第03讲 集合的基本运算讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，衔接前两讲集合本身与包含关系，系统构建并集、交集、全集与补集的含义、运算方法、基本性质及Venn图几何意义，形成从概念到含参数运算的学习支架。 资料以新知导图梳理知识脉络，通过Venn图培养几何直观的数学眼光，题型分类训练（例题配变式）强化推理能力与分类讨论的数学思维，符号准确描述运算关系体现数学语言。课中辅助教师分层教学，课后巩固检测卷助力学生查漏补缺。

第 03 讲 集合的基本运算 ▶ 预习目标 ● 1．理解并集、交集、全集与补集的含义，会求两个集合的并集、交集与补集。 ● 2．掌握交、并、补的基本性质，能用符号 、 描述运算结果间的关系（如 ）。 ● 3．会用 Venn 图表示集合运算，理解并集、交集、补集的几何意义。 ● 4．会在含参数的集合运算中，由运算结果反求参数范围，并进行必要分类讨论。 ▶ 知识回顾 前两讲我们研究了集合本身与集合间的包含关系，本讲研究集合之间的“运算”： ● 并集对应“合并”，交集对应“公共部分”，补集对应“在全集范围内去掉该集合”； ● 运算结果仍是集合，因此同样可以判断元素属于、不属于，以及集合间的包含关系。 ▶ 新知导图 并集 交集 补集 关系：； ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 并集 由所有属于 或者属于 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 。即 。性质：，，，，且并运算满足交换律与结合律。 ◆ 知识点 02 交集 由所有既属于 又属于 的元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 。即 。性质：，，，。 ◆ 知识点 03 全集与补集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作 。对于一个集合 ，由全集 中不属于 的所有元素组成的集合称为 相对于 的补集，记作 ，即 。 ◆ 理解提示 并集用“或”、交集用“且”是解题关键；求补集必须明确全集 ，同一个集合在不同全集中补集不同。 ◆ 知识点 04 交、并、补的性质 常用关系：；；；；；德摩根律：，。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 并集是把两集合元素合并去重，得 。 【变式 1-1】 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 小于 或小于 的数，即小于 的数，故 。 【变式 1-2】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 合并去重得 。 【变式 1-3】 （多选）已知集合 ，，则（ ） A． B． 含 个元素 C． D． 【答案】 ABC 【详解】 含 个元素， 在其中；但 ，D 错。 【例 2】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 交集是两集合的公共元素，为 。 【变式 2-1】 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 既大于 又小于 ，即 。 【变式 2-2】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 ，，公共元素只有 。 【变式 2-3】 （多选）已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 AB 【详解】 交集为 ，且是 的子集； 故不在交集，C 错；交集非空，D 错。 【例 3】 对于集合 ，若 ，则集合 的关系是（ ） A． B． C． D．无确定关系 【答案】 A 【详解】 等价于 的每个元素都在 中，即 。 【变式 3-1】 对于集合 ，若 ，则（ ） A． B． C． D．无确定关系 【答案】 B 【详解】 等价于 的每个元素都在 中，即 。 【变式 3-2】 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 （或 ） 【详解】 ，故 。 【变式 3-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 ________。 【答案】 【详解】 即 ，所以 ；由 得 （此时 ）。 【例 4】 设全集 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 在 中去掉 的元素，剩下 。 【变式 4-1】 设全集 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 实数中不大于 的部分，即 。 【变式 4-2】 设全集 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，去掉 得 。 【变式 4-3】 （多选）设全集 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 ；并集为 ，交集为空集；D 漏了 ，错。 【例 5】 设全集 ，，，则 ________。 【答案】 【详解】 ，在 中去掉这些得 。 【变式 5-1】 设全集 ，，，则 ________。 【答案】 【详解】 ，其补集为 ，即 。 【变式 5-2】 设全集 ，，，则 ________， ________。 【答案】 ； 【详解】 是按奇偶分拆，故 ；而 ，所以 。 【变式 5-3】 已知集合 ，，则 ________， ________。 【答案】 ； 【详解】 公共元素为 ，合并为 。 【例 6】 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． 或 D．任意实数 【答案】 C 【详解】 。方程可化为 ，根为 ，故 。要 ，需 或 。 【变式 6-1】 已知集合 ，，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】 C 【详解】 。方程化为 ，根为 ，故 。需 ，即 或 。 【变式 6-2】 已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ________。 【答案】 或 【详解】 方程化为 ，根为 ，故 。 需 或 ，得 或 。 【变式 6-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ________。 【答案】 【详解】 。若 ，则 ；若 ，则 且根为 。综上 。 【例 7】 某班有 人，爱好数学的有 人，爱好语文的有 人，两科都爱好的有 人，则至少爱好一科的人数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由容斥原理，至少爱好一科人数为 。 【变式 7-1】 沿用上题条件，两科都不爱好的人数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 全班 人减去至少爱好一科的 人，得 人两科都不爱好。 【变式 7-2】 已知集合 满足 ，，，则 ________。 【答案】 【详解】 由容斥 。 【变式 7-3】 （多选）已知集合 满足 ，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 ACD 【详解】 由容斥 ，且公式恒成立，故 A、C、D 对，B 错。 【例 8】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 非空，即区间 与 有公共部分，需 。 【变式 8-1】 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是 ________。 【答案】 【详解】 两区间 与 有交集，需 。 【变式 8-2】 已知集合 ，，若 ，则整数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 为小于 的整数。要 ，需 且 ，即 。 【变式 8-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ________。 【答案】 【详解】 ，，并集为全体实数需两区间相接覆盖，即 。 【例 9】 定义集合的对称差 。若 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，，去掉公共部分 ，得 。 【变式 9-1】 定义差集 。若 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 在 中但不在 中的元素只有 。 【变式 9-2】 （多选）沿用对称差定义，若 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 含 个元素，对称差满足交换律且是并集的子集；不等于交集，D 错。 【变式 9-3】 定义“积集” ，全集 ，，，则 ________。 【答案】 【详解】 ，，，故 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 基础过关 1． 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 合并去重得 。 2． 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 公共元素为 。 3． 设全集 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 在 中去掉 的元素得 。 4． 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 既大于 又小于 。 5． 对于集合 ，若 ，则 与 的关系是 ________（填“”或“”）。 【答案】 【详解】 。 6． 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 （或 ） 【详解】 ，故 。 7． （多选）设全集 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 ，与 的并集为 、交集为空；D 错。 8． 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 合并得 。 9． 已知集合 ，，则 与 的大小关系是 ________（填“”或“”） 【答案】 【详解】 。 10． 设全集 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 实数中小于 的部分。 ◆ 能力提升 11． 已知集合 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 ，，公共元素只有 。 12． 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． 或 D．任意实数 【答案】 C 【详解】 。 方程化为 ，根为 ，需 ，得 或 。 13． （多选）设全集 ，对任意集合 ，下列恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 德摩根律与补集定义均成立；，D 错。 14． 某兴趣小组有 人，会编程的有 人，会绘画的有 人，两项都会的有 人，则两项都不会的有 ________ 人。 【答案】 【详解】 至少会一项 人，两项都不会 人。 15． 定义对称差 。若 ，，则 ________。 【答案】 【详解】 ，，对称差为 ，含 个元素。 ▶ 基础过关 参考答案 1． 2． 3． 4． 5． 6．（或 ） 7．ABC 8． 9． 10． ▶ 能力提升 参考答案 11． 12．C 13．ABC 14． 15． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 03 讲 集合的基本运算 ▶ 预习目标 ● 1．理解并集、交集、全集与补集的含义，会求两个集合的并集、交集与补集。 ● 2．掌握交、并、补的基本性质，能用符号 、 描述运算结果间的关系（如 ）。 ● 3．会用 Venn 图表示集合运算，理解并集、交集、补集的几何意义。 ● 4．会在含参数的集合运算中，由运算结果反求参数范围，并进行必要分类讨论。 ▶ 知识回顾 前两讲我们研究了集合本身与集合间的包含关系，本讲研究集合之间的“运算”： ● 并集对应“合并”，交集对应“公共部分”，补集对应“在全集范围内去掉该集合”； ● 运算结果仍是集合，因此同样可以判断元素属于、不属于，以及集合间的包含关系。 ▶ 新知导图 并集 交集 补集 关系：； ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 并集 由所有属于 或者属于 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 。即 。性质：，，，，且并运算满足交换律与结合律。 ◆ 知识点 02 交集 由所有既属于 又属于 的元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 。即 。性质：，，，。 ◆ 知识点 03 全集与补集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作 。对于一个集合 ，由全集 中不属于 的所有元素组成的集合称为 相对于 的补集，记作 ，即 。 ◆ 理解提示 并集用“或”、交集用“且”是解题关键；求补集必须明确全集 ，同一个集合在不同全集中补集不同。 ◆ 知识点 04 交、并、补的性质 常用关系：；；；；；德摩根律：，。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 已知集合 ，，则 ________。 【变式 1-2】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 （多选）已知集合 ，，则（ ） A． B． 含 个元素 C． D． 【例 2】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 已知集合 ，，则 ________。 【变式 2-2】 已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 （多选）已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 【例 3】 对于集合 ，若 ，则集合 的关系是（ ） A． B． C． D．无确定关系 【变式 3-1】 对于集合 ，若 ，则（ ） A． B． C． D．无确定关系 【变式 3-2】 已知集合 ，，则 ________。 【变式 3-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 ________。 【例 4】 设全集 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 设全集 ，，则 ________。 【变式 4-2】 设全集 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 （多选）设全集 ，，则（ ） A． B． C． D． 【例 5】 设全集 ，，，则 ________。 【变式 5-1】 设全集 ，，，则 ________。 【变式 5-2】 设全集 ，，，则 ________， ________。 【变式 5-3】 已知集合 ，，则 ________， ________。 【例 6】 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． 或 D．任意实数 【变式 6-1】 已知集合 ，，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． 或 D． 【变式 6-2】 已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ________。 【变式 6-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ________。 【例 7】 某班有 人，爱好数学的有 人，爱好语文的有 人，两科都爱好的有 人，则至少爱好一科的人数为（ ） A． B． C． D． 【变式 7-1】 沿用上题条件，两科都不爱好的人数为（ ） A． B． C． D． 【变式 7-2】 已知集合 满足 ，，，则 ________。 【变式 7-3】 （多选）已知集合 满足 ，，，则（ ） A． B． C． D． 【例 8】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 8-1】 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是 ________。 【变式 8-2】 已知集合 ，，若 ，则整数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 8-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ________。 【例 9】 定义集合的对称差 。若 ，，则 （ ） A． B． C． D． 【变式 9-1】 定义差集 。若 ，，则 ________。 【变式 9-2】 （多选）沿用对称差定义，若 ，，则（ ） A． B． C． D． 【变式 9-3】 定义“积集” ，全集 ，，，则 ________。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 基础过关 1． 已知集合 ，，则 ________。 2． 已知集合 ，，则 ________。 3． 设全集 ，，则 ________。 4． 已知集合 ，，则 ________。 5． 对于集合 ，若 ，则 与 的关系是 ________（填“”或“”）。 6． 已知集合 ，，则 ________。 7． （多选）设全集 ，，则（ ） A． B． C． D． 8． 已知集合 ，，则 ________。 9． 已知集合 ，，则 与 的大小关系是 ________（填“”或“”） 10． 设全集 ，，则 ________。 ◆ 能力提升 11． 已知集合 ，，则 ________。 12． 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． 或 D．任意实数 13． （多选）设全集 ，对任意集合 ，下列恒成立的是（ ） A． B． C． D． 14． 某兴趣小组有 人，会编程的有 人，会绘画的有 人，两项都会的有 人，则两项都不会的有 ________ 人。 15． 定义对称差 。若 ，，则 ________。 学科网（北京）股份有限公司 $