第12讲 函数与方程【8个核心题型归纳】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程核心考点，涵盖零点定义、判定定理、个数判断、参数范围等高考高频题型，按“基础定义—核心题型—综合应用”逻辑架构知识体系。通过教材知识梳理、方法技巧提炼、真题例题精讲及分层练习，帮助学生系统突破函数零点问题难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“题型归类+方法建模”教学策略，如零点个数判断中通过换元转化为二次方程根的问题，结合数形结合法培养学生逻辑推理与直观想象能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合易错提醒与实战真题，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第12讲 函数与方程 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材知识分析】 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与__轴_______有交点⇔函数有_零点________． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 2．用二分法求函数零点近似值的步骤： 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的____中点________. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若(此时)，则就是函数的零点; （ii）若(此时零点)，则令_______; （iii）若(此时零点)，则令________. （iiii）判断是否达到精确度：若________，则得到零点近似值(或)，否则重复第（ii）至(iiii)步. 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 零点所在区间的判断 核心知识 1零点定义函数的零点是方程的实数根等价于函数图像与轴交点的横坐标 2零点存在定理若在上连续且则在区间内至少存在1个零点 3补充结论无法判定区间内有无零点 方法技巧 代入区间端点数值计算端点函数值符号利用零点存在定理判定 分段函数分段代入逐个检验各分段区间端点符号 数形辅助粗略画出函数图像观察图像跨轴的区间 易错提醒零点存在定理只能判定至少一个零点不能确定零点具体数量 【经典例题1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【题型2】 判断零点的个数（已知函数型） 核心知识 1方程实根个数=与轴交点个数 2单调性推论区间上单调连续函数至多1个零点 方法技巧 数形转化法拆分为零点等价于与图像交点 单调性分析法求导或利用复合函数同增异减划分单调区间每个单调区间结合端点符号判零点 特殊值定位代入正负特殊点锁定零点分布区间 【经典例题1】（25-26高一下·辽宁·期中）曲线与在区间上的交点个数为______． 【经典例题2】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数的零点个数为______. 【巩固练习1】（25-26高一下·上海宝山·期中）定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江台州·开学考试）函数的零点有_________个. 【巩固练习3】（25-26高一上·河南商丘·期末）函数的零点个数为___________． 【题型3】 判断零点的个数（换元及一元二次函数型） 核心知识 1换元思想令原函数转化为关于的一元二次方程 2二次方程根的判定两个不等实根一个实根无实根 3零点转化每一个符合范围的反向解得到原方程的个数 方法技巧 解题三步 1换元设求出新元的取值范围 2解关于的二次方程筛选落在取值内的根 3对每一个有效结合单调性计算对应的数量再汇总 易错点换元必标注范围舍去超出值域的根 【经典例题1】（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是______个. 【经典例题2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，则函数的零点个数为__________. 【巩固练习1】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数，关于的方程的解的个数可能是________. 【巩固练习2】（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是___________ 【巩固练习3】（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型4】 判断零点的个数（嵌套函数型） 核心知识 1复合零点是的实数根 2分层逻辑先解外层得到若干再逐个解方程统计解数 方法技巧 分层拆解步骤 1令先解方程得到全部的取值 2针对每一个结合定义域单调性图像判断解的个数 3全部解数相加即为原函数零点总数 图像速判画出图像数水平线与图像交点总数 【经典例题1】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 【经典例题2】（24-25高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【巩固练习1】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为__________. 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为______． 【巩固练习3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则函数的零点个数为______． 【题型5】 由零点个数求参数范围 核心知识 1含参零点转化变形为参数分离零点个数等价于与交点数 2二次含参结合判别式根的分布区间端点函数值列不等式 方法技巧 参变分离法把参数单独放一侧求右侧函数值域与图像由水平线交点个数定参数 分类讨论法二次函数分开口方向对称轴位置结合区间零点条件列式 数形结合固定不含参函数图像平移含参直线/曲线临界位置对应参数边界 【经典例题1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 【经典例题2】（25-26高二上·云南昆明·期中）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·河北唐山·期中）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·广东韶关·期中）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6】 比较零点的大小 核心知识 1零点即方程的根零点大小等价于对应方程实根的大小 2单调函数零点唯一可借助中间值分段界定零点范围 方法技巧 区间锁定法分别把各个零点限定在不同整数区间再由区间范围比大小 构造函数法把零点代入原式利用函数单调性反向判断自变量大小 图像法在同一坐标系画出对应函数由交点横坐标直观比较 【经典例题1】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型7】 求零点的和 核心知识 1二次函数韦达定理两根之和 2对称型函数若函数关于对称成对零点之和为 方法技巧 二次结构直接套用韦达定理求和 轴对称函数找对称轴成对零点利用对称性求和单独零点等于对称轴横坐标 换元复合型先算根的和再结合对称性求零点和 【经典例题1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数与恰有三个交点，，，则 （   ） A． B．0 C．3 D．与a的取值有关 【经典例题2】（25-26高一下·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【巩固练习1】（25-26高三·全国·二轮复习）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【巩固练习3】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【题型8】 函数的性质和零点的综合应用 核心知识 1综合考点融合奇偶性周期性单调性对称性搭配零点 2周期推论周期为的函数已知一个零点每隔出现同类型零点 方法技巧 先用奇偶/周期/对称推导零点之间的关系式拓展零点数量 结合单调性划分区间限定零点分布范围 数形结合利用周期性复制图像快速统计零点或求解参数 分步拆解先化简函数性质再转化零点方程逐步求解 【经典例题1】（2026·河北保定·模拟预测）（多选）已知函数 且满足，，若的图象与直线有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标依次为 则下列说法正确的是（    ） A．实数t的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值是 D．若f(x)在上的值域为，则的最大值为4 【经典例题2】（2026·江苏扬州·三模）（多选）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（     ）． A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【巩固练习1】（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）（多选）已知函数且， ，则（   ） A． B．的值可能为 C．的取值范围是 D．关于x的方程至多有13个不同的根 【巩固练习2】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）（多选）已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．最大值为 【巩固练习3】（2026·河北沧州·一模）设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． 【巩固练习4】（25-26高三下·天津·阶段检测）若关于 的方程 恰有三个不同的实数解 ，其中 ，且， 的值为_____. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽淮北·期末）函数是由图像向左平移，横坐标变为原来的变换得到，则与函数的交点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川德阳·三模）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·三模）定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数所有零点之和为0. B．若函数有三个零点，则 C．当时， D．函数在上为增函数 5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西萍乡·二模）已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 10．（2026·陕西延安·三模）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 三、填空题 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 12．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 13．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是________． 14．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 15．（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 16．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 17．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______. 18．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 四、解答题 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求实数a的值； (2)当时， （ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （ⅱ）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第12讲 函数与方程 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材知识分析】 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与__轴_______有交点⇔函数有_零点________． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 2．用二分法求函数零点近似值的步骤： 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的____中点________. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若(此时)，则就是函数的零点; （ii）若(此时零点)，则令_______; （iii）若(此时零点)，则令________. （iiii）判断是否达到精确度：若________，则得到零点近似值(或)，否则重复第（ii）至(iiii)步. 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 零点所在区间的判断 核心知识 1零点定义函数的零点是方程的实数根等价于函数图像与轴交点的横坐标 2零点存在定理若在上连续且则在区间内至少存在1个零点 3补充结论无法判定区间内有无零点 方法技巧 代入区间端点数值计算端点函数值符号利用零点存在定理判定 分段函数分段代入逐个检验各分段区间端点符号 数形辅助粗略画出函数图像观察图像跨轴的区间 易错提醒零点存在定理只能判定至少一个零点不能确定零点具体数量 【经典例题1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理，分析计算，即可得答案. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，， 所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为． 故选：B 【经典例题2】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 【巩固练习1】（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用零点存在定理及对数函数值计算求解. 【详解】因为，所以，，， 又因为单调递增， 所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：C. 【巩固练习2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零点所在区间及零点的近似值. 【详解】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 【题型2】 判断零点的个数（已知函数型） 核心知识 1方程实根个数=与轴交点个数 2单调性推论区间上单调连续函数至多1个零点 方法技巧 数形转化法拆分为零点等价于与图像交点 单调性分析法求导或利用复合函数同增异减划分单调区间每个单调区间结合端点符号判零点 特殊值定位代入正负特殊点锁定零点分布区间 【经典例题1】（25-26高一下·辽宁·期中）曲线与在区间上的交点个数为______． 【答案】2 【分析】在同一坐标系中作出两曲线在区间上的图象，利用数形结合法求解. 【详解】列表： x 0 0 0 3 在同一坐标系中作出与在区间上的图象， 如图所示： 由图象知；曲线与在区间上有2个交点． 【经典例题2】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数的零点个数为______. 【答案】1 【分析】先判断函数在上单调递增，再根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 【巩固练习1】（25-26高一下·上海宝山·期中）定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 【答案】6 【详解】因为，，所以与均为偶函数， 所以只需先研究上的交点， 当时，，由，得， 整理得，解得或， 当，时，解得或，共2个解； 当，时，解为，共1个解. 所以当时，函数与的图象有3个交点； 所以由偶函数对称性，上也有3个交点。 所以函数与的图象的交点个数为6. 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江台州·开学考试）函数的零点有_________个. 【答案】2 【分析】通过判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数零点的个数；或令，则或.求解可得方程的解，即函数的零点，从而得到其零点个数. 【详解】方法一：由，得： 当时，. 此时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在上有一个零点，在上没有零点. 当时，， 所以在上单调递增. 又，所以在上有一个零点. 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 方法二：令，则或. 对于， 由，得， 因为，所以； 对于， 由，得，所以，所以，满足. 所以. 综上，方程的解为和. 所以函数的零点有个. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·河南商丘·期末）函数的零点个数为___________． 【答案】2 【分析】函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．画出函数图象，数形结合，可得答案． 【详解】函数的零点个数即为函数与图象的交点个数． 在同一坐标系中画出函数与图象如下图所示    由图象可知函数有两个零点． 故答案为：2. 【题型3】 判断零点的个数（换元及一元二次函数型） 核心知识 1换元思想令原函数转化为关于的一元二次方程 2二次方程根的判定两个不等实根一个实根无实根 3零点转化每一个符合范围的反向解得到原方程的个数 方法技巧 解题三步 1换元设求出新元的取值范围 2解关于的二次方程筛选落在取值内的根 3对每一个有效结合单调性计算对应的数量再汇总 易错点换元必标注范围舍去超出值域的根 【经典例题1】（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是______个. 【答案】3 【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案. 【详解】，则由题、是方程的两根， 所以可得或． 函数定义域为R，因为， 所以时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数草图如图所示： 由图象可知有2个解，有1个解， 因此的不同实根个数为3. 故答案为：3． 【经典例题2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，则函数的零点个数为__________. 【答案】5 【分析】根据给定条件可得或，再分段求解即可. 【详解】由，得或， 当时，或，解得或或； 当时，或，解得或， 所以函数的零点个数为5. 故答案为：5 【巩固练习1】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数，关于的方程的解的个数可能是________. 【答案】 【分析】令，方程转化为，再根据判别式分析二次方程根的个数，再结合分段函数得出方程的解的个数情况. 【详解】函数的图像如下：    令，则，则， 当时，即，或，方程无解， 即无解； 当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个， 当时，即，，，则， 故，， 当时，则有两解， 当时，若，则有三解，若，则有两解， 故方程解的个数为4或5个， 综上方程解的个数可能为个. 故答案为：. 【巩固练习2】（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是___________ 【答案】5 【分析】求出或2，分别求出和时的解，得到答案. 【详解】或2， 当时，若，则，无解， 若，，故或，解得或， 当时，若，则，解得， 若，，故或，解得或， 所以方程的解的个数有5个. 故答案为：5 【巩固练习3】（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求导后转化为方程根的问题，再结合题意求出方程的不同实根个数. 【详解】，且，是极值点， 则，故 令，则方程即为 ，解得或， 因此原方程等价于，．示意图如下，可得实根个数为4． 【题型4】 判断零点的个数（嵌套函数型） 核心知识 1复合零点是的实数根 2分层逻辑先解外层得到若干再逐个解方程统计解数 方法技巧 分层拆解步骤 1令先解方程得到全部的取值 2针对每一个结合定义域单调性图像判断解的个数 3全部解数相加即为原函数零点总数 图像速判画出图像数水平线与图像交点总数 【经典例题1】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 【答案】 【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题. 【详解】函数的定义域为，由，得， 所以函数是偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，上单调递减， 又为偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又时，，所以的值域为． 令，则，由 ，得， 因为，所以，画出与的图象如图所示， 所以在区间有唯一零点， 令，,函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4． 【经典例题2】（24-25高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【答案】 4 【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可. 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点. 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 故实数m的取值范围为； 对于方程，设，则有， 依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题. 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 【巩固练习1】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为__________. 【答案】 【分析】解方程，即可得出函数的零点个数. 【详解】令，令，即， 当时，由，解得或； 当时，由，解得. 当时，由，可得，，该方程无解， 由，可得，解得， 由，可得，解得或； 当时，由，解得， 由，解得， 由，解得. 综上所述，函数的零点构成的集合为. 故函数的零点个数为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】3 【分析】先根据的分段函数和对应的定义域，求出的解析式和对应的定义域，然后分别讨论不同定义域下其函数的零点个数即可. 【详解】因为， 所以①当时，，此时， 因为，当，即时，， 当时，时，， 即. ②当时，，此时. 因为，当时，即时，； 当时，即时，； 即. 综上，. 时，令，解得，此时有一个零点； 时，，此时无零点； 时，令，解得，此时有一个零点； 时，令，解得，此时有一个零点. 所以共有3个零点. 故答案为：3. 【巩固练习3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】 【分析】计算可得，令，求解，可得的所有可能取值，再分类讨论，求出所有符合要求的的值即可得. 【详解】， 令，则令， 则当时，则，解得， 由，故舍去，故； 当时，，解得或； 即有三解，分别为、与； 而， 由时，， 则当时，与无解， 由时，， 则当时，无解； 当，令，即，解得或； 当时，令，即，解得； 令，即，解得， 由，故舍去，故； 综上可得，函数的零点有：、、、. 故答案为：. 【题型5】 由零点个数求参数范围 核心知识 1含参零点转化变形为参数分离零点个数等价于与交点数 2二次含参结合判别式根的分布区间端点函数值列不等式 方法技巧 参变分离法把参数单独放一侧求右侧函数值域与图像由水平线交点个数定参数 分类讨论法二次函数分开口方向对称轴位置结合区间零点条件列式 数形结合固定不含参函数图像平移含参直线/曲线临界位置对应参数边界 【经典例题1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解. 【详解】法一：当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且，的图象如图所示， 令，，即， 由有个不等解等价于有两根， 其中一根，另一根， 根据韦达定理，，，则，， ，由，所以． 法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根， 所以， 由①得，则， 将④代入②得：⑤ 又由③得⑥， 由⑤⑥可知，所以. 故答案为：． 【经典例题2】（25-26高二上·云南昆明·期中）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是定义在上的偶函数，且，得的周期为， 当时，，故当时，， 因此在一个周期内的值域为． 函数在区间内有个不同零点， 等价于与的图象在内有个不同交点， 结合的周期性与图象可知，满足且，解得． 【巩固练习1】（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数，求导，利用导数分析函数单调性和极值点；分析在区间内的单调性和关键点，作出函数图象，结合图象得出有3个零点的a的取值范围． 【详解】当时，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故是的极小值点，即为最小值点，， 且； 当时，， ， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故函数的图象如下： 已知函数有3个零点，由图象可知， 当时，有3个交点； 当时，有3个交点； 综上，实数a的取值范围是． 【巩固练习2】（25-26高二下·河北唐山·期中）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，利用导数研究的单调性和极值，然后确定的取值范围. 【详解】，. 当时，，在上单调递增，此时最多只有一个零点，不符合题意. 当时，令，得 极大值 极小值 当. 要使函数有三个不同的零点，则，解得. 综上，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（25-26高二下·广东韶关·期中）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，分析函数的单调性，作出函数的图象，解方程得或，数形结合求出结果. 【详解】易得． 当或时，，在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减． ．作出的图象，如图所示． 方程可化为，得或． 因为，所以且，解得．    【题型6】 比较零点的大小 核心知识 1零点即方程的根零点大小等价于对应方程实根的大小 2单调函数零点唯一可借助中间值分段界定零点范围 方法技巧 区间锁定法分别把各个零点限定在不同整数区间再由区间范围比大小 构造函数法把零点代入原式利用函数单调性反向判断自变量大小 图像法在同一坐标系画出对应函数由交点横坐标直观比较 【经典例题1】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 【经典例题2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 【巩固练习1】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 【巩固练习2】（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    【巩固练习3】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 【题型7】 求零点的和 核心知识 1二次函数韦达定理两根之和 2对称型函数若函数关于对称成对零点之和为 方法技巧 二次结构直接套用韦达定理求和 轴对称函数找对称轴成对零点利用对称性求和单独零点等于对称轴横坐标 换元复合型先算根的和再结合对称性求零点和 【经典例题1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数与恰有三个交点，，，则 （   ） A． B．0 C．3 D．与a的取值有关 【答案】C 【分析】分析可知函数，均关于点对称，结合函数对称性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，， 可知函数，的定义域为， 又因为， 且， 可知函数，均关于点对称，且， 不妨设，可知点即为，点，关于点对称， 则，， 所以. 【经典例题2】（25-26高一下·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 【巩固练习1】（25-26高三·全国·二轮复习）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称且， 故，故，所以， 所以，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，， 又方程的根即与的交点横坐标， 而直线的斜率为，， 故的图像与直线在有且只有一个交点， 又，， 结合的周期性和对称性，在同一坐标系中画出的图像和直线， 如图： 两函数共有个交点，并且关于点对称，故所有根之和为. 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 【巩固练习3】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合导数确定函数的单调性及零点个数，再利用对称性求出零点和. 【详解】函数，由，得或， 而，则， 即是函数图象的对称中心，， 函数在上单调递减，而在上单调递增， 则函数在上单调递减，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，当从大于2的方向趋近于2时，， ，则函数在上有唯一零点， 由对称性知函数在有唯一零点，两个零点和为2， 所以函数的零点之和为2. 故选：B 【题型8】 函数的性质和零点的综合应用 核心知识 1综合考点融合奇偶性周期性单调性对称性搭配零点 2周期推论周期为的函数已知一个零点每隔出现同类型零点 方法技巧 先用奇偶/周期/对称推导零点之间的关系式拓展零点数量 结合单调性划分区间限定零点分布范围 数形结合利用周期性复制图像快速统计零点或求解参数 分步拆解先化简函数性质再转化零点方程逐步求解 【经典例题1】（2026·河北保定·模拟预测）（多选）已知函数 且满足，，若的图象与直线有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标依次为 则下列说法正确的是（    ） A．实数t的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值是 D．若f(x)在上的值域为，则的最大值为4 【答案】BCD 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，并作出函数的图像，从而得到及的范围可判断A;，利用根与系数的关系结合的范围可得的范围可判断B；通过利用的关系消元得到，利用的范围求最大值可判断C；的单调性及极值点结合函数的图像求得的最大值可判断D. 【详解】由得, ，， ,解得 ,. 令得或. 令，解得：，所以的单调递减区间为； 令，解得：，或，所以的单调递增区间为，； 由于，， 令，解得：或； 令，解得：或，作出函数的大致图象如下： 对于A，由函数的图像与直线交于不同的三点， 得，即的取值范围是,故A不正确； 对于B，由图像知:. 令，则的三个根分别为， 则 所以， 由于，所以，即的取值范围是，故B正确； 对于C，， 因为，所以， 因为， 所以当时，，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以时，；时，, 所以由在上的值域为，得. 所以， 当时，取到最大值，故D正确. 【经典例题2】（2026·江苏扬州·三模）（多选）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（     ）． A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】结合图像得出方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，根据方程和求出，再逐个选项进行判断. 【详解】画出函数的图像： 设，即方程有三个不同的实根， 由于在上单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，， 令， 结合图像可知，方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根， 即当且仅当，且， ， 再考虑方程和，注意， 或或， 因为，所以， 对于A，， 所以，A正确； 对于B，，， 令，则，当时，， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以，B正确； 对于C，，因为，所以单调递增， 因为，所以无最小值，C错误； 对于D，在上单调递增， 所以，所以的最大值为，D错误. 【巩固练习1】（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）（多选）已知函数且， ，则（   ） A． B．的值可能为 C．的取值范围是 D．关于x的方程至多有13个不同的根 【答案】ACD 【详解】对于A，的图象如图所示.由图可知，，A正确. 对于B，由图可知，，， 则，，当且仅当，时，等号成立. 因为，所以，B错误. 对于C，设，则.由，得，得， 因为，，所以的取值范围是，C正确. 对于D，令，则至多有5个不同的根，此时，有5个不同的根. 设这5个不同的根从小到大分别为，，，，，则. 由图可知，均有5个不同的根，，，均有1个根， 所以关于x的方程至多有13个不同的根，D正确. 【巩固练习2】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）（多选）已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．最大值为 【答案】ABD 【分析】做出函数图象，即可得的取值范围，然后求出方程的四个实数根，逐项分析即可. 【详解】做出函数图象： 由图象可知：，故A正确； 对于B：，所以， 即， 所以，， 所以，故B正确； 对于C：因为满足，所以， 所以，因为，所以，则，故C错误； 对于D： ， 当且仅当时，等号成立，此时取到最大值，故D正确. 【点睛】通过分段函数把方程的根拆分到两段函数中分别求解，再借助换元法求值或均值不等式求最值. 【巩固练习3】（2026·河北沧州·一模）设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． 【答案】16 【分析】将函数有三个不同的零点转化为方程有三个不同的实根，可得，令，整理得关于的一元二次方程，设方程的两根为，，由韦达定理得，再由导数研究的单调性和最值，结合方程只有两个实数根，可知，即，，进而可求目标式的值. 【详解】由有三个不同的零点， 有三个不同的实根， 即有三个不同的实根， 令，则， 整理得，设方程的两根为，，所以， 且， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值，当时，，故， 当时，，故，当时，， 因为方程只有两个根，，且，则， 所以必有一个解，必有两个解，且， 即，， 故. 【巩固练习4】（25-26高三下·天津·阶段检测）若关于 的方程 恰有三个不同的实数解 ，其中 ，且， 的值为_____. 【答案】1 【分析】由，可得.令，则或.由，得.此方程有两个不等实根，所以其中一根必为或.根据韦达定理可得另一根，代回，可求出，从而得到的值. 【详解】由，可得， 所以，即， 即. 所以恰有三个不同的实数解. 令， 当时，；当时，. 所以或. 由，得，即. . 设方程的两个实根为，且有一个根为或. 若，则，解得. 因为，所以. 由，得，解得； 由，得，即，解得,. 所以. 若，则，方程无解. 综上所述，. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽淮北·期末）函数是由图像向左平移，横坐标变为原来的变换得到，则与函数的交点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】求出变换后的函数解析式，再根据两者的图像可判断交点的个数. 【详解】由图像变换可得， 当时，，故在为增函数， 当时，，故在为减函数， 当时，，故在为增函数， 当时，，故在为减函数， 设，则， ，， ， 而当时，， 在同一个坐标系中画出两个函数图像知有4个交点，由图可得两个函数的图像有4个交点. 2．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，，， ， ，； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点； 当时，与没有交点，即当时，与没有交点； 当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点； 当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点； 综上所述：当时，函数的零点个数为个. 3．（2026·四川德阳·三模）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过导数判断函数单调性，再代入特殊点（如 ）判断函数值符号，结合单调性确定零点所在区间，最后比较区间得出大小关系即可. 【详解】已知的零点为 ， 则 ，因为对于任意实数 ， 都有 ，所以 ， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，又因为 单调递增，且 ， 所以其零点 必定在 的左侧，即 . 已知的零点为 ， 因为函数 的定义域为 ，且 ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以函数 在定义域上是单调递增的， 则， 又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧， 又因为定义域要求 ，所以 . 已知的零点为， 则，因为对于任意实数， 都有，所以，即， 所以函数 在定义域 上是单调递增的， 则，因为 单调递增且 ， 所以 是函数 的唯一零点，故 . 由以上知，，，故 . 4．（2026·湖南长沙·三模）定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数所有零点之和为0. B．若函数有三个零点，则 C．当时， D．函数在上为增函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性，分段函数图象与性质函数的零点以及函数单调性逐项分析即可. 【详解】选项A， 当时，， ①当时，令 ，解得：或，均满足题意， ②当时，令 ，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为， 所以函数所有零点之和为 ，故 A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令 ， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以 ，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 6．（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 7．（2025·江西萍乡·二模）已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据对称性（点对称、轴对称）可得到的周期，进而可得在上的图象，由函数与方程知识可知方程的解的个数即对应的两个函数图象的交点个数. 【详解】方程在区间上解的个数，等价于函数在区间上的图象的交点个数. 因为是定义在上的奇函数， 所以的图象关于原点对称，且. 又的图象关于直线对称，所以，所以， 所以，所以，所以的周期为4. 当时，，所以， 当时，，所以在上单调递减， 根据的对称性、周期性、单调性可知当时，， 在上的图象，如图： 对于，最小正周期为，结合正弦曲线可得在区间上的图象， 由图可知在区间上的图象的交点个数为11（与x轴有4个交点，与曲线有7个交点）， 即方程在区间上解的个数为11. 8．（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与曲线的交点，整理可得， 而，， 所以方程无实根，交点个数为个．故A正确． 二、多选题 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 10．（2026·陕西延安·三模）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用对数函数及正弦函数的性质可以画出函数图象，结合图象分析逐个选项分析即可. 【详解】对A，画出函数的图象，如图所示，因为函数有4个零点，即有4个解， 也即直线与图象有4个交点，所以，所以A错误； 对B，因为有4个零点，，，，且， 所以零点位置如图所示，因为，结合图象可知，两零点关于直线对称，所以，B正确； 对C，时，或， 解得或， 对，令，则，则由图可知， 所以， 因为函数在单调递增，所以，故C正确： 对D，，是方程的两个解，且，所以，，所以，， 令，所以，， 令，，根据对勾函数的性质，该函数在上单调递增， 所以，所以的取值范围为，所以D错误. 三、填空题 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 12．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 13．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围. 【详解】当时，，求导得， 所以在上单调递增，最大值为. 当时，. 当时，；当时，， 画出的图象如下： 因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题. 由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意. 故答案为：. 14．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，作出图像，利用方程与函数的关系，进行计算，可得答案. 【详解】由题意可得：当时，即. 当时，，解方程： 得，取. 当时，. 所以当，的两个零点:和. 所以零点之和为：. 要使函数有三个零点，图象有三个交，根据图像可得： 时，图象有三个交点，即函数有三个零点， 15．（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 16．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先分析函数的图象与取值范围，结合方程及的根的个数，方程的根的分布要求，确定的取值范围，分析条件求解参数的取值范围； 【详解】当时，是开口向下的抛物线，对称轴， 顶点为，此时， 当时，， 若，则单调递减，且， 若，则单调递增且， 根据原方程的根的结构， 设，则原方程变为①， 原方程的根的个数由的取值及的根的个数共同决定， 的根的个数分析如下： 当时，若在有1个根；若在有2个根； 若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 当时，若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 若原方程有8个根，需满足①有两个不同的正根（否则根的总个数不是8个）， 对于每个的根的个数之和为4，结合的根的个数， 要使的根的个数为4个，需，此时当时，有2个根， 当时，有2个根，共4个根， 方程①，令， 需满足，解得， 故答案为：. 17．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______. 【答案】 【分析】由函数有四个零点得到函数与的图形有四个交点，由图可知，由四个零点从左至右为，得到和，从中计算出的值及，解出，代入，利用对勾函数求解即可得解. 【详解】函数有四个零点， 表示与有四个交点，由图可知， ， ， ，， ，，， 在单调递增， 所以. 故答案为：，. 18．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 【答案】 【分析】把函数零点问题转化成方程根的问题，利用韦达定理和判别式讨论的取值范围，进而求解4个零点之和的取值范围． 【详解】函数的零点即的解，，且时， ，所以方程的解必定为整数解，， 当时，方程为，即①； 当时，方程为，即②； 要使有4个不同零点，需两个二次方程各有2个不同的正实根，且满足符号条件， 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 综上可得，当时，两个二次方程各有2个不同的正实根，且无公共根， 有4个不同的零点， 方程①的两根之和为，方程②的两根之和为， 所有零点之和为， ， ，故所有零点之和的取值范围为． 四、解答题 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式恒成立利用基本不等式计算可得， （2）利用方程有根并根据对勾函数性质，求出函数在上的值域即可. 【详解】（1）由可得， 因此， 又易知，当且仅当，即时，等号成立； 所以满足即可，解得， 因此实数的取值范围为. （2）由可得， 所以，即； 令，则，即， 易知函数在上单调递增，所以可得. 因此实数的取值范围为. 20．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求实数a的值； (2)当时， （ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （ⅱ）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用偶函数的定义即可求解； （2）（ⅰ）转化为证明即可； （ⅱ）利用将问题转化为在区间上有两个不相等的实数根，利用二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）为偶函数，，， 即对任意的实数恒成立，. （2）（ⅰ）时，，定义域为， 而， ∴的图象关于点对称. （ⅱ）因为是增函数，也是增函数， 所以函数是单调增函数. 由（ⅰ）知，函数的图象关于点对称，所以由得： 即， 所以在区间上有两个不相等的实数根， ∴，解得. 所以实数m的取值范围是. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $