第11讲 函数的图像及其图像变换【8个核心题型归纳】讲义-2027届高考数学一轮复习题型全归纳

该高中数学讲义聚焦函数图像及其变换高考核心考点，涵盖由解析式确定图像（无参数/含参数）、由图像确定解析式、图像变换、实际应用等8大题型，按“解析式→图像→性质→应用”逻辑架构知识体系，通过核心知识梳理、方法技巧提炼、真题例题精讲、分层巩固练习四环节，帮助学生系统突破图像分析难点。 资料突出数学眼光与数学思维培养，如“四步排除法”引导学生观察定义域、奇偶性等图像特征，分类讨论含参数问题发展逻辑推理能力。设计“作图法研究最值与交点”专题，结合经典例题与梯度练习，确保高效复习，助力学生提升图像问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第11讲 函数的图像及其图像变换 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 由已知的函数解析式确定函数的图像（无参数型） 核心知识 1基本初等函数图像特征一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三角函数的标准图像 2关键性质定义域值域单调性奇偶性过定点渐近线特殊点（零点最值点） 3复合函数图像分析同增异减判断单调性利用奇偶性判断对称性 方法技巧 四步排除法先看定义域排除再看奇偶性再看单调性最后看特殊点 特殊点验证代入等简单值快速判断函数值符号与大小 趋势判断当或时函数的极限趋势辅助确定图像走向 易错提醒注意函数的间断点定义域边界的空心/实心点 【经典例题1】（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·海南儋州·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·天津南开·期中）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型2】 由已知的函数解析式确定函数的图像（含参数型） 核心知识 1参数对图像的影响如中决定开口方向与大小影响对称轴位置决定与轴交点 2含参指数/对数函数中参数对过定点渐近线单调性的影响 3含参三角函数中参数对振幅周期相位上下平移的影响 方法技巧 分类讨论法按参数的取值范围分情况讨论如与与 定点法先找不受参数影响的定点快速锁定图像位置 极限法分析参数取特殊值（如）时的图像辅助判断趋势 符号分析利用参数的正负判断函数的单调性开口方向与坐标轴交点 【经典例题1】（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2027高三·全国·专题练习）（多选）（多选）下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江·期中）（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2023·福建泉州·模拟预测）（多选）（多选）函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 由已知函数的图像确定函数的解析式 核心知识 1待定系数法设出对应函数的一般形式代入图像上的点求解参数 2常见形式一次函数二次函数或顶点式指数/对数函数三角函数 3关键信息提取图像上的特殊点（零点顶点与坐标轴交点）周期振幅渐近线 方法技巧 步骤先判断函数类型设出解析式再提取关键信息列方程求解参数 二次函数优先用顶点式已知顶点时计算更简便 指数/对数函数利用过定点渐近线求参数 三角函数利用周期求振幅求过点求 【经典例题1】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型4】 函数的图像实际应用 【经典例题1】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【题型5】 函数的平移伸缩对称翻折变换 图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 函数图象的变换 横线处填_______ 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【巩固练习1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【巩固练习2】（2025高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【巩固练习3】（24-25高三·全国·一轮复习）分别作出下列函数的图象： (1)； (2)． 【题型6】 作图法研究函数的最值 核心知识 1适用场景分段函数复合函数含绝对值函数无法直接用代数方法求最值的函数 2核心原理函数的最值对应图像上的最高点或最低点 方法技巧 作图步骤求定义域化简函数画关键部分（分段/翻折/变换）找最高点最低点 分段函数分别画出各段图像再比较各段的最值 含绝对值函数先去绝对值分段或直接用翻折变换画图 易错提醒注意区间端点的空心/实心点最值是否能取到 【经典例题1】（25-26高一下·湖南长沙·期末），用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值． 【经典例题2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若，则的取值范围是____________. 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 【巩固练习2】（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数（为常数）．若存在最小值，则的一个取值为__________；若存在实数，使得方程恰有三个实数根，则的取值范围是__________． 【巩固练习3】（25-26高一上·北京·期末）函数表示中的较小者，若，则下列说法正确的有_________________ ①.的最大值为4                 ②.在区间上单调递减 ③.的图象关于直线对称      ④.方程有3个不等实根 【题型7】 作图法研究函数的交点个数问题 核心知识 1适用场景方程的解的个数等价于函数与的图像交点个数 2核心思路将方程问题转化为图像交点问题通过画图直观判断交点个数 方法技巧 步骤移项使方程两边为两个熟悉的函数分别画出两个函数的图像数交点个数 技巧优先选择图像简单的函数作为固定函数复杂函数单独分析 注意特殊点如等位置的交点以及渐近线附近的交点情况 分类讨论含参数函数按参数范围分情况画图判断交点个数 【经典例题1】（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【经典例题2】（25-26高二上·广东·期末）设函数若有4个不相等的实根，则的取值范围为________. 【巩固练习1】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，方程有四个不等实根，且，则的取值范围是___________；___________. 【巩固练习2】（2026·广东深圳·模拟预测）函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标记作，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】 函数的周期性与类周期性问题 核心知识 1周期函数定义若存在非零常数使得对定义域内任意都有则为函数的周期 2常见周期函数三角函数如周期周期 3类周期性如等可推导函数的周期 4周期性与图像关系函数图像每隔一个周期重复出现 方法技巧 周期推导技巧利用的变形推导周期如可推出周期为4 图像法判断画出函数在一个周期内的图像再向左右平移复制得到完整图像 交点问题利用周期性只需分析一个周期内的情况再乘以周期数 易错点注意函数的定义域周期必须在定义域内恒成立 【经典例题1】（25-26高二上·云南昆明·期中）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【巩固练习1】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习3】（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若关于的方程在区间上共有6个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·海南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 12．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 13．（2025·山东济南·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且当时，，则（    ） A． B．当时，曲线与x轴围成的面积小于1 C．若函数（，且）恰有6个零点，则 D．若，且，则的最大值为2 14．（23-24高一上·河南开封·期中）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 15．（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（23-24高一上·福建·期中）定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 18．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    19．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为________． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第11讲 函数的图像及其图像变换 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 由已知的函数解析式确定函数的图像（无参数型） 核心知识 1基本初等函数图像特征一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三角函数的标准图像 2关键性质定义域值域单调性奇偶性过定点渐近线特殊点（零点最值点） 3复合函数图像分析同增异减判断单调性利用奇偶性判断对称性 方法技巧 四步排除法先看定义域排除再看奇偶性再看单调性最后看特殊点 特殊点验证代入等简单值快速判断函数值符号与大小 趋势判断当或时函数的极限趋势辅助确定图像走向 易错提醒注意函数的间断点定义域边界的空心/实心点 【经典例题1】（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD. 【详解】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 【经典例题2】（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，排除C、D选项，再由，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D项； 当时，令，即，即， 可得，解得， 即时，，所以B选项符合题意. 【巩固练习1】（2026·海南儋州·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 【巩固练习2】（25-26高二下·天津南开·期中）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解. 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时，，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 【题型2】 由已知的函数解析式确定函数的图像（含参数型） 核心知识 1参数对图像的影响如中决定开口方向与大小影响对称轴位置决定与轴交点 2含参指数/对数函数中参数对过定点渐近线单调性的影响 3含参三角函数中参数对振幅周期相位上下平移的影响 方法技巧 分类讨论法按参数的取值范围分情况讨论如与与 定点法先找不受参数影响的定点快速锁定图像位置 极限法分析参数取特殊值（如）时的图像辅助判断趋势 符号分析利用参数的正负判断函数的单调性开口方向与坐标轴交点 【经典例题1】（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求导可得，分类讨论的取值情况，得出函数对应的单调性，结合选项即可求解. 【详解】因为，所以． 当时，，可能是A中的图象； 当时，恒成立， 所以在上单调递增，可能是B中的图象； 当时，令，得或，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 可能是C中的图象，但不可能是D中的图象． 【经典例题2】（2027高三·全国·专题练习）（多选）（多选）下列可能是函数（其中的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据各选项图象的对称性、定义域和截距等特征，分析参数的可能取值，判断是否存在满足条件的函数解析式. 【详解】A选项中的图象关于轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，，，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选：BCD． 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江·期中）（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由特殊情况时可判断ACD符合；对于B可假设图象成立，推出矛盾排除. 【详解】. 当时，，定义域为R，则为偶函数， 当时，由对勾函数以及复合函数单调性可得单调递减，且，故A符合； 当时，，定义域， ，则为奇函数， 当时，由复合函数单调性可得单调递减，且，故C符合； 当时，，由指数函数性质可得D符合； 对于B选项，由于图象恒在轴上方可得恒成立， 则分母恒正，则定义域为，与图像矛盾，故B错误； 故选：ACD. 【巩固练习2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据的定义域，可排除；求导讨论不同值对应的函数的单调性，判断选项. 【详解】的定义域为，所以选项错误； ， 当时，在恒成立，所以单调递增， 且当时，，，所以，所以图象可能是选项 当时，，此时图象可能是选项； 当时，因为与都是增函数，所以也是增函数， 令，则，设方程的根为，即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 若，显然，则，所以图象可能是选项； 故选：. 【巩固练习3】（2023·福建泉州·模拟预测）（多选）（多选）函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数函数的定义域可得函数定义域为，分类讨论，，时，利用导函数分析函数单调性，结合奇偶性，逐项判断即可. 【详解】因为，所以，解得， 故定义域为. 又，， 因为时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增. 当时，，此时为奇函数，故选项B正确； 当时，，易知其图象为选项D，故选项D正确. 当时，由，得， 又因为，所以， 即时，，单调递增；时，，单调递减， 综上可知，在区间上不严格单调递减，故选项A不正确； 当时，，此时为偶函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C正确. 故选：BCD. 【题型3】 由已知函数的图像确定函数的解析式 核心知识 1待定系数法设出对应函数的一般形式代入图像上的点求解参数 2常见形式一次函数二次函数或顶点式指数/对数函数三角函数 3关键信息提取图像上的特殊点（零点顶点与坐标轴交点）周期振幅渐近线 方法技巧 步骤先判断函数类型设出解析式再提取关键信息列方程求解参数 二次函数优先用顶点式已知顶点时计算更简便 指数/对数函数利用过定点渐近线求参数 三角函数利用周期求振幅求过点求 【经典例题1】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 【经典例题2】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 【巩固练习1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知，是奇函数，且， 选项A：，，不符合； 选项B：，导数是奇函数，且，符合； 选项C：，定义域为R， 且， 所以是偶函数， 不符合； 选项D：，在上恒大于0，不符合． 【巩固练习2】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得： ；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 【巩固练习3】（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法可得正确选项. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 因为定义域为，不符合题意，故排除B选项； 因为， 所以是偶函数，不符合题意，故排除C选项； 因为，故不符合题意，故排除D选项； 因为，， 所以定义域为，为奇函数，且， 故的解析式可能为，A符合题意. 【题型4】 函数的图像实际应用 【经典例题1】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 【经典例题2】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【巩固练习1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，设等边的边长为，求得，令，其中，结合导数，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意. 故选：C. 【巩固练习2】（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 【巩固练习3】（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解． 【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间， 高度的变化较大，即较大， 到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大． 故选：D． 【题型5】 函数的平移伸缩对称翻折变换 图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 函数图象的变换 横线处填_______ 【答案】，，，，，，，，轴，轴，原点，轴下方，右，轴 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 【经典例题2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可； （2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可； （3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可. 【详解】（1）先作出的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象， 如下： （2）先作出的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下： （3）同上先作出，将图象向右平移一个单位得到的图象， 再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得， 如下： 【巩固练习1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由二次函数图象，根据函数图象的翻折变换，可得答案； （2）由指数函数的图象以及分段函数图象，根据函数图象的平移变换，可得答案. 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示： （2），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到，而， 其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则的图象如图所示： 【巩固练习2】（2025高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）化简可得，根据函数图象的平移规律即可得其图象； （2）根据图象的翻折变换得到图象； （3）根据图象的翻折变换得到的图象，再由平移变换得解. 【详解】（1）原函数解析式可化为， 所以函数图象可由函数上的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． （2）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到， 如图所示． （3），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 所以的图象如图所示． 【巩固练习3】（24-25高三·全国·一轮复习）分别作出下列函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）当时，与的图象完全相同，利用基本函数的图象，将时的图象沿着y轴翻折，即可得出结论． （2）将函数变形为，作出y＝的图象，结合图象变换，即可得出结论． 【详解】（1）当时，与的图象完全相同， 又为偶函数，图象关于轴对称，其图象如图1．    （2）， 故函数的图象可由的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图2所示. 【题型6】 作图法研究函数的最值 核心知识 1适用场景分段函数复合函数含绝对值函数无法直接用代数方法求最值的函数 2核心原理函数的最值对应图像上的最高点或最低点 方法技巧 作图步骤求定义域化简函数画关键部分（分段/翻折/变换）找最高点最低点 分段函数分别画出各段图像再比较各段的最值 含绝对值函数先去绝对值分段或直接用翻折变换画图 易错提醒注意区间端点的空心/实心点最值是否能取到 【经典例题1】（25-26高一下·湖南长沙·期末），用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值． 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果. 【详解】令，， 由得，整理可得，解得或， 作出函数、图象如下， 由图象可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，当时，函数的最大值. 故答案为：. 【经典例题2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解. 【详解】设直线与相切， 由图象可知， 两方程联立消去得：， 因为直线与抛物线相切，故 即， 作出及切线的图象，如图，    由图象可知，当时，成立. 故答案为： 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 【答案】 【分析】利用函数的定义画出图像即可得到最值. 【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数与函数， 令，解得或. 由函数的定义，结合两函数图象，可知，， 由图可知，函数的最小值为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数（为常数）．若存在最小值，则的一个取值为__________；若存在实数，使得方程恰有三个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 0（不唯一） 【分析】根据分段函数解析式取特殊值可使函数有最小值，分类讨论作出函数图象可求满足条件的取值范围. 【详解】因为时有最小值， 所以当时，有最小值，满足题意； 此时的图象为：    不存在实数，使得方程恰有三个实数根； 当时，时单调递减， 此时的图象为：    由图可知时，存在实数，使得方程恰有三个实数根； 当时，时单调递增， 此时的图象为：    由图可知不存在实数，使得方程恰有三个实数根 综上，的取值范围是. 故答案为：0（不唯一）； 【巩固练习3】（25-26高一上·北京·期末）函数表示中的较小者，若，则下列说法正确的有_________________ ①.的最大值为4                 ②.在区间上单调递减 ③.的图象关于直线对称      ④.方程有3个不等实根 【答案】②④ 【分析】根据题意作出的图象，结合函数图象逐项分析判断即可. 【详解】因为， 作出的图象（图中实线部分），如图所示： 对于选项①：无最大值，故①错误； 对于选项②：在区间上单调递减，故②正确； 对于选项③：的图象不关于直线对称，故③错误； 对于选项④：因为与有3个交点，所以方程有3个不等实根，故④正确； 故选：②④. 【题型7】 作图法研究函数的交点个数问题 核心知识 1适用场景方程的解的个数等价于函数与的图像交点个数 2核心思路将方程问题转化为图像交点问题通过画图直观判断交点个数 方法技巧 步骤移项使方程两边为两个熟悉的函数分别画出两个函数的图像数交点个数 技巧优先选择图像简单的函数作为固定函数复杂函数单独分析 注意特殊点如等位置的交点以及渐近线附近的交点情况 分类讨论含参数函数按参数范围分情况画图判断交点个数 【经典例题1】（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】D 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 【经典例题2】（25-26高二上·广东·期末）设函数若有4个不相等的实根，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由对数函数及二次函数图象作出函数的大致图象，由图象即可知答案. 【详解】当时，，∴， 当时，函数单调递增，∴， 当时，函数单调递减，， 当时，函数单调递增，， 画出的大致图象，如图所示.易得的取值范围为.    故答案为：. 【巩固练习1】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，方程有四个不等实根，且，则的取值范围是___________；___________. 【答案】 【分析】画出函数图象，利用函数的图象与的交点个数可求得的取值范围，根据对称性以及对数运算法则结合单调性可求得表达式的值. 【详解】由函数解析式可画出函数图象如下： 根据题意可知函数的图象与有4个交点，结合图象可知； 即的取值范围是； 因为，所以在抛物线上， 因此关于对称，所以； 又，在函数上，所以， 可得，即，可得，所以； 因此. 故答案为：； 【巩固练习2】（2026·广东深圳·模拟预测）函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标记作，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像，利用函数的图像的对称性求得所有交点的横坐标之和. 【详解】，与函数都关于点对称， 在同一个直角坐标系中分别画出它们的图像的示意图， ，，所以， 又，，，， 又函数，与函数为连续函数， 结合函数图像可知在上函数与函数有2个交点， 由图像可知在上函数与函数有两个交点， 所以函数与函数在上有4个交点， 结合两函数关于点对称，可得在上两函数共有8个交点，则 故选：D. 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画图确定函数有四个零点时m的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出和，最后通过换元法求取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图： 因为有四个零点，所以， 因为，， 所以，即，所以， 则， 因为是方程的根，即的根， 所以， 又，所以， 令，则， 令，则， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 【题型8】 函数的周期性与类周期性问题 核心知识 1周期函数定义若存在非零常数使得对定义域内任意都有则为函数的周期 2常见周期函数三角函数如周期周期 3类周期性如等可推导函数的周期 4周期性与图像关系函数图像每隔一个周期重复出现 方法技巧 周期推导技巧利用的变形推导周期如可推出周期为4 图像法判断画出函数在一个周期内的图像再向左右平移复制得到完整图像 交点问题利用周期性只需分析一个周期内的情况再乘以周期数 易错点注意函数的定义域周期必须在定义域内恒成立 【经典例题1】（25-26高二上·云南昆明·期中）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是定义在上的偶函数，且，得的周期为， 当时，，故当时，， 因此在一个周期内的值域为． 函数在区间内有个不同零点， 等价于与的图象在内有个不同交点， 结合的周期性与图象可知，满足且，解得． 【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 【巩固练习1】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①；由数形结合判断②③，借助图象归纳规律可判断④. 【详解】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，； 依次类推，作出函数的图像： 对于①：函数有4个零点，即与有4个交点， 如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间， 又因为，，所以，故①正确； 对于②：令，则，且， 当，时，与均有2个交点， 当时，与有1个交点， 所以有个交点，故②正确； 对于③：对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确； 对于④：当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形， 所以函数的图象与x轴围成的图形的面积为，故④正确； 综上所述：所有正确结论的个数为4. 【巩固练习3】（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若关于的方程在区间上共有6个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出区间上的表达式，并作出函数图象，再将方程有根问题转化为函数交点问题，结合图象求解即可. 【详解】由得. 当时，；； 设，则，所以； 设，则，所以； 设时，则，所以； 画出的函数图象，如图， 由，可得， 所以或. 由图可知，与有四个不同的交点， 即方程有四个不等的实根， 而方程在区间上共有6个实根， 所以方程有两个实根，即与有两个交点， 由图可知，即的取值范围是. 故选：A 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性判断AB，再由函数在时的符号判断CD. 【详解】因为的定义域为， 且， 所以函数是奇函数，故AB错误； 当时，，又因为，所以，则， 所以当 时，，即 轴右侧附近的图象应在 轴下方， 排除选项D，选项C符合. 2．（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可． 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 3．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断. 【详解】定义域为，且， 故为奇函数，可排除C； 又，可排除A、D； 故函数的大致图象为B. 4．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 5．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 6．（2026·四川南充·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 7．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 9．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当时，单调递增，且， 画出的图象如下： 方程恰有2个实根，即与有2个交点， 则，则实数的取值范围是. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式作出函数的图象，然后根据已知条件确定，最后将所求表达式构造新函数，根据函数的单调性求出范围即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示，设， 所以，解得：，， 解得：，， 所以，， 令，则在上单调递减，则，即， 令，则在上单调递增，则， 所以，则， 所以，则. 故选：B． 11．（2025·海南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】因为，所以， 从而可得，所以函数是以2为周期的周期函数， 当时，，可得； 当时，，由，可得， 所以，从而可得， 所以，在上有：， 又，且的定义域为， 当时，作出两函数的图象，如图， 由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，作出两函数的图象，如图， 结合函数的周期性可知，两函数的图象在上没有交点；在，，，上均有2个交点；在上有1个交点， 要使的图象与曲线，且恰有10个交点，由图可知，只需，解得. 故选：C. 12．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解. 【详解】由得，解得或， 画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，） 故选：D. 二、多选题 13．（2025·山东济南·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且当时，，则（    ） A． B．当时，曲线与x轴围成的面积小于1 C．若函数（，且）恰有6个零点，则 D．若，且，则的最大值为2 【答案】AC 【分析】整理题干中的等式，可得函数的周期性，对于A，利用函数周期性，结合题干中易知函数解析式，可得其正误；对于B，利用函数周期性，可得函数在上的解析式，并可作图，易知所求图形面积与图象相同，根据函数图象的变换，利用割补法，可得其正误；对于C，根据题目作图，结合图象建立方程，可得其正误；对于D，由题意建立方程，根据基本不等式，可得其正误. 【详解】由，则，所以函数的周期为， 对于A，，故A正确； 对于B，由，即，则， 由，则， 由，则函数在上的图象与在上的图象相同，如下图：    由图易知左侧曲线关于轴对称，向右平移个单位，向左平移个单位，可与右侧曲线重合， 则当时，曲线与轴围成的图形的面积为，故B错误； 对于C，当时，由题意可作图如下：    由图可知，解得， 当时，只有一个解，不符合题意，故C正确； 对于D，由题意可知，整理可得， 当且仅当，等号成立，可得不等式，解得， 由，解得，符合题意，故D错误. 故选：AC. 14．（23-24高一上·河南开封·期中）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 【答案】BC 【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项A，B；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项C，D. 【详解】由，，，， 可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A正确，B错误； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确. 故选：BC. 15．（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 16．（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象． 【详解】令，得， ，令，得， 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，，，递减， ，，递增，故D正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递增，时，，递减， 时，，递减，故B正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，时，，递增， 时，，递增，故C错误； 若，，，且时，恒成立， 时，，递增，，，递增， ，，递减，故A错误； 综上，A,C错误，B,D正确． 故选：BD． 三、填空题 17．（23-24高一上·福建·期中）定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 3 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 18．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 19．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为________． 【答案】4 【分析】由题可知的周期为，方程的解即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，， 可得函数的图象如下：    方程的解，即为的交点横坐标， 当时，，此时与无交点， 当时，，此时与无交点， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $