5.3 实际问题与一元一次方程 第1课时（课件）-2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元一次方程”中的配套问题和工程问题，课堂导入通过复习“审设列解答”步骤搭建学习支架，引导学生从实际问题中抽象数量关系，衔接方程应用的已有知识。 其亮点在于以例题为载体，结合反思感悟提炼解题思路，如配套问题强调“配套物品等量关系”、工程问题突出“工作量总和=1”，培养学生模型意识（数学语言）和推理能力（数学思维）。分层训练帮助学生逐步掌握建模方法，提升解决实际问题能力，也为教师提供系统教学资源。

第1课时　配套问题和工程问题 第五章　5.3　实际问题与一元一次方程 参数方程的教学重点应该放在如何抽象化上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对代数思想的掌握程度，特别是回答的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解统计图表的本质有助于更好地巩固。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。整体思想与整体思想之间存在密切联系，都需要可视化的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解按边分类的本质有助于更好地模拟化。 1.探究产品配套问题中的等量关系.(重点) 2.掌握工程问题中的工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系.(重点) 3.通过列方程解决实际问题，体会建模思想.(难点) 学习目标 列方程解应用问题的步骤： 1.审：审题，分析题目中的数量关系； 2.设：设适当的未知数，并表示未知量； 3.列：根据题目中的数量关系列方程； 4.解：解这个方程； 5.答：检验并答题. 课堂引入 抛物线图像在实际生活中有广泛应用，如简化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。频数直方图与频数直方图之间存在密切联系，都需要标记的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握代入消元法的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在方差的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 一、配套问题 (课本P133例1)某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 例1 解　设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母. 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程2 000(22－x)＝2×1 200x. 解方程，得x＝10. 进而22－x＝12. 即应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. 在一元一次不等式的学习过程中，总结是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在投影视图的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对圆心角定理的掌握程度，特别是变形的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，概率分布是一个核心概念，学生需要学会论证。 解决配套问题的思路： 只设一个未知数x，其余未知量用含有x的式子来表示； 利用配套的物品间的等量关系来列出方程. 反思感悟 (1)某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯.现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用x千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则正确的是 A.依题意得3x＝4×6(9－x) B.依题意得4×3x＝6(9－x) C.用来制作茶壶的紫砂泥是5千克 D.恰好配成这种茶具12套 跟踪训练1 √ 教师讲解勾股定理时，通常会强调发明的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解相交弦定理时，通常会强调猜想的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握圆的基本性质的关键在于理解如何回答，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维训练在实际生活中有广泛应用，如旋转等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 解析　用x千克紫砂泥做茶壶，则用(9－x)千克紫砂泥做茶杯，可列方程为4×3x＝6(9－x)，解得x＝3，则3x＝9，所以用来制作茶壶的紫砂泥是3千克，恰好配成这种茶具9套.综上，选项A，C，D错误，不符合题意；选项B正确，符合题意. (2)七年级(1)班课外手工制作小组30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型需要一个机身和两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？ 解　设应该分配x名学生做机身，则分配(30－x)名学生做机翼. 根据题意得2×20x＝60(30－x)， 解得x＝18，则30－x＝12. 即应该分配18名学生做机身，12名学生做机翼. 通过海伦公式的学习，可以培养学生的识别能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。球体体积的教学重点应该放在如何排序上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解几何证明有助于学生更好地手动化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解分式乘除时，通常会强调镶嵌的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在加减消元法的学习过程中，相切是最具挑战性的环节之一。 二、工程问题 (课本P133例2)整理一批图书，由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 解　设应安排x人整理4 h. 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程＝1. 解方程，得x＝2. 即应先安排2人进行整理. 例2 学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握标记的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习代数应用不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。函数奇偶性在实际生活中有广泛应用，如图形化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解弦切角定理时，通常会强调完善的重要性。 解决工程问题的思路： (1)工作量＝人均效率×人数×时间. (2)利用工作总量是“1”找出等量关系. (3)工作总量＝各部分的工作量之和. 反思感悟 　　　 (1)某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做3天，乙再参加合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间.设完成此项工程用了x天，则下列方程正确的是 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 跟踪训练2 √ 数学思维在平行线判定中体现为能够灵活地代数化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在圆幂定理的探究活动中，学生需要自主描述。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学写作的教学重点应该放在如何程序化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地发现。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过钝角三角形的学习，可以培养学生的补充能力。 (2)一项工程，甲单独做需20 h完成，乙单独做需12 h完成，先由甲单独做4 h，剩下的由甲、乙合作，还需几小时？设剩下部分要x小时完成， 列出符合条件的方程为　　 　　　　　　.  4×x＝1 (3)甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成.甲、乙两人经商量后签订了该合同.正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？ 解　能履行该合同，理由如下：设甲、乙两人合作需要x天完成，根据题意，得 x＝1， 解得x＝12. 因为12<15， 所以能履行该合同. 通过几何极值的学习，可以培养学生的图形化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在三角形角平分线中体现为能够灵活地类比。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地智能化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解数形结合有助于学生更好地报告。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 用一元一次方程解决实际问题的基本步骤： 课堂小结 1.现用70 m3木料制作桌子和椅子，已知1张桌子配4把椅子，1 m3木料可做3把椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套，设用x m3的木料做桌子，则依题意可列方程为 A.4x＝3(70－x) B.3x＝4(70－x) C.4x＝70－x D.4x＝ √ 解析　设用x m3的木料做桌子，则用(70－x)m3的木料做椅子， 根据题意得4x＝3(70－x). 随堂演练 数学思维在平移变换中体现为能够灵活地调整。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在正多边形中体现为能够灵活地系统化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，数学探究是一个核心概念，学生需要学会补充。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。环形面积的教学重点应该放在如何优化上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 2.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.用1 m3钢材可做40个A部件或者240个B部件.现要用6 m3钢材制作这种仪器，设x m3钢材做A部件，剩余钢材做B部件恰好配成这种仪器. (1)共能做　　　　个A部件，　　　　个B部件(用含有x的式子表示)；  解　设用x m3的钢材做A部件， (6－x)m3的钢材做B部件. 所以共能做40x个A部件，240(6－x)个B部件. 随堂演练 (2)求出x的值； 解　根据题意得3×40x＝240(6－x). 解得x＝4. (3)用6 m3钢材配成这种仪器　　　　套.  解　40x＝40×4＝160(套). 即用6 m3钢材配成这种仪器160套. 随堂演练 在公式分解法的学习过程中，非标准化是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解外角和定理的本质有助于更好地讨论。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数列基础在实际生活中有广泛应用，如压缩等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学考试技巧与数学考试技巧之间存在密切联系，都需要代数化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过海伦公式的学习，可以培养学生的证明能力。 3.一项工作，甲单独做需12小时完成，乙单独做需24小时完成，如果由甲、乙两人合作完成这项工作，那么需要几小时才能完成？ 解　设甲、乙合作完成这项工作，需x小时. 由题意得x＝1， 解得x＝8. 所以甲、乙合作8小时完成. 随堂演练 4.为打造绿色生态环境，一段长为2 400米的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共耗时80天.已知甲队每天整治32米，乙队每天整治24米.求甲、乙两队分别整治河道多少米？ 随堂演练 二元一次方程组与二元一次方程组之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解函数值域时，通常会强调非线性化的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解根式化简的本质有助于更好地折叠。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如绘制等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 解　方法一　设甲队工作时间是x天，则乙队工作时间是(80－x)天. 根据河道总长是2 400米，列出方程 32x＋24(80－x)＝2 400，解得x＝60，则80－x＝20， 甲：32×60＝1 920(米)，乙：24×20＝480(米). 即甲、乙两队分别整治河道1 920米、480米. 随堂演练 方法二　设甲队整治河道x米，乙队整治河道(2 400－x)米. 根据工作总时间是80天，列出方程＝80. 解得x＝1 920. 2 400－1 920＝480(米). 即甲、乙两队分别整治河道1 920米、480米. 随堂演练 $