3.5点与圆、直线与圆的位置关系 知识梳理+同步练习 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

该初中数学导学案聚焦“点与圆、直线与圆的位置关系”，梳理点与圆的位置判定、直线与圆的相离相切相交条件、切线性质与判定定理等核心知识，通过复习圆的半径与距离概念导入，以定义、数量关系、证明方法为支架，衔接圆的基本性质，构建完整知识脉络。 资料特色在于知识结构化呈现（如切线证明分“有切点连半径证垂直”“无切点作垂直证半径”），同步练习分层设计（选择辨析基础、填空应用中档、解答综合证明），结合实际问题（如铁环半径测量），培养学生几何直观、推理能力与应用意识，助力学生用数学思维分析问题，提升解决问题效率。

3.5点与圆、直线与圆的位置关系（知识梳理+同步练习） 一、点与圆的位置关系 设圆的半径为r,平面内一点到圆心的距离为d。 1.点在圆外：d>r 2.点在圆上：d=r 3.点在圆内：d<r 二、直线与圆的位置关系 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d。 1.相离：直线与圆无公共点，d>r 2.相切：直线与圆有唯一公共点，d=r,直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 3.相交：直线与圆有两个公共点，d<r,直线叫做圆的割线 三、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何结论：若直线与圆相切于一点，则圆心与切点的连线垂直于该切线。 四、切线的判定定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定必备两个条件（缺一不可）： 1.直线经过半径外端， 2.直线与该半径互相垂直。 五、切线证明两种常用方法 1.有切点，连半径，证垂直：已知直线过圆上一点，连接圆心与该点，证明垂直即可证切线。 2.无切点，作垂直，证半径：未知切点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于半径即可证 切线。 六、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。 推论：圆外一点与圆心的连线，平分两条切线的夹角，且垂直平分两切点的连线。 七、三角形的内切圆与内心 1内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2.内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 3.内心性质：内心到三角形三边的距离相等，距离长度为内切圆半径。 4.任意三角形有且只有一个内切圆，一个圆有无数个外切三角形 同步练习 一、单选题 1.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)已知⊙0的半径为3cm,线段OA=5cm,则点A与⊙0的 位置关系是（) A,点A在⊙0外B.点A在⊙0上 C.点A在⊙0内 D.不能确定 2.(24-25九年级下.全国随堂练习)如图，AC与⊙0相切于点A,∠B=50°，则∠BAC=（) A.40° B.50° C.60° D.70° 3.(25-26九年级上·陕西安康阶段检测)⊙0的半径为r,某直线与该圆有公共点，且与圆心的距 离为d,则（) A.d=r B.d<r c.d≥r D.dsr 4.(25-26九年级上·全国期未)如图，AB是⊙0的直径，点C在AB的延长线上，CD与O0相切 切点为点D,如果∠A=35°，那么∠C=() D B A.20° B.30° C.40° D.50° 5·(24-25九年级上山东威海期末)如图，AB与⊙0相切于点A,OB交⊙0于点C,点D在⊙0 上，连接CD,AD.若∠B=40°，则∠CDA=（) A.20° B.25° C.30° D.40° 6,(24-25九年级上重庆合川期末)如图，以AB为直径的⊙0交AC于点E,BC是⊙0的切线 点D为BC中点，连接DE.若4C=2.DE=3.则O0的半径是() E B D C A.4 B.3 C.2 D.2 7,(2026-山东淄博一模)如图，EA,ED是⊙O的切线，切点为A,D,点B,C在圆O0上，若 ∠ABC+∠CDE=235° 则∠E=() B ·0 A.55° B.65° C.70° D.78 8,(25-26九年级上陕西安康阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的一边BC为 直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F,与DC相交于点E,则 △ADE的面积为（) B A.12 B.24 C.8 D.6 9,(第三十章直线与圆的位置关系高效同步练习30.1.1直线与圆相离、相切、相交)如图 ∠O=30° OA OP=5 OB P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点 则半径r的取值范围是（) 、B A·r=5 8.r= 2 r<5 C.2 D.=2或>5 10.(2026山东临沂.二模)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为 2和1画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是 () D A.6 B.7 C.8 D.10 二、填空题 11.(2026贵州黔西南模拟预测)已知矩形ABCD,AB=4,AD=3,以点A为圆心，AB为半径 作⊙A,则点D在⊙A (填外”“内”或“上”)· B 12.(2026江苏徐州模拟预测)如图，AB是⊙O的弦，PB与OO相切于点B,圆心O在线段PA上， 已知∠PAB=20°，则∠P的度数是 B 13.(25-26九年级上甘肃定西阶段检测)若点P到⊙0上的点的最小距离是4，最大距离是6，则 ⊙0 的半径为 14.(2026山东潍坊.一模)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴交于点A、B,与x轴相切于点 C点M的坐标为4,5 ,则点A的坐标为 M. 15.(2026云南.一模)已知⊙0的半径为7cm,点P到圆心0的距离为d,若点P在⊙0内，则d的 取值范围中整数的个数为 16.(第三十章直线与圆的位置关系高效同步练习30.1.2圆的切线第2课时切线长定理)为了测量 一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角 尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角尺与铁环相切， 且测得PA=5cm,则铁环的半径为 O。 0cm51015202530 17,(25-26九年级上甘肃兰州期末)如图，⊙0为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M,N,Q,已知 ∠ABC=90°，CM=2,AM=3 3,则00的半径为 18.(25-26九年级上江苏连云港阶段检测)矩形ABCD中，AB=5,AD=12,以点A为圆心画⊙A, 使点B在⊙A内，点C在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 19.(24-25九年级上河北石家庄期末)如图，OM的圆心为M(2,0),半径为1，P是直线 y=x+ 2上的一个动点，过点P作OM的切线，切点为P,则P的最小值为 PO y=x+2 20.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在平面直角坐标系中已知1(-10)），B(3,0）⊙0经 过点A,D是⊙O上的一动点，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,连接AC,则AC的 取值范围是 B 三、解答题 21,(2026湖南永州模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一 点，且酝=DE,过点B作EF L BC于点I延长FE和BM的延长线交于点G. C E D G A (1)证明：GF是⊙0的切线； ②若4G=6,GE=65求©0的半径. 22.(2026甘肃兰州中考真题)如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，E为AB延长线上一 点，延长ED交OO于点C,∠BDE=2∠BAC,连接OD B E D C (1)求证：CE是O0的切线； (2)若CD=2,DE=5,求⊙0的半径. 23,(25-26九年级上·陕西安康阶段检测)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠ACB=90° 以CD为直径作⊙O,分别交AC,BC于点M,N,过点M作ME⊥AB于点E, (1)求证：ME是⊙O的切线； (2)若CD=5,AC=8,求ME的长. 24.（下册第三章追梦基础训练卷（二))如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=C ⊙O,Rt△ABC ⊙0 为 的内切圆，切点分别为D、E、F,的半径为r.试用含a、b、c的代数式表示r. E 小亮的思路：连接OD、OE.因为⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,所以 BD=BR,MF=G。且OD1BCOE1AC易证四边形oDCB为正方形所以DC=CE=”.因为 ,且 DC+CE=(BC-BD)+(AC-AE)=BC+AC-(BD+AE)=BC+AC-(BF+AF)=BC+AC-AB ,所以 r=BC+AC-AB 2 即r=a+b-c 2 小丽的思路是分别连接AO、BO和CO,把△ABC分割成3个小三角形：△AOB、△BOC和△COA 利用这3个小三角形的面积之和等于△ABC的面积求出r· (1)尝试按照小丽的思路求出； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果不一样，但是它们都等于 ⊙0 的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释. 25.(2026贵州中考真题)如图，已知B是00的直径点P,C在⊙0上，PA=P℃ B (1)线段PA与线段PC的数量关系是 若连接AC,则直线PO与AC的位置关系是 (2)求证：POI‖BC; 过点P作O0的切线，过点4作4D1/于点D.根据题意补全图形若PD=25,BC=2求 ⊙0 的半径. 26.(25-26九年级上·云南昆明期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙0的直径∠ACB的平 分线CD交AB于点F,交OO于点D,连接AD,过点D作DEI‖AB,交CB的延长线于点E. D E D B 备用图 (1)若∠BAC=20°，求∠ADC的度数； (2)求证：直线DE是⊙O的切线； (3)是否存在常数m,n,使得等式ACBC=mCD2-n4D成立？若存在，请直接写出一个m的值和一 个的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由· 答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 答案 A A D A B C C D D B 1.A 【详解】解：⊙0的半径为3cm,OA=5cm,且5>3 点A在⊙0外. 2.A 【详解】解：AC与⊙O相切于点A, .∠OAC=90° ..OA=OB .∠OAB=∠B=50° .∠BAC=∠OAC-∠OAB=40° 故选：A 3.D 【详解】解：直线与⊙0有公共点， ∴直线与圆相交或相切· 直线与圆相交时d<r,相切时d=r, .d≤r. 4.A 【详解】解：连接BD,OD B CD与⊙O相切，切点为点D, ∴.OD⊥DC,即∠ODC=∠ODB+∠BDC=90° ..OB=OD ∴.∠OBD=∠ODB AB是⊙O的直径，则∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°， .∠ABD=90°-∠A=55° ∠ABD+∠A=90,∠ODB+∠BDC=90°，∠ODB=∠ABD .∠BDC=∠A=35° .∠C=∠ABD-∠BDC=20° 故答案为：A 5.B 【详解】解：如图所示，连接OA D :AB与⊙O相切于点A, ∴.∠BAO=90° .∠B=40°， .∠AOB=180°-∠BAO-∠B=50° ∠CDA72A0B=2 故选：B. 6.c 【详解】解：连接BE 公 是 的直径 B D C:AB⊙0 ∴.∠AEB=90° .∠CEB=90° .D BC DE=3 点”为中点， ..BC=2DE=6 :BC⊙O 是的切线， ∴.∠ABC=90° AC=2v13 :.AB=AC2-BC2=4 ∴OA=OB=2 则⊙0的半径是2， 故选：C. 7.C 【详解】解：如图，连接AD, E B 四边形ABCD是OO的内接四边形， .∠ABC+∠ADC=180° ·∠ABC+∠CDE=235° .∠EDA=55° EA,ED是⊙O的切线 ∴EA=ED .∠EDA=∠EAD=55 ∴.∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-55°-55°=70° 故选：C. 8.D 【详解】解：四边形ABCD是正方形 AB⊥BCDC⊥BC ..AB DC 0 是圆的切线， .AE F 与圆切于点， 根据切线长定理有AF=AB=4,EF=EC 设EF=EC=x 则DE=4-x,AE=4+x “四边形 ABCD 是正方形 .∠ADE=90° ·三角形ADE是直角三角形 在三角形ADE中由勾股定理得： (4-x)2+42=(4+x)2 x=1 ∴，CE=1 .DE=4-1=3 .SADE=AD.DE÷2=3×4÷2=6 9.D 【详钢解：如图，过点P作C1OB于点C,则Pc-0P- 2 5 即当'=2时，此时OP与射线OB只有一个公共点： 如图，当r>5时，则⊙P与射线OB只有一个公共点，此时r>5: 综上，当或，>5时，0P与射线OB只有一个公共点 10.B 【详解】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形ABCD以及对称⊙D',连接 D交BC于P,则EF就是 EF E+PF 最小值 B 矩形 中， 的半径为2， 的 A ABCD AB=4BC=6⊙A OD 半径为1， .A'D'=BC=6 AA'=2AB=8 AE=2 D'F'=DF=1 .AD=V62+82=10 ∴.EF'=10-2-1=7 :.(PE+PF)i=PE+PF'=EF'=7 11.内 【详解】解：如图：矩形ABCD,AB=4,AD=3,以点A为圆心，AB为半径作⊙A ∴点D到圆心A的距离d=3,⊙A的半径r=4, ..d<r, ∴点D在OA内 12.50°/50度 【详解】解：如图所示，连接OB B .∠PAB=20 .∠POB=2∠PAB=40° :PB与⊙O相切于点B, .∠OBP=90° ∠P=90°-∠P0B=50° 13.5或1 【详解】解：：点P到⊙0上的点的最小距离是4，最大距离是6， 4+6=5: :当点p在圆内时，00的半径= 6-41 当点p在圆外时，O0的半径= 综上所述，⊙0的半径为5或1， 故答案为：5或1. 14.(0,8) 【详解】解：连接MC,MA,过点M作ME⊥AB于点E,如图所示： M B :⊙M与x轴相切于点C, ∴.MC⊥x轴 .∠MCO=∠COB=∠ME0=90° ∴.四边形OCME是矩形 :点M的坐标为45) .MC=OE=MA=5,ME=4 ∴在Ra1EM中，由勾股定理可得AE=VAM-ME=3 .A0=3+5=8 点A的坐标为08) 15.7 【详解】已知O0的半径r=7cm 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离 为非负数 因此可得d的取值范围为0≤d<7, 该范围内的整数为0,1,2,34,5,6，共7个. 16.5v3cm 【详解】解：过O作OO1AB于O,连接OP、OA,如图， 0 P XA 0cm51015202530 :AP为⊙O的切线，AQ为⊙O的切线， AO为∠PA犯的平分线，即∠PA0=∠0AO 又：∠BAC=60°，∠PAO+∠QAO+∠BAC=180° .∠PA0=∠QA0=60° ∴.∠P0A=30° 在Rt△OPA中，PA=5cm,∠POA=30°， ..O4=2PA=10cm :OP=O-PM=Vi02-S=5W5(cm),即铁环的半径为53cm. 17.1 【详解】解：如图，连接ON,OQ BC,AB为⊙0切线 .ON⊥AB,OQ⊥BC .∠ONB=∠OQB=90° ∠B=90 ∴.四边形ONBQ为矩形 ..ON =00 .矩形ONBQ为正方形. 设O0的半径为T,则BN=B0=ON=r. ,⊙O为Rt△ABC的内切圆， .CM=CO=2,AM=AN=3 在Rt△1BC中，根据勾股定理得+2)+(+3)=(2+3 解得15=6 （舍去)· .⊙0的半径为1. 故答案为：1 18.5<r<13 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， .AB=CD=5,AD=BC=12 AC=V52+12=13 :点B在⊙A内，点C在⊙A外 .5<r<13 故答案为：5<r<13. 19.6 【详解】解：如图，连接MP、Mg y=x+2 ~PP是OM的切线，oM的圆心为M(2,0) 半径为1 .Mg⊥PQ,OM=2,M=1 PO=PM2-OM2=PM2-P=VPM21 当PM最小时，P最小 当PM⊥AB时，MP最小， 直线=x+2与×轴的交点A的坐标为2,0)，与》轴的交点8的坐标为0,2) .OA=OB=2, .∠BA0=45°，AM=OA+OM=2+2=4, 当MP⊥AB时，∠BAO=45 .∠PMA=45° .AP=MP .AP2+MP2=AM2 .2AP2=16, .AP=MP=2V2 ÷PO的最小值为：P0=VPM2-QM=2-P=. 故答案为： 7 20.4≤AC≤6 【详解】解：将线段BO绕点B顺时针旋转9O°得到线段BE,连接CE,AE,OD, B A(-1,0)⊙0经过点4 ..OD=OA=1 ·B3,0) .BO=3 由旋转可得：BC=BD,BE=BO=3,∠OBE=∠DBC=90° :∠OBD=∠OBE-∠DBE ∠EBC=∠DBC-∠DBE .∠EBC=∠OBD 在△BCE和△BDO中， BC=BD ∠EBC=∠OBD BE=BO 、△BCE≌△BDO(SAS) ..EC=OD=1 '点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至AE的延长线与⊙E的交点处时 AC AE+1 取得最大值为 当点C运动至AE与⊙E的交点处时 AC AE-1 取得最小值为 在Rt△ABE中，AE=VAB+BE2=V1+3}+32=5 :.AC 4≤AC≤6 的取值范围是 21.(1)证明：如图，连接0E E B ·AE=DE 、.∠ABE=∠CBE ..OE=OB .∠OBE=∠OEB .∠OEB=∠FBE .BF∥OE :EF⊥BC, .∠BFE=90° ∴.∠BFE=∠OEG=90° .OE⊥GE, .GF是⊙0的切线 (2)解：设O0的半径为，4G=6,GB=6W5 在Rt△GOE中，OE2+GE2=OG2, r2+(62)=(6+r 解得r=3, 即⊙0的半径为3 22.(1)证明：连接0C, B E 是 的直径， 是 的切线 D C AB⊙O BD⊙O AB⊥BD .∠ABD=90° '∠BOC=2∠BAC ∠BDE=2∠BAC ∴.∠BOC=∠BDE '∠BDE+∠BDC=180° ∴.∠BOC+∠BDC=180° BOCD ∠BOC+∠OCD+∠BDC+∠ABD=360° 四边形 中 .∠OCD=90° .OC⊥EC ,0C是0的半径 ∴CE。⊙0 是的切线； (2)解：'∠ABD=∠OCD=90° 在RtAOBD和RtAOCD中 OD=OD OB=OC ∴.RtAOBDS≌RtAOCD(HL) ∴.BD=CD :∠ABD=90° .∠DBE=180°-∠ABD=90° .CD=2 .BD=2 DE=5 Rt△BDE中，BE=VDE2-BD2=V52-22=V2I 在RtAOCE中，OC2+CE2=OE2 即0C2+(2+5}=(0B+v2i 解得OB=0c=2V27 3 2√21 即⊙0的半径为3. 23.(1)证明：连接OM,如图所示： M N 为斜边的中点， A E D B:∠ACB=90°D AB :.CD=DA=DB=1AB 2 ∴∠ACD=∠A .OC=OM .∠ACD=∠OMC .∠OMC=∠A ∴.OM∥AB :ME⊥AB .ME⊥OM 又：OM为⊙0的半径 ∴ME是⊙0的切线. (2）解：连接DM,如图所示： E D B.CD=5 BD=AD=CD=5 由(1)可知， CD,⊙0 的直径， ∴.∠CMD=90° 1 .DM⊥AC 在等腰。4DC中，由三线合一性质可得DM是边AC上的中线，即AM=CM-】4AC=4 ∴在RtACDM中，由勾股定理可得DM=CD2-CM=V3-4=3 Sm-号4M-DM-4DNME ME=4M-DM_43=2.4 AD 5 24 【详解】（1) B 如图，连接OF,OD,OE ⊙O为△ABC的内切圆，且点D、E、F分别为切点， .OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB Sax=Sae+5aE+Sm8cD04C-0E+4BF0 1 11 1 即2ab=2r+)br+号cr 2 2 2 1 1 .ab-z(a+b+c)r ab 解得r= a+b+c· (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的. ab a+b-c 理由：要证明a+b+c2 只需证a+b+c(a+b-c)2ab 即证(a+b}-c2=2ab 故只需证a2+2ab+b2-c2=2ab, 故即证a2+b2=c2 又：△ABC为直角三角形，由勾股定理显然有a2+b2=c2, ab a+b-c 原等式成立，即 a+b+c 2 25. 【详解1(1)解：在o0中， PA=PC .PA=PC ∴.线段PA与线段PC的数量关系是相等； 连接AC B ...PA=PC,OA=OC ·.PO垂直平分AC ∴直线PO与AC的位置关系是互相垂直； (2)证明：延长PO交AC于点H, 由(1)可得，PO垂直平分AC,即HA=HC ..OA=OB .OH是△ABC的中位线 .OH BC,即PO‖BC; (3)解：如图，连接AC,延长PO交AC于点H, 由(2)可知∠PHA=90°，HA=HC 直线I是⊙O的切线，AD⊥1， .∠PDA=∠DPH=90° .∠PDA=∠DPH=∠PHA=90° 四边形PDAH是矩形 AH PD=2 4C=2AH=4V2 ,AB是OO的直径， .∠ACB=90° .AC2+BC2=AB2 ·AB=V42+2=6 半径为)AB=3 26.【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径 .∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∠BAC=20° ∴.∠ABC=90°-∠BAC=70° .∠ADC=∠ABC=70° (2)证明：连接OD,BD CD是∠ACB的平分线， 由(1)知，∠ACB=90° .∠ACD=∠BCD=45° AD=BD ∴.AD=BD 又OA=OB .OD⊥AB. .·DEIAB DE⊥OD. ,OD是⊙0的半径， ∴直线DE是⊙O的切线. (3)存在，m=1,n=1. 证明：连接BD,过点A作AH⊥CD于点H,过点B作BG⊥CD于点G,设 AH=a,DH=b 则∠AHD=∠DGB=90° ∠ADH+∠DAH=90°， B AB是⊙O的直径 .∠ADB=90° ∴.∠ADH+∠BDG=90° .∠DAH=∠BDG 由(2)知，AD=BD .△ADH≌aDBG(AAS) .DG=AH=a,BG=DH=b 由(2)知∠ACD=∠BCD=45° .∠AHC=∠BGC=90° ∴.△ACH和△BCG都是等腰直角三角形， .CH=AH=a,BG=CG=b .AC=AH+CH2=2a BC=VBG2+CG=2b .AC.BC=2ab ..CD=(CH+HD)=a+2ab+b AD=AH2+DH2=d+b2 .CD2-AD2 2ab .AC·BC=CD2-AD2 即AC·BC=1CD2-1·AD2, .m=l,n=1成立.