∠CPE=∠PEG=∠CGE=90°， ∴.四边形CPEG是矩形， .'.PE=CG, .OD=OP=PE+OE=CG+OE (2)略 (3)解：①如图，当0°<∠A0B<90°时， 力 B .CG⊥DE,DE⊥OA, .CG∥OE, ∴.∠GCF=∠EOF, .∠GFC=∠EFO, ∴.ACGFOAOEF, 29/33 CG GF ∴.OEEF, .EG=2EF, .GF=EF, CG GF ·OE-EF=l,即cG=OE, 由(1)可知，OD=OE+CG, ∴.OD=OE+CG=2OE, .OA⊥DE, ∴.∠DE0=90°， :.DE=VOD'-0E2=V20E)}-0E2=V30E .CD⊥OB, ∴.∠CDO=∠ODE+∠CDE=90°，' .CG⊥DE, ∴.∠CGD=90°， ∴.∠DCG+∠CDG=90°， ∴.∠ODE=∠DCG, .∠CGD=∠DE0=90°， ∴.△DOEACDG, 30/33 CE/IE 90=0惟‘g=招0 ‘Ha=9. ‘az=Dq. ‘a_30. 4990 ‘Ha0∽4HDD?: ‘407=907. ‘06=H907=H907: ‘F0TH9‘H9T90∴. ‘H081>a07>06宗‘☒r⑦ :z_00. 1a0 a0=(a0+,0D=00+.aD=00: ‘06=0☑07. ‘aDN=q0: .3000a0. 小=09aaa0 由(2)可知，OD=CG-OE, ∴.OD=CG-OE=2OE, .OA⊥DE, ∴.∠DEO=90°， DE=JOD-OE=(20E)-OE2 =0E CD⊥OB, ∴.∠CD0=90°， ∴.∠CDG+∠ODE=90°， .CG⊥DE, ∴.∠CGD=90°， ∴.∠DCG+∠CDG=90°， .∠ODE=∠DCG, .∠CGD=∠DEO=90°， ∴.△DOE∽aCDG, OD_DE 3OE3 .'CD CG 30E 3 .oncp 3 .∠CD0=90°， 32/33 ce/ce ·乙海乙D0丁將 趴IaD ：700. Eao a2 r:0a0+a=30: 40-2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第三章 图形的相似高频易错题（单元通关检测） 一、选择题 1．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 2．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 4．若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 5．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 6．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 7．如图，点E，点F分别在菱形的边，上，且，交于点G，延长交的延长线于H，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，动点，同时从点出发，点由到以的速度向终点作匀速运动，点沿以的速度向终点作匀速运动，那么的面积与点运动的时间之间的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则端点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 12．如图，内接于，，连接并延长，交于点，交于点，在上取一点，连接，交于点，若，则______． 13．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 14．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 15．如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 16．如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______． 17．如图所示，个直角边长为的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设的面积为，的面积为，，的面积为，则______． 18．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 三、解答题 19．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 20．如图，在中，，分别与相交于点D，E．若，，则的值为多少？ 21．如图①，将长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图．求图②中水面的高度． 22．已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 23．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画的高CH； (2)在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； (3)在图③中的外部画一点F，使，且． 24．在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为，的度数为． (1)[问题解决]如图1，若，则的度数为________，的值为_________； (2)[问题探究]如图2，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； (3)[拓展延伸]若，中有一锐角的正切值为，请直接写出线段的长． 25．在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 (1)如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $