第01讲 集合的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念核心知识点，通过回顾初中数集、点集、解集衔接新知，系统讲解集合与元素的概念、三大特征、元素与集合的关系、常用数集符号及列举法、描述法表示方法，构建完整知识支架。 资料以题型分类训练（例题+变式）和分层巩固检测为特色，通过判断集合构成培养抽象能力（数学眼光），互异性应用题目训练逻辑推理（数学思维），描述法表示提升数学语言表达，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

第 01 讲 集合的概念 ▶ 预习目标 ● 1．理解集合、元素的概念，掌握集合元素的确定性、互异性、无序性三大特征。 ● 2．掌握元素与集合的属于（）、不属于（）关系，熟记 等常用数集符号。 ● 3．学会用列举法、描述法表示集合，能根据实际需要选用合适的表示方法。 ● 4．初步体会用集合语言描述与解决数学问题。 ▶ 知识回顾 初中阶段我们已接触过三类高频集合： ● 一是数集：如自然数集、整数集、有理数集、实数集，对应专用符号 。 ● 二是点集：平面直角坐标系中满足条件的点的全体，如一次函数 图像上的所有点。 ● 三是解集：方程或不等式所有解组成的集合，如一元一次方程 的解。 ▶ 新知导图 集合 元素（确定性、互异性、无序性） 元素与集合 关系：、 ；常用数集： 集合的表示 列举法、描述法 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 集合与元素 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是一个集合；集合中的每个对象叫做这个集合的元素。集合元素具有三大特征： ● 确定性：给定一个集合，任给一个对象，它能“明确”判断是否属于该集合。 ● 互异性：一个集合中的任何两个元素都是不同的，相同的对象归入集合时只算一个。 ● 无序性：集合中的元素没有先后顺序，例如 。 ◆ 理解提示 “确定性”是判断一组对象能否构成集合的“试金石”——凡带有“漂亮、接近、聪明”等主观标准的，都不能构成集合。 ◆ 知识点 02 元素与集合的关系及常用数集 若 是集合 的元素，记作 （属于）；否则记作 （不属于）。常用数集： ● ：自然数集（含 ）；（或 ）：正整数集。 ● ：整数集；：有理数集；：实数集。 ◆ 理解提示 数集之间满足 ，注意 但 。 ◆ 知识点 03 列举法 把集合的元素一一列举出来，写在大括号内，元素之间用逗号隔开，这种表示法叫做列举法。例如小于 的正整数集可写成 。 ◆ 知识点 04 描述法 在花括号内先写上代表元素 ，再画一条竖线“”，在竖线后写出元素 所具有的共同特征，形如 ，这种表示法叫做描述法。有时也用冒号“”代替竖线。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列给出的各组对象中，能组成集合的是（ ） A．形状优美的瓷器 B．2026 年亚运会我国获得金牌的运动员 C．非常接近 的实数 D．性格开朗的同学 【变式 1-1】 下列对象中，能构成集合的是（ ） A．全校个子较高的男生 B．方程 的所有实数根 C．难度较大的数学题 D．味道鲜美的汤 【变式 1-2】 （多选）下列各组对象，能组成集合的是（ ） A．小于 的质数 B．育才中学高一年级长得帅的男生 C．所有的等腰直角三角形 D．与 很接近的实数 【变式 1-3】 由下列对象组成的集体中，能组成集合的是 ________（填序号）。① 平方后等于 的实数；② 著名的书法家；③ 较小的正整数；④ 方程 的解 【例 2】 小于 的正奇数组成的集合用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 方程组 的解集用列举法表示为 ________。 【变式 2-2】 集合 用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 用列举法表示方程 的实数根组成的集合：________。 【例 3】 被 除余 的所有整数组成的集合用描述法表示为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 坐标平面内横、纵坐标相等的点组成的集合可表示为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 函数 图像上所有点组成的集合用描述法表示为 ________。 【变式 3-3】 （多选）下列表示中，与集合 相等的是（ ） A． B． C． D． 【例 4】 已知集合 ，若 中元素互不相同，则实数 不能取的值是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D．任意实数均可 【变式 4-1】 集合 含有两个元素，则实数 的取值范围是 ________。 【变式 4-2】 已知集合 ，若 恰有两个元素，则 满足 ________。 【变式 4-3】 集合 含有三个不同元素，则 不能取的值是 ________。 【例 5】 给出下列关系：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式 5-1】 下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 5-2】 若 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式 5-3】 已知集合 ，则 ____ （填 或 ）。 【例 6】 下列关系中正确的个数是（ ）① ；② ；③ ；④ A． B． C． D． 【变式 6-1】 （多选）下列表示中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 6-2】 设 ，则其中属于整数集的元素个数是（ ） A． B． C． D． 【变式 6-3】 集合 用列举法表示为 ________。 【例 7】 已知集合 ，若 ，则实数 的值是（ ） A． B． C． 或 D． 【变式 7-1】 已知集合 ，若 ，则 ________。 【变式 7-2】 已知集合 ，且 ，则 ________。 【变式 7-3】 已知集合 ，若 ，则 的值可以是（ ） A． B． C． 或 或 D． 【例 8】 已知集合 中至多有一个元素，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 8-1】 集合 只有一个元素，则 ________。 【变式 8-2】 已知集合 有两个不同元素，则 的取值范围是 ________。 【变式 8-3】 集合 的元素个数为 ________。 【例 9】 定义：对集合 ，若存在常数 使对任意 都有 ，则称 为 的一个上界。已知集合 ，则下列说法正确的是（ ） A． 是 的上界 B． 是 的上界 C． 没有上界 D． 中元素都大于 【变式 9-1】 定义“好数”集合 ，写出它的前 个元素：________。 【变式 9-2】 （多选）定义集合的对称差 。若 ，则（ ） A． B． 有 个元素 C． D． 【变式 9-3】 定义“友好集合”为满足“”的集合。下列集合中是友好集合的是（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 基础过关 1． 下列各组对象能组成集合的是（ ） A．著名的主持人 B．较小的数 C．完全平方数 D．好看的画 2． 集合 用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 3． 下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 4． 集合 中元素互异，则（ ） A． B． C． 且 D．以上都要满足 5． 已知集合 ，若 ，则 ________。 6． 用描述法表示“小于 的实数组成的集合”：________。 7． （多选）下列数集中，包含 的是（ ） A． B． C． D． 8． 集合 的元素个数为（ ） A． B． C． D． 9． 已知集合 ，且 ，则 ________。 10． 方程组 的解集用列举法表示为 ________。 ◆ 能力提升 11． 已知集合 为空集，则实数 的值为（ ） A． B． C． D．任意实数 12． 集合 与 的关系是（ ） A．不相等 B．相等 C．前者含于后者 D．无法判断 13． （多选）集合 ，则（ ） A． B． C． D． 是奇数集 14． 若集合 中元素互不相同，则 不能取的值是 ________。 15． 定义“好集合”：若 ，则 且 。下列集合中是好集合的是（ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 01 讲 集合的概念 ▶ 预习目标 ● 1．理解集合、元素的概念，掌握集合元素的确定性、互异性、无序性三大特征。 ● 2．掌握元素与集合的属于（）、不属于（）关系，熟记 等常用数集符号。 ● 3．学会用列举法、描述法表示集合，能根据实际需要选用合适的表示方法。 ● 4．初步体会用集合语言描述与解决数学问题。 ▶ 知识回顾 初中阶段我们已接触过三类高频集合： ● 一是数集：如自然数集、整数集、有理数集、实数集，对应专用符号 。 ● 二是点集：平面直角坐标系中满足条件的点的全体，如一次函数 图像上的所有点。 ● 三是解集：方程或不等式所有解组成的集合，如一元一次方程 的解。 ▶ 新知导图 集合 元素（确定性、互异性、无序性） 元素与集合 关系：、 ；常用数集： 集合的表示 列举法、描述法 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 集合与元素 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是一个集合；集合中的每个对象叫做这个集合的元素。集合元素具有三大特征： ● 确定性：给定一个集合，任给一个对象，它能“明确”判断是否属于该集合。 ● 互异性：一个集合中的任何两个元素都是不同的，相同的对象归入集合时只算一个。 ● 无序性：集合中的元素没有先后顺序，例如 。 ◆ 理解提示 “确定性”是判断一组对象能否构成集合的“试金石”——凡带有“漂亮、接近、聪明”等主观标准的，都不能构成集合。 ◆ 知识点 02 元素与集合的关系及常用数集 若 是集合 的元素，记作 （属于）；否则记作 （不属于）。常用数集： ● ：自然数集（含 ）；（或 ）：正整数集。 ● ：整数集；：有理数集；：实数集。 ◆ 理解提示 数集之间满足 ，注意 但 。 ◆ 知识点 03 列举法 把集合的元素一一列举出来，写在大括号内，元素之间用逗号隔开，这种表示法叫做列举法。例如小于 的正整数集可写成 。 ◆ 知识点 04 描述法 在花括号内先写上代表元素 ，再画一条竖线“”，在竖线后写出元素 所具有的共同特征，形如 ，这种表示法叫做描述法。有时也用冒号“”代替竖线。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列给出的各组对象中，能组成集合的是（ ） A．形状优美的瓷器 B．2026 年亚运会我国获得金牌的运动员 C．非常接近 的实数 D．性格开朗的同学 【答案】 B 【详解】 A、C、D 中的“优美”“非常接近”“开朗”都没有明确标准，不满足确定性；B 的对象完全确定，能构成集合。 【变式 1-1】 下列对象中，能构成集合的是（ ） A．全校个子较高的男生 B．方程 的所有实数根 C．难度较大的数学题 D．味道鲜美的汤 【答案】 B 【详解】 只有 B 的对象范围明确，满足确定性。 【变式 1-2】 （多选）下列各组对象，能组成集合的是（ ） A．小于 的质数 B．育才中学高一年级长得帅的男生 C．所有的等腰直角三角形 D．与 很接近的实数 【答案】 AC 【详解】 B、D 含主观或模糊标准，不能确定；A、C 对象明确。 【变式 1-3】 由下列对象组成的集体中，能组成集合的是 ________（填序号）。① 平方后等于 的实数；② 著名的书法家；③ 较小的正整数；④ 方程 的解 【答案】 ①④ 【详解】 ① 为 ，④ 为 ，对象确定；②③ 标准模糊。 【例 2】 小于 的正奇数组成的集合用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 正奇数是 ，不含 与偶数。 【变式 2-1】 方程组 的解集用列举法表示为 ________。 【答案】 【详解】 解得 ，解集是一个点集，须写成有序对形式。 【变式 2-2】 集合 用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 含 ，且小于 的自然数有 。 【变式 2-3】 用列举法表示方程 的实数根组成的集合：________。 【答案】 【详解】 解得 。 【例 3】 被 除余 的所有整数组成的集合用描述法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 必须注明 ，否则 范围不清。 【变式 3-1】 坐标平面内横、纵坐标相等的点组成的集合可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 点集的代表元素是有序对 ，特征为横坐标等于纵坐标。 【变式 3-2】 函数 图像上所有点组成的集合用描述法表示为 ________。 【答案】 【详解】 点集用有序对 表示，特征为点在函数图像上。 【变式 3-3】 （多选）下列表示中，与集合 相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 D 包含负偶数与 ，与 不等；A、B、C 均恰为 。 【例 4】 已知集合 ，若 中元素互不相同，则实数 不能取的值是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D．任意实数均可 【答案】 B 【详解】 由互异性：；；。综合得 。 【变式 4-1】 集合 含有两个元素，则实数 的取值范围是 ________。 【答案】 且 【详解】 两元素互异要求 ，即 。 【变式 4-2】 已知集合 ，若 恰有两个元素，则 满足 ________。 【答案】 且 【详解】 。 【变式 4-3】 集合 含有三个不同元素，则 不能取的值是 ________。 【答案】 且 【详解】 需 且 ，即 。 【例 5】 给出下列关系：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 C 【详解】 ① 对（）；② 对；③ 错（）；④ 对。共 个正确。 【变式 5-1】 下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 空集不含任何元素，故 A 错；，故 B 错；，故 C 错。 【变式 5-2】 若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 为偶数集， 是偶数。 【变式 5-3】 已知集合 ，则 ____ （填 或 ）。 【答案】 【详解】 解 得 或 ，故 。 【例 6】 下列关系中正确的个数是（ ）① ；② ；③ ；④ A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 ①②③ 正确，④ 错误（），共 个。 【变式 6-1】 （多选）下列表示中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 BD 【详解】 B 漏了 ；D 应为 ；A、C 正确。 【变式 6-2】 设 ，则其中属于整数集的元素个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 是整数，共 个。 【变式 6-3】 集合 用列举法表示为 ________。 【答案】 【详解】 满足 的整数有 。 【例 7】 已知集合 ，若 ，则实数 的值是（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】 C 【详解】 得 或 ；检验均满足互异性。 【变式 7-1】 已知集合 ，若 ，则 ________。 【答案】 【详解】 。 【变式 7-2】 已知集合 ，且 ，则 ________。 【答案】 或 【详解】 得 或 ；均满足互异性。 【变式 7-3】 已知集合 ，若 ，则 的值可以是（ ） A． B． C． 或 或 D． 【答案】 C 【详解】 ；；；三种均满足互异性。 【例 8】 已知集合 中至多有一个元素，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 “至多一个元素”即方程有 个或 个实根，需 ，得 （含空集情形）。 【变式 8-1】 集合 只有一个元素，则 ________。 【答案】 【详解】 只有一个元素即方程有唯一实根，。 【变式 8-2】 已知集合 有两个不同元素，则 的取值范围是 ________。 【答案】 【详解】 两不同元素需 。 【变式 8-3】 集合 的元素个数为 ________。 【答案】 【详解】 解得 或 ，共 个元素。 【例 9】 定义：对集合 ，若存在常数 使对任意 都有 ，则称 为 的一个上界。已知集合 ，则下列说法正确的是（ ） A． 是 的上界 B． 是 的上界 C． 没有上界 D． 中元素都大于 【答案】 B 【详解】 ，最大元素为 ，故 是上界； 不是（因 ）；存在负数。 【变式 9-1】 定义“好数”集合 ，写出它的前 个元素：________。 【答案】 【详解】 最小的正 的倍数为 。 【变式 9-2】 （多选）定义集合的对称差 。若 ，则（ ） A． B． 有 个元素 C． D． 【答案】 ABD 【详解】 对称差为只在其中一个集合中的元素 ，共 个，且是 的子集。 【变式 9-3】 定义“友好集合”为满足“”的集合。下列集合中是友好集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 B 中每个元素的相反数仍在集合内（ 的相反数是自身）。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 基础过关 1． 下列各组对象能组成集合的是（ ） A．著名的主持人 B．较小的数 C．完全平方数 D．好看的画 【答案】 C 【详解】 只有“完全平方数”标准明确。 2． 集合 用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 含 ，故为 。 3． 下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 元素与集合用 ， 是 的元素。 4． 集合 中元素互异，则（ ） A． B． C． 且 D．以上都要满足 【答案】 D 【详解】 需同时满足三元素两两不等。 5． 已知集合 ，若 ，则 ________。 【答案】 【详解】 由 直接得 。 6． 用描述法表示“小于 的实数组成的集合”：________。 【答案】 【详解】 直接写出特征即可。 7． （多选）下列数集中，包含 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 BCD 【详解】 是整数、有理数、实数。 8． 集合 的元素个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 解为 ，共 个。 9． 已知集合 ，且 ，则 ________。 【答案】 【详解】 或 。 10． 方程组 的解集用列举法表示为 ________。 【答案】 【详解】 解得 ，写成点集。 ◆ 能力提升 11． 已知集合 为空集，则实数 的值为（ ） A． B． C． D．任意实数 【答案】 A 【详解】 说明方程无解，仅当 时等式 不成立，无解。 12． 集合 与 的关系是（ ） A．不相等 B．相等 C．前者含于后者 D．无法判断 【答案】 B 【详解】 集合具有无序性，元素相同即相等。 13． （多选）集合 ，则（ ） A． B． C． D． 是奇数集 【答案】 ACD 【详解】 为奇数集； 是奇数， 不是。 14． 若集合 中元素互不相同，则 不能取的值是 ________。 【答案】 【详解】 由互异性：；；。 15． 定义“好集合”：若 ，则 且 。下列集合中是好集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 整数集对“加减 ”封闭，满足条件。 ▶ 基础过关 参考答案 1．C 2．B 3．C 4．D 5． 6． 7．BCD 8．C 9． 10． ▶ 能力提升 参考答案 11．A 12．B 13．ACD 14． 15．B 学科网（北京）股份有限公司 $