第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值（知识清单+10类热点题型+2核心方法+分层强化训练）【精讲精练】-2026-2027学年高一上学期数学同步学与练（人教A版必修第一册）

本高中数学讲义聚焦函数单调性与最大（小）值核心知识点，系统梳理增减函数定义、单调区间判定，结合一次、反比例、二次函数单调性实例，构建从概念到判断方法（定义法、图象法、性质法）再到复合函数单调性及最值应用的知识支架。 资料以思维导图串联知识体系，题型精讲分10类（如定义法证明、求单调区间等），典例与变式结合高考真题，培养数学思维（推理能力）与数学语言（规范表达）。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题能力。

第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【即学即练1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 第三部分 题型精讲 题型01定义法判断或证明函数单调性 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2) 在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 【分析】（1）根据不等式解集得到是的两根，从而由韦达定理得到方程，求出，得到解析式； （2），定义法求函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）略 【变式1】（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【详解】略 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减. 证明如下： 设，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 即，所以在上单调递减； 【变式3】（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知函数，且满足，. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明：设任意，且， 则， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增. 【分析】（1）根据已知列方程组求解； （2）先判断单调性，再应用单调性定义证明. 【详解】（1）函数满足，， 可得，解之. （2）略 题型02求函数单调区间 【典例1】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【典例2】（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ______． 【答案】（或） 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以函数的图象开口向下， 所以函数的单调递减区间为（或）. 故答案为：（或） 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 【变式2】（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【分析】去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 【详解】 即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 题型03复合函数单调区间 【典例1】（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 【典例2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的单调减区间是_____． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增区间为______. 【答案】 【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案. 【详解】由， 解得，二次函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是________． 【答案】（区间开闭都行） 【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 题型04根据函数的单调性求参数 【典例1】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【典例2】（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数单调递增，结合一次函数和二次函数的性质，分析分段函数需要满足的条件，列不等式组求解． 【详解】函数在上单调递增， 当时，若一次函数单调递增，则需满足斜率； 当时，二次函数开口向上，若函数在时单调递增，则需满足对称轴在上或在其左侧； 另外需要满足， ，解得， 实数的取值范围是． 故选：C． 【变式1】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【变式2】（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 【变式3】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合每段单调性，分段点处的函数值关系，建立不等式求解即可. 【详解】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 题型05根据函数的单调性解不等式 【典例1】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为是上的单调递增函数， 由可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【典例2】（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据函数的单调性解抽象函数不等式，由题意得，再解不等式组即可． 【详解】是定义在上的增函数, ，即，解得， 则的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性在定义域内列不等式解不等式即可求解的取值范围. 【详解】因为是定义在上的减函数， 若，可得，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断出函数的单调性，再利用单调性建立不等式求解． 【详解】画出分段函数图象如下： 可知分段函数在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】确定给定函数的单调性，再借助单调性脱去法则，进而求解不等式得答案. 【详解】当时，函数在上单调递增，， 当时，函数在上单调递增，， 因此函数在R上是增函数，不等式， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 题型06根据单调性（图象）求最值或值域 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值为________________． 【答案】4 【分析】作出函数的图象，求出出函数的单调性，进而得出函数的最大值. 【详解】由题意可知， 作出函数的图象，如图所示    由图可知，在上单调递增，在上单调递减; 所以当时，取的最大值为. 故答案为：. 【典例2】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 【变式3】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.    (1)作出函数的图象； (2)写出的单调递增区间和单调递减区间； (3)求在区间上的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2)单调递增区间为：和；单调递减区间为 (3)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的解析式画出的图像，再根据奇函数图像关于原点对称，画出的图像； （2）根据（1）画出的函数图像分析单调性； （3）根据（2）由单调性确定最值. 【详解】（1）函数图象如图所示：    （2）由图可知，的单调递增区间为：和； 单调递减区间为； （3）由函数图象及（2），知在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值4；           当时，； 当时，； 所以当时，在区间上取得最小值. 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 题型07根据函数的最值（值域）求参数 【典例1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 【典例2】（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 【变式2】（多选）（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数， ，对称轴为， 当时， 当时，， 要想函数的最小值为，只需，即， 显然选项AB符合， 当时， 当时，，显然不是， 综上所述：只有选项AB符合条件， 故选：AB 【变式3】（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入，根据二次函数的性质即可得到值域； （2）根据题意转化为，代入计算即可. 【详解】（1）当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在区间上的值域为. （2）因为，，开口向上， 则的最大值为和两个中的较大者， 而，要使在区间上的最大值为4，则， ， 故的取值范围为. 题型08二次函数最值问题（含参） 【典例1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 【典例2】（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 【变式1】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)试求在区间上的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据条件，利用二次函数的性质，得或，即可求解； （2）分，和三种情况，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为的对称轴为， 又在区间上是单调函数，则或，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）因为的对称轴为，图象开口向上， 若，即时，在区间上单调递增，此时， 若，即，此时， 若，即时，在区间上单调递减，此时， 综上所述，. 【变式2】（24-25高一上·天津滨海新区·期中）已知二次函数 (1)求函数 的解析式； (2)若函数在区间 不单调，求 的取值范围 (3)求函数在区间 的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意可判断二次函数的对称轴满足，列不等式，求解即可； （3）根据对称轴和区间在数轴上的位置关系分类讨论即可. 【详解】（1）因为二次函数满足，且， 故函数的图象的对称轴为直线，且的最大值为16， 可设函数，根据，解得， 故． （2）函数对称轴为直线， 要使函数在区间上不单调，则， 即，得， 解得，所以t的取值范围. （3）由（1）知：函数图象的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数在上单调递减．此时最大值， 当，即时，函数在上单调递增， 此时最大值； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时最大值； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，， 因此， 【变式3】（23-24高二下·重庆·期末）已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)设，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，根据题目条件得到方程，求出，得到函数方程； （2）根据对称轴进行分类讨论，得到的最小值. 【详解】（1）设，， 则， 即， 故，解得， 故， 又，故，解得， 所以； （2）,, 对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 故时，取得最小值，故， 当，即时，当时，取得最小值， 故， 当，即时，在上单调递减， 当时，取得最小值，故 综上，. 题型09函数不等式恒成立问题 【典例1】（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，2，3为方程的两根，根据根与系数的关系，列出方程，即可求得答案. （2）由（1）可知，且满足，恒成立，等价于，根据二次函数的性质，即可求出在上的最小值，分析即可得答案. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，，所以，. （2）由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于， 当时，函数图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减， 所以当时，有最小值0， 所以，实数的取值范围为. 【典例2】（24-25高一上·湖南·期中）设函数. (1)若，且，求m的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)在区间上单调递减. 证明：，且，则， 化简得， 由，得，∴，， ∴，于是，即. ∴在区间上单调递减. (3). 【分析】（1）根据函数值列方程，求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用换元法化简不等式，再分离参数，转化为最值问题，求最值即可. 【详解】（1）∵，∴，∴，又，则. （2）略 （3）设，由知，， 将其代入，得， 化简得恒成立， 设，则在上恒成立. 即. ∵与在上单调递增，∴在上单调递增， ∴，∴， ∴实数a的取值范围是. 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知二次函数满足，． (1)求的解析式； (2)，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由待定系数法设，然后由题意可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【详解】（1）设，因，， 则，则. ，则； （2），恒成立. ， 当时取等号，故. 【变式2】（25-26高二上·浙江·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果； （2）分离参数可得，由基本不等式求得，从而可得的范围. 【详解】（1）当时，，不等式，即， 整理得，解得，故此不等式的解集为． （2）由题意，，得，即恒成立， 又，（当且仅当取等号），即，所以，解得． 【变式3】（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若对，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以解得. （2）由（1）得， ，，即， 因为当时，单调递增， 所以，即，解得. 题型10函数不等式有解问题 【典例1】5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意可得且成立，分别求出函数，的最值，代入求解即可. 【详解】由题得函数，因为在上单调递增， 所以，由复合函数单调性知，函数在区间上单调递增， . 又易知函数在区间上单调递减， ，， 若要满足题意，则且成立， 即且，解得． 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 【典例2】（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 【变式1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可． 【详解】， 所以在时单调递减， 所以，，即； 因为对存在，存在，使， 所以， 所以存在，使得， 即，即能成立， 令，则要使在能成立， 只需使， 根据增函数减减函数易知：函数在上单调增， 所以， 故只需，所以的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域 (2) 【分析】(1)利用构造法可得到一个对勾型函数，再利用单调性来求值域； (2)利用分离参变量法，再利用对勾函数的单调性求最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 令，则，因为，所以， 再结合已知可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值， 因为当时，，当时，， 所以当时，取到最大值， 即的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域； （2）由不等式，结合，可变形为， 由原不等式有解转化为， 再由已知可得在区间上单调递增， 所以，即， 故实数的取值范围是. 【变式3】（24-25高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 核心方法一：分类讨论 【典例1】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 【典例2】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 【答案】或或或 【分析】根据给定条件，按二次函数图象的对称轴与区间的关系分类求解. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，解得或， 所以a的值为或或或. 【变式1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 【变式2】（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 【变式3】（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑的对称轴与2比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 核心方法二：数形结合 【典例1】（多选）（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 【典例2】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 【答案】 【分析】利用函数的定义画出图像即可得到最值. 【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数与函数， 令，解得或. 由函数的定义，结合两函数图象，可知，， 由图可知，函数的最小值为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 【变式2】（25-26高一上·四川成都·期末）若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． 【答案】1 【分析】先解不等式，进而得，作出函数的图象，进而求解. 【详解】由，所以，所以或， 所以， 作出函数的图象： 由图可知：， 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求出函数的解析式，讨论的正负，根据单调性求最值； （2）求出函数的解析式，讨论判别式，对称轴，根据已知区间上的单调性确定参数. 【详解】（1）， 当，即时， 在上单调递增，无最小值，不符合题意； 当，即时， ， 当且仅当时，等号成立， 由题意得，解得. 综上所述，实数的值为2. （2）， 当，即时，， 若函数在单调递增， 则，解得， 当，即时， 若函数在单调递增， 则或， 解得， 综上，实数的取值范围为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图象的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 3．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件转化为函数在区间上单调，根据二次函数对称轴与区间的位置关系列不等式求解的取值范围． 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵对于任意，且，都有，即在区间上是单调函数， ∴或， ∴或，即实数的取值范围为． 故选：C． 5．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 6．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由二次函数的单调性建立不等式，求得实数的取值范围. 【详解】∵函数开口向上，且对称轴为, ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴或， ∴或. 故选：D. 7．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，且函数是定义在上的减函数， 则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 三、填空题 9．（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由，可得二次函数的对称轴为， 又因为在区间上是严格递减函数，所以，解得. 10．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. B能力提升 1．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 3．（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论，当时，；当时，，再在直角坐标系中分别画出对应图象即可求解. 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 4．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【详解】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）已知是二次函数，设，因 解得，故. （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是； ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是. 综上，函数的最小值为. C综合素养 1．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列说法中正确的是（     ） A． B．函数的最大值为1 C．函数的最小值为0 D．当时， 【答案】AC 【分析】先理解取整函数的定义，再结合的图象，分析函数性质，逐一验证各选项． 【详解】解：根据题意，画出函数的大致图象，如图，依次分析选项：对于A，，，故A正确； 对于B，无最大值，故B错误； 对于C，在定义域内有最小值0，故C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选AC． 4．（多选）（25-26高一上·陕西榆林·期末）函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．在上单调递增 D．关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求出，即可判断选项A，B；利用函数单调性的定义证明的单调性，然后利用单调性求解不等式的解集即可判断选项C，D. 【详解】因为， 令，则，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，所以，故B错误； 任取，则，， 所以， 所以，所以在上单调递增，故C正确； 关于x的不等式，所以， 所以，由于在上单调递增，所以， 所以，关于x的不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 5．对定义在非空集合上的函数，以及函数，定义，其中表示在上的最大值. (1)函数，求； (2)函数，若，求的值； (3)函数，当取最小值时，求的值，并求出该最小值. 【答案】(1)4 (2) (3)，的最小值为. 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得； （2），，利用 和 的函数性质，通过分类讨论求解； （3）结合所给条件，可得函数与 的，结合绝对值不等式，求出 即可. 【详解】（1）设， 因为，所以， 则，. 所以. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴， 由题意，，，因为 ，即. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍），所以. （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【即学即练1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 第三部分 题型精讲 题型01定义法判断或证明函数单调性 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【变式1】（24-25高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 【变式3】（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知函数，且满足，. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 题型02求函数单调区间 【典例1】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ______． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是________. 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 题型03复合函数单调区间 【典例1】（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【典例2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的单调减区间是_____． 【变式1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增区间为______. 【变式3】（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是________． 题型04根据函数的单调性求参数 【典例1】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 题型05根据函数的单调性解不等式 【典例1】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 【变式1】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是__________. 【变式2】（25-26高一上·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【变式3】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则不等式的解集为______. 题型06根据单调性（图象）求最值或值域 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值为________________． 【典例2】已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【变式3】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.    (1)作出函数的图象； (2)写出的单调递增区间和单调递减区间； (3)求在区间上的最值. 题型07根据函数的最值（值域）求参数 【典例1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【典例2】（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是__________． 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（多选）（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3】（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 题型08二次函数最值问题（含参） 【典例1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【典例2】（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【变式1】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)试求在区间上的最小值． 【变式2】（24-25高一上·天津滨海新区·期中）已知二次函数 (1)求函数 的解析式； (2)若函数在区间 不单调，求 的取值范围 (3)求函数在区间 的最大值． 【变式3】（23-24高二下·重庆·期末）已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)设，，求函数的最小值. 题型09函数不等式恒成立问题 【典例1】（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【典例2】（24-25高一上·湖南·期中）设函数. (1)若，且，求m的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知二次函数满足，． (1)求的解析式； (2)，恒成立，求的取值范围． 【变式2】（25-26高二上·浙江·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【变式3】（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若对，恒成立，求实数k的取值范围. 题型10函数不等式有解问题 【典例1】5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为______． 【典例2】（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是__________． 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【变式3】（24-25高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 核心方法一：分类讨论 【典例1】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 【变式1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 核心方法二：数形结合 【典例1】（多选）（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【典例2】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 【变式1】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【变式2】（25-26高一上·四川成都·期末）若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D．或 7．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 三、填空题 9．（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 10．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. B能力提升 1．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. C综合素养 1．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列说法中正确的是（     ） A． B．函数的最大值为1 C．函数的最小值为0 D．当时， 4．（多选）（25-26高一上·陕西榆林·期末）函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．在上单调递增 D．关于x的不等式的解集为 5．对定义在非空集合上的函数，以及函数，定义，其中表示在上的最大值. (1)函数，求； (2)函数，若，求的值； (3)函数，当取最小值时，求的值，并求出该最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $