暑期预习讲义（第3讲）实际问题与一元二次方程 （知识梳理+题型精析+同步自测）2026年人教版九年级数学上册

暑期预习讲义（第3讲）——实际问题与一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】列一元二次方程解应用题通用步骤（必考模板） 2 【知识点二】增长率/下降率问题（高频基础题型） 2 【题型 1】一元二次方程的实际应用——增长率问题 2 【知识点三】传播、裂变问题（拔高必考题型） 3 【题型 2】一元二次方程的实际应用——传播、裂变问题 3 【知识点四】图形面积问题（期末大题核心） 4 【题型 3】一元二次方程的实际应用——图形与面积问题 4 【知识点五】销售利润问题（中考压轴高频） 5 【题型 4】一元二次方程的实际应用——销售与利润问题 5 【知识点六】握手、单循环比赛问题（选择填空必考） 6 【题型 5】一元二次方程的实际应用——握手、循环比赛问题 7 【知识点七】高频易错重难点汇总 7 【题型 6】一元二次方程的实际应用——增长率与销售利润问题 7 【知识点八】题型解题优先级思路 8 【题型 7】一元二次方程的实际应用——行程、工程问题 8 二.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 学习方法：先读概念、定义→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】列一元二次方程解应用题通用步骤（必考模板） 1. 审：认真审题，读懂题意，找出题目中的已知量、未知量以及等量关系。 2. 设：设未知数，优先设直接未知数，复杂题型可设间接未知数，统一带单位。 3. 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 4. 解：求解一元二次方程，得到两个根。 5. 验：双重检验，先检验是否为方程的解，再检验是否符合实际生活意义。 6. 答：规范作答，标注单位，完整回应题目问题。 解题口诀：审设列解验答六步，实际负数全部舍 核心注意：实际问题中，长度、人数、增长率、面积等均为正数，不合题意的根必须舍去。 【知识点二】增长率/下降率问题（高频基础题型） 1. 适用场景：产量、销量、利润、人数、价格等连续增长或连续下降的变化问题； 2. 核心通用公式 （1）平均增长率模型：；（2）平均下降率模型：； 3. 字母含义：：初始基础量；：单次增长率/下降率；：变化次数；：最终变化后总量； 4. 关键结论（1）连续两次增长或下降，公式简化为：，是考试最常考形式； （2）增长率口诀：基量一加率，次方看次数，终量对等列方程. 【题型 1】一元二次方程的实际应用——增长率问题 【例题1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． （1）生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ （2）在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同． （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计到年底能否实现盈利万元的目标？ 【知识点三】传播、裂变问题（拔高必考题型） 1. 适用场景：病毒传播、细胞分裂、微信转发、疫情扩散、一传多类问题； 2. 核心模型：一轮传播后所有人参与下一轮传播，人数呈指数增长； 3. 通用公式：初始1个传染源，每轮每人传播人，经过两轮传播后总人数：，化简得：； 4. 易错点：总人数包含最初的传染源，不可遗漏初始量； 传播口诀：一轮传x人，两轮平方增，全员参与不落空。 【题型 2】一元二次方程的实际应用——传播、裂变问题 【例题2】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【变式3】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【知识点四】图形面积问题（期末大题核心） 1. 适用场景：矩形空地修路、边框宽度、草坪留白、裁剪图形、拼接面积变化。 2. 核心解题思路：通过平移、割补法，将不规则阴影面积转化为规则矩形面积计算。 3. 常见模型规律 ① 横竖等宽道路：平移道路至边缘，剩余草坪为新矩形，长和宽同时减去道路宽度； ② 四周等宽边框：内部图形长、宽均减去两倍边框宽度； ③ 无重叠裁剪：原图形面积减去多余部分面积，等于剩余图形面积。 面积口诀：道路平移凑整形，长宽减宽算新积 【题型 3】一元二次方程的实际应用——图形与面积问题 【例题3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． （1）天头长为 ；（用含x的代数式表示） （2）若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【变式3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．求当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 【知识点五】销售利润问题（中考压轴高频） 1. 核心基础公式（所有利润题通用） 单件利润 = 售价 - 进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 2. 经典变化模型：涨价销量降、降价销量升 设涨价/降价元，新单件利润=原利润±，新销量=原销量∓变化数量。 3. 关键限制条件 售价、进价、利润均为正数；商品销量为正整数，需结合实际取舍根。 利润口诀：单利售价减进价，总利单利乘销量 【题型 4】一元二次方程的实际应用——销售与利润问题 【例题4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）洞庭东、西山枇杷是当下水果中的时令珍品，深受消费者喜爱，是苏州闪亮的初夏名片．某水果超市购进一批当地枇杷，进价为每斤24元．调查发现，当销售价为每斤40元时，平均每天能售出20斤，而当销售价每降价1元时，平均每天能多售出2斤． （1）当每斤枇杷的销售价降价6元时，每天销量可达 斤，每天盈利 元； （2）若水果超市要使这批枇杷的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每斤枇杷的销售价应是多少元？ 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某水果店经销一种水果，进价为每千克40元．按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克，若要使每天的利润为9750元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 【变式3】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【知识点六】握手、单循环比赛问题（选择填空必考） 1. 适用场景：两两组合、不重复、不双向计数（握手、单循环球赛、两两签约）。 2. 通用公式 设有个对象，总组合次数： 3. 原理：每两个对象只发生一次互动，避免重复计算。 比赛握手口诀：两两配对不重复，二分之一x减一 【题型 5】一元二次方程的实际应用——握手、循环比赛问题 【例题5】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 【变式1】（2024·广东清远·一模）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为______． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 【知识点七】高频易错重难点汇总 1. 双重取舍：一元二次方程两个根，必须结合实际意义舍去不合理的根（负数、小数人数、超范围数值）。 2. 增长率次数区分：看清是增长两次、两年还是两个阶段，对应次方数不能错。 3. 面积平移误区：横竖多条道路，不可重复减去道路宽度，必须整体平移计算。 4. 利润变量对应：涨价对应销量减少，降价对应销量增加，变量增减关系不能颠倒。 5. 传播问题易错：总人数包含初始传染源，不可直接用新增人数代替总人数。 【题型 6】一元二次方程的实际应用——增长率与销售利润问题 【例题6】（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A型号的单车，二期又投放了B型号的单车．已知B型号的单车的单价比A型号的单价提高的百分率是B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）春节前夕，为减少库存，某商店决定对一种饮料进行降价促销，根据市场调查，这种饮料的销售单价定为120元/箱时，每天可售出100箱，销售单价每降低2元，每天可多售出7箱，已知每箱饮料的进价为80元/箱，当这种饮料降价后的销售单价为多少元时，该商店可获利3976元？设降价后的销售单价为元，则可列方程为________________． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． （1）求该高档水果销售量的月增长率． （2）如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【知识点八】题型解题优先级思路 1. 先判题型：快速区分增长率、传播、面积、利润、组合五类核心模型； 2. 套定公式：优先使用对应题型固定公式，减少列式错误； 3. 精准求解：规范解方程，不跳步骤； 4. 重点验根：实际问题验根是得分关键，缺一不可； 5. 规范作答：带单位、完整答题，规避格式扣分。 【题型 7】一元二次方程的实际应用——行程、工程问题 【例题7】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 （1）求甲计划每天整理多少本图书？ （2）学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【变式3】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江面上进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁本溪·二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，用的篱笆靠墙围成一个的矩形养鸡场．已知墙长，则该养鸡场中垂直于墙的边长为（   ）    A． B． C．或 D． 8．（24-25九年级上·河北保定·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 9．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则（   ）．    A．9 B．10 C．11 D．12 10．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 13．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 14．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 15．（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 16．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 17．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 18．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏南通·期末）某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 20．（本小题满分8分）（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． （1）若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． （2）若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 22．（本小题满分10分）（2025·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． （1）求该软件用户前三天的日平均增长率． （2）公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第3讲）——实际问题与一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】列一元二次方程解应用题通用步骤（必考模板） 2 【知识点二】增长率/下降率问题（高频基础题型） 2 【题型 1】一元二次方程的实际应用——增长率问题 2 【知识点三】传播、裂变问题（拔高必考题型） 4 【题型 2】一元二次方程的实际应用——传播、裂变问题 5 【知识点四】图形面积问题（期末大题核心） 7 【题型 3】一元二次方程的实际应用——图形与面积问题 7 【知识点五】销售利润问题（中考压轴高频） 10 【题型 4】一元二次方程的实际应用——销售与利润问题 10 【知识点六】握手、单循环比赛问题（选择填空必考） 13 【题型 5】一元二次方程的实际应用——握手、循环比赛问题 13 【知识点七】高频易错重难点汇总 15 【题型 6】一元二次方程的实际应用——增长率与销售利润问题 15 【知识点八】题型解题优先级思路 18 【题型 7】一元二次方程的实际应用——行程、工程问题 18 二.同步自测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 31 学习方法：先读概念定义→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】列一元二次方程解应用题通用步骤（必考模板） 1. 审：认真审题，读懂题意，找出题目中的已知量、未知量以及等量关系。 2. 设：设未知数，优先设直接未知数，复杂题型可设间接未知数，统一带单位。 3. 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 4. 解：求解一元二次方程，得到两个根。 5. 验：双重检验，先检验是否为方程的解，再检验是否符合实际生活意义。 6. 答：规范作答，标注单位，完整回应题目问题。 解题口诀：审设列解验答六步，实际负数全部舍 核心注意：实际问题中，长度、人数、增长率、面积等均为正数，不合题意的根必须舍去。 【知识点二】增长率/下降率问题（高频基础题型） 1. 适用场景：产量、销量、利润、人数、价格等连续增长或连续下降的变化问题； 2. 核心通用公式 （1）平均增长率模型：；（2）平均下降率模型：； 3. 字母含义：：初始基础量；：单次增长率/下降率；：变化次数；：最终变化后总量； 4. 关键结论（1）连续两次增长或下降，公式简化为：，是考试最常考形式； （2）增长率口诀：基量一加率，次方看次数，终量对等列方程. 【题型 1】一元二次方程的实际应用——增长率问题 【例题1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． （1）生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ （2）在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 【答案】（1）；（2）2560元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设生产1吨该药品的成本年平均降低率是，再结合两年前生产1吨某药品的成本是5000元，现在生产1吨该药品的成本是3200元，进行列方程，解方程，即可作答． （2）根据生产1吨该药品的成本年平均降低率是，进行列式计算得出明年生产1吨该药品的成本，即可作答． 解：（1）解：设生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意：， 解得：，（舍） 答：生产1吨该药品的成本年平均降低率是． （2）解：由（1）得生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意， 答：明年生产1吨该药品的成本是2560元． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 解：设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 【变式2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同． （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计到年底能否实现盈利万元的目标？ 【答案】（1）；（2）能实现盈利目标，理由见分析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设每年盈利的年增长率为x，则到年的盈利为万元，根据年盈利万元列方程即可； （2）计算年盈利万元，与万元作比较即可． 解：（1）解：设每年盈利的年增长率为x，根据题意得 或（不合题意，应舍去） 答：每年盈利的年增长率为； （2）解：（万元）， ， ∴能实现盈利目标． 【知识点三】传播、裂变问题（拔高必考题型） 1. 适用场景：病毒传播、细胞分裂、微信转发、疫情扩散、一传多类问题； 2. 核心模型：一轮传播后所有人参与下一轮传播，人数呈指数增长； 3. 通用公式：初始1个传染源，每轮每人传播人，经过两轮传播后总人数：，化简得：； 4. 易错点：总人数包含最初的传染源，不可遗漏初始量； 传播口诀：一轮传x人，两轮平方增，全员参与不落空。 【题型 2】一元二次方程的实际应用——传播、裂变问题 【例题2】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【答案】（1）每头发病生猪平均每天传染13头生猪；（2）若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据3天后生猪发病头数（每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论． 解：（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪． （2）解：3天后生猪发病头数为：（头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程即可． 解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 即：． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】（1）8个人；（2）会，理由见分析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 解：（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【知识点四】图形面积问题（期末大题核心） 1. 适用场景：矩形空地修路、边框宽度、草坪留白、裁剪图形、拼接面积变化。 2. 核心解题思路：通过平移、割补法，将不规则阴影面积转化为规则矩形面积计算。 3. 常见模型规律 ① 横竖等宽道路：平移道路至边缘，剩余草坪为新矩形，长和宽同时减去道路宽度； ② 四周等宽边框：内部图形长、宽均减去两倍边框宽度； ③ 无重叠裁剪：原图形面积减去多余部分面积，等于剩余图形面积。 面积口诀：道路平移凑整形，长宽减宽算新积 【题型 3】一元二次方程的实际应用——图形与面积问题 【例题3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． （1）天头长为 ；（用含x的代数式表示） （2）若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式，先根据宽表示出长，再代入面积公式即可列出方程. 解：∵设宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积长宽，且矩形面积为平方步， ∴代入得方程． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 【变式3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．求当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 【答案】当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用．设羊圈的宽为，则长为，根据题意，列出方程，即可求解． 解：设羊圈的宽为，则长为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 当时，长为，符合题意； 当时，长为，符合题意； 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【知识点五】销售利润问题（中考压轴高频） 1. 核心基础公式（所有利润题通用） 单件利润 = 售价 - 进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 2. 经典变化模型：涨价销量降、降价销量升 设涨价/降价元，新单件利润=原利润±，新销量=原销量∓变化数量。 3. 关键限制条件 售价、进价、利润均为正数；商品销量为正整数，需结合实际取舍根。 利润口诀：单利售价减进价，总利单利乘销量 【题型 4】一元二次方程的实际应用——销售与利润问题 【例题4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）洞庭东、西山枇杷是当下水果中的时令珍品，深受消费者喜爱，是苏州闪亮的初夏名片．某水果超市购进一批当地枇杷，进价为每斤24元．调查发现，当销售价为每斤40元时，平均每天能售出20斤，而当销售价每降价1元时，平均每天能多售出2斤． （1）当每斤枇杷的销售价降价6元时，每天销量可达 斤，每天盈利 元； （2）若水果超市要使这批枇杷的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每斤枇杷的销售价应是多少元？ 【答案】（1）32；320；（2）每斤枇杷的销售价应是35元 【分析】（1）根据降价幅度计算增加的销量，再结合每斤利润计算总盈利； （2）设每斤枇杷的销售价降价x元，根据“总利润每斤利润销售量”列一元二次方程，结合“让顾客得到实惠”的条件选取合适的解，计算得到最终销售价． 解：（1）解：（斤）， （元）， ∴当每斤枇杷销售价降价6元时，每天销量可达32斤，每天盈利320元； （2）解：设每斤枇杷的销售价降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要让顾客得到实惠， ∴， ∴， 答：每斤枇杷的销售价应是35元． 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 【变式2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某水果店经销一种水果，进价为每千克40元．按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克，若要使每天的利润为9750元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 【答案】7 【分析】设每千克这种水果应降价元，由题意：使每天的利润为9750元，列出一元二次方程， 解：设每千克这种水果应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 要尽快减少库存， ， ∴每千克这种水果应降价7元． 故答案为：7 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1）；（2）该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 解：（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 【知识点六】握手、单循环比赛问题（选择填空必考） 1. 适用场景：两两组合、不重复、不双向计数（握手、单循环球赛、两两签约）。 2. 通用公式 设有个对象，总组合次数： 3. 原理：每两个对象只发生一次互动，避免重复计算。 比赛握手口诀：两两配对不重复，二分之一x减一 【题型 5】一元二次方程的实际应用——握手、循环比赛问题 【例题5】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 【答案】共有30支队伍参赛 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． 设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可． 解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 【变式1】（2024·广东清远·一模）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程． 解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（单循环比赛场次问题），解题关键是根据单循环比赛场次公式列出方程求解． 设七年级有个班级，根据单循环比赛场次公式（总场数为）列方程解方程得班级个数． 解：设七年级班级个数为，则比赛总场数为， 根据题意得， 整理得， 解得或（舍去）， 七年级的班级个数为． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 【答案】南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，根据“所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛”建立方程求解即可． 解：设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛， 由题意得，， 解得：，（舍）， 答：南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛． 【知识点七】高频易错重难点汇总 1. 双重取舍：一元二次方程两个根，必须结合实际意义舍去不合理的根（负数、小数人数、超范围数值）。 2. 增长率次数区分：看清是增长两次、两年还是两个阶段，对应次方数不能错。 3. 面积平移误区：横竖多条道路，不可重复减去道路宽度，必须整体平移计算。 4. 利润变量对应：涨价对应销量减少，降价对应销量增加，变量增减关系不能颠倒。 5. 传播问题易错：总人数包含初始传染源，不可直接用新增人数代替总人数。 【题型 6】一元二次方程的实际应用——增长率与销售利润问题 【例题6】（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【答案】（1）每件售价应定为50元；（2）该款小商品的日平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； （2）解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A型号的单车，二期又投放了B型号的单车．已知B型号的单车的单价比A型号的单价提高的百分率是B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出关于x的一元二次方程即可 解：设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为， 则B型号的单车的单价比A型号的单价的增长率是， 把一期总投入看作1，由题意得： 故选：B 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决问题的关键 【变式2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）春节前夕，为减少库存，某商店决定对一种饮料进行降价促销，根据市场调查，这种饮料的销售单价定为120元/箱时，每天可售出100箱，销售单价每降低2元，每天可多售出7箱，已知每箱饮料的进价为80元/箱，当这种饮料降价后的销售单价为多少元时，该商店可获利3976元？设降价后的销售单价为元，则可列方程为________________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，设降价后的销售单价为元，由销售利润为3976元建立等量关系列方程即可得到答案，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键． 解：设降价后的销售单价为元，则每件利润为元，每天销量为箱， 由此可得， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． （1）求该高档水果销售量的月增长率． （2）如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）月增长率为 ；（2）每千克应涨价5元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）通过设月增长率为 ，根据10月和12月的销售量关系列出方程求解； （2）设每千克涨价 元，根据每天盈利6000元列出方程，并选择使顾客实惠的较小解． 解：（1）解：设月增长率为 ． ∵10月销售600千克，12月销售726千克， ∴． 化简得， ∴（舍去负根）， ∴，即月增长率为10%． （2）解：设每千克涨价元．每千克盈利为元， 日销售量为千克， 每天盈利为． 展开得， 整理得， 两边除以得， 解得， ∴或． 要使顾客实惠，取． 答：每千克应涨价5元． 【知识点八】题型解题优先级思路 1. 先判题型：快速区分增长率、传播、面积、利润、组合五类核心模型； 2. 套定公式：优先使用对应题型固定公式，减少列式错误； 3. 精准求解：规范解方程，不跳步骤； 4. 重点验根：实际问题验根是得分关键，缺一不可； 5. 规范作答：带单位、完整答题，规避格式扣分。 【题型 7】一元二次方程的实际应用——行程、工程问题 【例题7】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 （1）求甲计划每天整理多少本图书？ （2）学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】（1）600；（2）50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 解：（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 解：设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 【变式3】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江面上进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】（1）甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时；（2）的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题思路是根据降价过程依次表示两次降价后的价格，再结合题意列方程． 解：∵已知商品原价为121元，两次降价的平均下降率为， ∴第一次降价后的价格为， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下降， 因此第二次降价后的价格为， 又∵两次降价后售价为81元， ∴可列方程为， 因此选A． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 5．（2026·辽宁本溪·二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 6．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用（利润问题），理清“利润、售价、进价、销量”之间的关系是解题的关键．根据利润单件利润销量，先得出降价后每件的利润为元，销量为件，进而列出总利润为元的方程． 解：每件售价降低元，则每件利润为元， 销量为件， 总利润方程为． 故选：． 7．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，用的篱笆靠墙围成一个的矩形养鸡场．已知墙长，则该养鸡场中垂直于墙的边长为（   ）    A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握根据几何图形的边长与面积关系列方程，并结合实际限制条件筛选解是解题的关键． 设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米，根据面积列方程求解，再结合墙长限制筛选符合条件的解． 解：设该养鸡场中垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米 ∵ 养鸡场的面积为 ∴ 整理方程得： 因式分解得： 解得：或 ∵墙长为， ∴平行于墙的边长不能超过 当时，平行于墙的边长为米 ∵，不符合墙长限制，故舍去； 当时，平行于墙的边长为米 ∵，符合墙长限制 ∴ 该养鸡场中垂直于墙的边长为． 故选：B． 8．（24-25九年级上·河北保定·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ∴， 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 9．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则（   ）．    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有4×（4+1）+2=22个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 10．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·江苏泰州·一模）某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 解：根据题意， 可列方程为． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 13．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可直接列出方程即可． 解：由题意可得方程为，化为一般形式为； 故答案为． 14．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先观察这四个数的特点可知左上角最小数与右下最大数的差是8，再设未知数，根据乘积等于153列出方程，求出解即可. 解：设最小数为x，则最大数为，根据题意，得 ， 解得（舍去），， 所以这个最小数为9. 故答案为：9. 15．（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 16．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 17．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 18．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 【答案】米或米 【分析】设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，然后解方程即可． 解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或米． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏南通·期末）某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率为；（2）预计该商场7月份投入资金将达到万元 【分析】（1）先设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据4月份和6月份的投入资金列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根得到增长率； （2）利用增长率计算7月份的投入资金即可． 解：（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商场投入资金的月平均增长率为； （2）解：由（1）得月平均增长率为， ∴7月份投入资金为：（万元）， 答：预计该商场7月份投入资金将达到万元． 20．（本小题满分8分）（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． （1）若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． （2）若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】（1）矩形菜地的长和宽都为10米；（2）不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 解：（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】（1）；（2）该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 解：（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 22．（本小题满分10分）（2025·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】（1）300；（2）5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 解：（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）；（2）套 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 解：（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）解∶（元）， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． （1）求该软件用户前三天的日平均增长率． （2）公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 【答案】（1）该软件用户前三天的日平均增长率为；（2）①会员价应为34元/月或36元/月； ②公司每天的会员优享业务收入不能达到元，理由如下： 设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴公司每天的会员优享业务收入不能达到元． 【分析】（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x，根据第一天用户量和第三天的用户量建立方程求解即可； （2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，根据每天的会员优享业务收入达到元建立方程求解即可；②设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元，可求出，根据偶次方的非负性可推出，据此可得结论． 解：（1）解：设该软件用户前三天的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该软件用户前三天的日平均增长率为； （2）解：①设会员价在元/月的基础上提高m元/月， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴或， 答：会员价应为34元/月或36元/月； ②略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $