精品解析：江西赣州市石城县赣源中学2026届⾼三下学期艺体班高考冲刺（二）数学试题

2026年赣源中学高三下学期数学艺体班高考冲刺卷（二） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 8. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错得得0分． 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 10. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若定义在上的奇函数满足时，，则________． 13. 的展开式中的系数为___________. 14. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：克）服从正态分布．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有________件． 附：若服从正态分布，则，． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 17. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 18. 设函数（）满足恒成立. （1）求的值； （2）求证：. 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年赣源中学高三下学期数学艺体班高考冲刺卷（二） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数满足，即， 化简可得， 所以复数的模为. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 3. 已知等差数列，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 4. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断即可. 【详解】由得，等价于，解得， 要满足题干条件，应判断选项集合是否为题干解集的真子集， 因为是的真子集， 所以使“”成立的一个充分不必要条件是“”， 故选：B. 5. 已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值. 【详解】， . 故选：A 7. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 8. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立a、c关系求解离心率． 【详解】设椭圆左焦点为，连接， 由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错得得0分． 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差、可判断选项ABC；对于选项D举反例即可. 【详解】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为， 新数据为， 则新数据的极差为， 因此新数据与原数据的极差相同，故A正确； 原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确； 原数据的方差为， 新数据的方差为， ， 则新数据与原数据的方差相同，故C错误； 不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数， 新数据为，则新数据的中位数为2， 则新数据与原数据的中位数不同，故D错误. 故选：AB 10. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】结合空间线面位置关系的判定定理判断即可. 【详解】选项A.若，，，则或与相交，错误. 选项B.因为，，所以直线是平面的一条法线，直线是平面的一条法线， 又因为，因此平面，正确. 选项C.由，所以平面内存在直线满足；又，因此. 因为，所以；又因为，根据面面垂直的判定定理，所以，正确. 选项D.若，，，则或与相交，错误. 11. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若定义在上的奇函数满足时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质求出a， 再利用函数的奇偶性及题中所给解析式进行求解. 【详解】由题意知，解得， 因为，所以． 故答案为： 13. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】由通项公式可得，即的系数为. 故答案为：. 14. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：克）服从正态分布．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有________件． 附：若服从正态分布，则，． 【答案】8186 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出，从而估计出质量在内的产品数． 【详解】由题意得服从正态分布，，， 且正态曲线关于直线对称， 可得， ， 所以. 故质量在内的产品估计有件． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到； （2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ，所以， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得， 所以. 16. 如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和线面垂直的性质，进而证明面面垂直； （2）建立直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用两个法向量夹角的余弦公式计算平面夹角的余弦值 【小问1详解】 如图，取的中点，连接． 因为，，，， 所以，，所以四边形是正方形， 所以，．在中，， 则在中，，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，． 又因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 17. 2025年世界人工智能大会于2025年7月26日至28日在上海市举行，大会号召“共商技术创新路线，共促技术成果赋能”.某企业的AI产品销售部门统计了1～5月份的销售量（单位：万件）： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y 3 5 6 9 12 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）该企业科研部门从1月份与4月份的客户中分别随机抽取2位客户和6位客户进行电话回访，科研部门的工作人员甲从这8位客户中随机抽取2位进行回访，记甲回访客户中1月份的客户人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法可求回归直线方程； （2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式可求数学期望. 【小问1详解】 ，，， ， ， 故y关于x的经验回归方程为. 【小问2详解】 X的取值可能为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 则. 18. 设函数（）满足恒成立. （1）求的值； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知恒成立，故； 又 ， 所以，， 故，即. 【解析】 【分析】（1）由于，恒成立即恒成立，，从而得到(必要条件)，然后再验证当时，通过导数求得函数最小值，再证明（充分条件）； （2）利用第一问可知，把不等式转化为证明不等式. 【小问1详解】 由于，所以，恒成立即恒成立，处取最小值， ，故由（必要条件）； 验证充分性：当时，；令，得， 令，得，令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即恒成立. 综上所述， 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件列方程求可得结论； （2）分析相切条件并建立参数关系，再利用三角形面积公式得到关于的方程，进而求解参数的值. 【小问1详解】 由短轴长，得. 由，得，解得. 所以的方程为 【小问2详解】 联立，得， 整理得. 由题意知，，则，化简得. 设，由根与系数的关系可知， ，即， 所以， 所以直线的方程为， 令，得，令，得. 的面积， 整理得，解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $