26.3 二次函数与一元二次方程（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“二次函数与一元二次方程”核心知识点，系统梳理二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0的等价关系，即抛物线与x轴交点横坐标为方程根。通过判别式Δ判断交点个数，结合图像求近似根，延伸至解不等式及实际问题，构建从函数到方程再到应用的完整学习支架。 资料以数形结合为核心，通过表格对比判别式与交点情况培养几何直观（数学眼光），分题型设计解题贴士与例题提升推理能力（数学思维）。随学随练与活学活用环节结合实例，强化应用意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识盲点。

第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课标要点 1.理解二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的联系，知道抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根； 2.会利用一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，判断抛物线与x轴的交点个数； 3.能利用二次函数图像求对应一元二次方程的近似根； 4.会结合二次函数图像解对应的一元二次不等式，体会数形结合思想； 5.能综合运用二次函数与一元二次方程的知识解决简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴交点和一元二次方程ax2+bx+c=0根的对应关系；2.会用判别式Δ=b2−4ac判断抛物线与x轴交点个数； 3.理解数形结合，会借助函数图像看方程的根。 难点： 1.分清“函数值为0”“方程的根”“抛物线与x轴交点横坐标”三者之间的等价关系； 2.判别式含参数题型，既要考虑Δ取值，还要牢记二次函数前提a≠0； 3.利用函数图像求解一元二次不等式，看懂图像上、对应的x取值； 4.实际问题中，结合图像与方程求解，注意自变量的实际取值限制。 知识点二次函数与一元二次方程的联系 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当y=0时，函数就转化为一元二次方程：ax²+bx+c=0(a≠0) 1.等价关系(数形结合核心) 抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。 若抛物线交x轴于点(x1，0)、(x2，0),则x1、x2就是方程ax²+bx+c=0的两个根。 反过来：方程的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。 2.判别式△=b2-4ac判断交点个数 判别式取值 一元二次方程根的情况 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点 Δ>0 有两个不相等的实数根、 2个交点(x1，0)，(x2，0) Δ=0 有两个相等的实数根 x1​=x2​ 1个交点，抛物线顶点落在x轴上 Δ<0 没有实数根 没有交点 重要前提：以上全部结论成立的条件是；如果，就不再是二次函数、也不是一元二次方程。 3.根与对称轴关系 若方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，抛物线与x轴交于(x1,0)，(x2,0), 对称轴： 二、利用二次函数图像求方程的近似根 1.画出二次函数y=ax²+bx+c图像； 2.观察图像，读出抛物线与x轴交点的横坐标； 3.交点横坐标就是方程ax²+bx+c=0的近似实数根。 注意：图像只能得到近似根，想要精确根需要解方程。 随学随练 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 4．（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 拓展限定自变量范围下，抛物线与直线交点问题 题型特点：给定x的取值不等式，抛物线和直线有唯一交点/有交点/有两个交点，求字母参数范围。 核心易错：一元二次方程有根，不等于在题目给的x范围内就有交点。判别式只能判断全体实数下根的情况，一定要把根和题目给的x范围做对比。 通用做题步骤 1.联立两个函数解析式，消去y，整理成一元二次方程。 2.分两种分析手段，结合画图思考 手段①：判别式 ：方程有两个相等实数根，代表图像整体相切。 必须把求出来的x算出来，检验这个x是否满足题目的x取值不等式。 ①如果x符合题目范围：这个切点是有效交点； ②如果x不满足题目范围：就算△=0，指定范围内也没有交点。 手段②：代入区间两端的x值算y值 把范围的两个边界x，分别代入「抛物线解析式、直线解析式」,算出对应的y。比较同一个x处，抛物线y和直线y的大小： ①一边抛物线在直线上方，另一边抛物线在直线下方，说明中间图像会交叉，存在交点。 ②如果交点刚好落在边界的x上：要看题目能不能取这个x。 活学活用 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 2．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 3．（2026·广西南宁·一模）当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型一 求抛物线与x轴的交点 解题贴士 抛物线解析式： x轴上点的特点：纵坐标，所以求交点就是令，解一元二次方程 完整步骤 1.令函数的，得到一元二次方程： 2.解这个一元二次方程，分三种情况(看判别式 ①△>0：方程有两个不相等实数根、→抛物线与x轴有两个交点：(,0)、(,0) ②△=0：方程有两个相等实数根→抛物线与x轴只有1个交点(相切，顶点落在x轴上)：(,0) ③△<0：方程没有实数根→抛物线与x轴没有交点 3.写出交点坐标：把解出来的x，搭配纵坐标0写成(x，0)。 ▌例1（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． ▌对点练1-2．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 题型二 求抛物线与y轴的交点 解题贴士 y轴上点的特征：横坐标x=0，求抛物线与y轴交点，就是把x=0代入抛物线解析式。 完整解题步骤 1.将x=0代入抛物线函数表达式； 2.计算对应的y值； 3.交点坐标写成(0，y)。 ▌例2（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的图象与轴交点坐标是______． ▌对点练2-1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）抛物线交y轴于点，则c的值是______． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知抛物线． （1）若抛物线经过原点，则的值为__________． （2）若抛物线关于轴对称，则抛物线与轴的交点坐标为__________． 题型三 抛物线与x轴交点求参数取值范围 解题贴士 分两大类：①x取全体实数；②限定x的取值范围，后者是中考高频易错。 一、自变量x取全体实数(没有范围限制) 抛物线(式中含有参数，如a、b、c有字母)令，得到一元二次方程。 用判别式判断交点个数： 1.有2个交点：，解不等式求参数； 2.有1个交点(相切)：，解方程求参数； 3.没有交点：，解不等式求参数。 ▌例3（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． ▌对点练3-1．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____． ▌对点练3-3．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 题型四 图象法确定抛物线的近似根 解题贴士 一元二次方程的根，就是二次函数中，时对应的x值，也就是抛物线与x轴交点的横坐标。 看表格：找y的值由负变正（或由正变负）的相邻两个x，说明就在这两个x之间。 哪个y的数值最接近0,对应的x就是方程的近似根。 ▌例4（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 题型五 利用不等式求自变量或参数的取值范围 ▌例5（25-26九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·内蒙古兴安·期末）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是_______ 题型六 根据交点确定不等式的解集 解题贴士 通用解题步骤(初中) 1.先读懂不等式两边分别对应哪个函数：例： 左边：抛物线；右边：直线；不等式含义： 2.找到两个图像交点的横坐标，交点就是的位置。 3.交点把x轴分成几段，看图判断： ①求：找抛物线在直线下方(包含交点)的x范围 ②求：找抛物线在直线上方(包含交点)的x范围 不等号不带等号<、>：不把交点的x算进解集； 不等号带等号≤、≥：必须把交点x写进解集。 ▌例6（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． ▌对点练6-1．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． ▌对点练6-2．（25-26九年级下·湖北十堰·自主招生）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________． 题型七 抛物线交点问题解答题综合 ▌例7（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． ▌对点练7-1．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，请求出m的取值范围． ▌对点练7-2．（25-26九年级下·河南郑州·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 基础通关 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 7．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 8．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 9．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 10．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 11．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 13．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 素养提升 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 5．（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 7．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 8．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 10．（2026年北京市朝阳区中考考前模拟模拟数学试卷）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 迁移创新 1．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 2．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课标要点 1.理解二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的联系，知道抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根； 2.会利用一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，判断抛物线与x轴的交点个数； 3.能利用二次函数图像求对应一元二次方程的近似根； 4.会结合二次函数图像解对应的一元二次不等式，体会数形结合思想； 5.能综合运用二次函数与一元二次方程的知识解决简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴交点和一元二次方程ax2+bx+c=0根的对应关系；2.会用判别式Δ=b2−4ac判断抛物线与x轴交点个数； 3.理解数形结合，会借助函数图像看方程的根。 难点： 1.分清“函数值为0”“方程的根”“抛物线与x轴交点横坐标”三者之间的等价关系； 2.判别式含参数题型，既要考虑Δ取值，还要牢记二次函数前提a≠0； 3.利用函数图像求解一元二次不等式，看懂图像上、对应的x取值； 4.实际问题中，结合图像与方程求解，注意自变量的实际取值限制。 知识点二次函数与一元二次方程的联系 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当y=0时，函数就转化为一元二次方程：ax²+bx+c=0(a≠0) 1.等价关系(数形结合核心) 抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。 若抛物线交x轴于点(x1，0)、(x2，0),则x1、x2就是方程ax²+bx+c=0的两个根。 反过来：方程的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。 2.判别式△=b2-4ac判断交点个数 判别式取值 一元二次方程根的情况 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点 Δ>0 有两个不相等的实数根、 2个交点(x1，0)，(x2，0) Δ=0 有两个相等的实数根 x1​=x2​ 1个交点，抛物线顶点落在x轴上 Δ<0 没有实数根 没有交点 重要前提：以上全部结论成立的条件是；如果，就不再是二次函数、也不是一元二次方程。 3.根与对称轴关系 若方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，抛物线与x轴交于(x1,0)，(x2,0), 对称轴： 二、利用二次函数图像求方程的近似根 1.画出二次函数y=ax²+bx+c图像； 2.观察图像，读出抛物线与x轴交点的横坐标； 3.交点横坐标就是方程ax²+bx+c=0的近似实数根。 注意：图像只能得到近似根，想要精确根需要解方程。 随学随练 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，以及抛物线与轴交点个数和判别式的关系，根据条件列出关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵题目给出的是二次函数，且图象与轴有两个交点， ∴需要同时满足两个条件：二次项系数不为，根的判别式， 由判别式公式得 因此可得不等式组， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 2．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 【答案】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 4．（2026·广东深圳·三模）已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 拓展限定自变量范围下，抛物线与直线交点问题 题型特点：给定x的取值不等式，抛物线和直线有唯一交点/有交点/有两个交点，求字母参数范围。 核心易错：一元二次方程有根，不等于在题目给的x范围内就有交点。判别式只能判断全体实数下根的情况，一定要把根和题目给的x范围做对比。 通用做题步骤 1.联立两个函数解析式，消去y，整理成一元二次方程。 2.分两种分析手段，结合画图思考 手段①：判别式 ：方程有两个相等实数根，代表图像整体相切。 必须把求出来的x算出来，检验这个x是否满足题目的x取值不等式。 ①如果x符合题目范围：这个切点是有效交点； ②如果x不满足题目范围：就算△=0，指定范围内也没有交点。 手段②：代入区间两端的x值算y值 把范围的两个边界x，分别代入「抛物线解析式、直线解析式」,算出对应的y。比较同一个x处，抛物线y和直线y的大小： ①一边抛物线在直线上方，另一边抛物线在直线下方，说明中间图像会交叉，存在交点。 ②如果交点刚好落在边界的x上：要看题目能不能取这个x。 活学活用 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 2．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 3．（2026·广西南宁·一模）当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将和代入求出直线经过，再分别将点坐标代入抛物线解析式求出t的值，求出抛物线与直线只有1个交点时t的值，进而求解． 【详解】解：将代入得， 将代入得， ∴直线经过， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 令，整理得， 当时，， 此时抛物线与直线只有1个交点，， 解得， 综上所述，当时满足题意． 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，通过表格数据可得直线对称轴，则可得出，从而求出，再根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和关于对称轴对称， ∴对称轴， ∵点和在抛物线上，且对称轴， ∴， 设抛物线为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 则当时，，当时，，当时，， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴的取值范围是， 故选：． 题型一 求抛物线与x轴的交点 解题贴士 抛物线解析式： x轴上点的特点：纵坐标，所以求交点就是令，解一元二次方程 完整步骤 1.令函数的，得到一元二次方程： 2.解这个一元二次方程，分三种情况(看判别式 ①△>0：方程有两个不相等实数根、→抛物线与x轴有两个交点：(,0)、(,0) ②△=0：方程有两个相等实数根→抛物线与x轴只有1个交点(相切，顶点落在x轴上)：(,0) ③△<0：方程没有实数根→抛物线与x轴没有交点 3.写出交点坐标：把解出来的x，搭配纵坐标0写成(x，0)。 ▌例1（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． ▌对点练1-2．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 题型二 求抛物线与y轴的交点 解题贴士 y轴上点的特征：横坐标x=0，求抛物线与y轴交点，就是把x=0代入抛物线解析式。 完整解题步骤 1.将x=0代入抛物线函数表达式； 2.计算对应的y值； 3.交点坐标写成(0，y)。 ▌例2（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 根据题意，求出时的函数值即可得到二次函数图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为． 故答案为：． ▌对点练2-1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）抛物线交y轴于点，则c的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与y轴的交点，根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0列式求解即可． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点， ∴ 解得，， 故答案为：． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知抛物线． （1）若抛物线经过原点，则的值为__________． （2）若抛物线关于轴对称，则抛物线与轴的交点坐标为__________． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质，求抛物线与y轴交点，掌握二次函数的图形和性质是解题的关键． （1）把原点坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）根据抛物线关于轴对称，则得，从而得抛物线解析式，令即可求得抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴当时，， ∴； 故答案为：3． （2）∵抛物线关于轴对称， ∴， ∴抛物线解析式为， 令，即， 则抛物线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 题型三 抛物线与x轴交点求参数取值范围 解题贴士 分两大类：①x取全体实数；②限定x的取值范围，后者是中考高频易错。 一、自变量x取全体实数(没有范围限制) 抛物线(式中含有参数，如a、b、c有字母)令，得到一元二次方程。 用判别式判断交点个数： 1.有2个交点：，解不等式求参数； 2.有1个交点(相切)：，解方程求参数； 3.没有交点：，解不等式求参数。 ▌例3（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． ▌对点练3-1．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____． 【答案】或 【分析】函数为二次函数，与轴恒有一个交点，因此与坐标轴只有两个交点需分两种情况讨论：一是二次函数与轴只有一个交点，与轴交于异于原点的点，共两个交点；二是二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为原点，此时与轴交点和原点重合，总交点数为两个，据此分别求解即可． 【详解】解：是二次函数，当时，， 函数图象与轴恒有一个交点， 函数图象与坐标轴只有两个交点，分两种情况讨论： 情况1：抛物线与轴只有一个交点，且交点不是原点， 此时根的判别式，且，即， 解得， 情况2：抛物线与轴有两个不同交点，且其中一个交点为原点，此时原点为抛物线与坐标轴的公共交点，总交点数为， 将代入函数解析式得， 检验：当时，，抛物线与轴有两个不同交点，符合题意； 综上，的值为或． ▌对点练3-3．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 题型四 图象法确定抛物线的近似根 解题贴士 一元二次方程的根，就是二次函数中，时对应的x值，也就是抛物线与x轴交点的横坐标。 看表格：找y的值由负变正（或由正变负）的相邻两个x，说明就在这两个x之间。 哪个y的数值最接近0,对应的x就是方程的近似根。 ▌例4（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 题型五 利用不等式求自变量或参数的取值范围 ▌例5（25-26九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质和解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键；先根据点 M 和 N 在函数图象上求出和的表达式，再代入不等式，并结合点 P 在函数上得到 p 的表达式，消去常数 d 后得到关于 k 的不等式组，解不等式组即可得到 k 的取值范围． 【详解】解：∵在二次函数 上， ∴． ∵在二次函数上， ∴． ∵， ∴． 又∵ 在二次函数上， ∴， 代入不等式得 ． 即 ． 解左边不等式 即， 因式分解得， 解得 或 ． 解右边不等式，即， 因式分解得，解得 ． 取交集，得或 ． 故答案为或 ． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·内蒙古兴安·期末）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． 由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，得出，由，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【详解】解：该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵，， ∴点B在点A右侧， ∵，，都有， ∴当时，，即，解得， 对于，都有， ∴，两边平方得：， ∴， ∴，即，综上所述： 故答案为． 题型六 根据交点确定不等式的解集 解题贴士 通用解题步骤(初中) 1.先读懂不等式两边分别对应哪个函数：例： 左边：抛物线；右边：直线；不等式含义： 2.找到两个图像交点的横坐标，交点就是的位置。 3.交点把x轴分成几段，看图判断： ①求：找抛物线在直线下方(包含交点)的x范围 ②求：找抛物线在直线上方(包含交点)的x范围 不等号不带等号<、>：不把交点的x算进解集； 不等号带等号≤、≥：必须把交点x写进解集。 ▌例6（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． ▌对点练6-1．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． ▌对点练6-2．（25-26九年级下·湖北十堰·自主招生）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】根据题目要求不等式的解集，先根据一次函数对称性和抛物线关于轴对称，得到直线关于轴对称的直线，从而确定抛物线与直线交于，两点，最后由函数图象关系求不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：直线与直线关于轴对称，抛物线的对称轴为轴，且抛物线与直线交于，两点， 抛物线与直线交于，两点，如图所示： ∵， ∴， 由图象可知，当或时，抛物线在直线上方， 不等式的解集是或． 【点睛】由题目问题出发，想将要求解的不等式转化为能用函数图象关系求解，就必须利用一次函数对称性得到直线关于轴对称的直线，这是解题的关键也是难点所在． 题型七 抛物线交点问题解答题综合 ▌例7（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2) (3)①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． ▌对点练7-1．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，请求出m的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用题干信息抛物线的顶点式找出顶点坐标即可求解； （2）理解整点（横纵坐标为整数）的概念，再用抛物线与 轴交点求B点横坐标，最后利用数形结合思想找出区域内含整点的计数方法（结合图像对称性）确定B的横坐标取值范围求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2） 由抛物线可知，其对称轴为直线，其顶点为 . 又∵抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点， ∴由图可知线段上必须包含5个整点，即轴上的整点的取值为：，0，1，2，3． ∴抛物线与轴的交点B的横坐标应满足， 令，得，解得， ∴，即， ∴，即， ∴解得， ∴m的取值范围为：． ▌对点练7-2．（25-26九年级下·河南郑州·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 基础通关 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 4．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系求出和，再计算的值； 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：，， ∴． 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 7．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先根据对称轴求出的值，将方程有解转化为求二次函数在范围内的取值，即可得到的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 配方得， 函数开口向上，最小值在处取得，为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是， ∵一元二次方程在范围内有解，等价于在该范围内有解， ∴的取值范围是． 8．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 9．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 10．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 11．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点 ，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 13．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 素养提升 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，则可判断当时，若抛物线只经过三个象限，抛物线经过第一、二、三象限，由此列不等式组，然后解不等式组即可．当时，则，此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线图象只过三个象限， 当时，则经过第一、二、三象限， 抛物线与x轴有两个交点，与y轴交点在x轴上或x轴上方， ，即 解得； 当时，则， 抛物线与y轴交点在x轴上方， 此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 的取值范围为． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 5．（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 6．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 7．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 8．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 10．（2026年北京市朝阳区中考考前模拟模拟数学试卷）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 迁移创新 1．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设 ，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设 ， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 2．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $