第二十五章一元二次方程单元测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第二十五章一元二次方程单元测试卷，120分钟120分，覆盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，融入新定义、实际应用及几何动点问题，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、解法、根的判别式、“倍根方程”|第10题“倍根方程”新定义考查创新理解，第7题结合根与系数关系| |填空题|6/18|配方法、方程根、整数根、双循环赛制|第15题篮球比赛双循环赛制体现应用意识，第14题整数根问题培养推理能力| |解答题|8/72|解方程、含参方程、利润问题、“倒方程”、动点面积|第21题“倒方程”新定义考查抽象能力，第24题动点面积问题发展几何直观与空间观念|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第二十五章一元二次方程 单元测试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 2．（本题3分）方程的解是（） A． B． C． D． 3．（本题3分）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．（本题3分）若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 5．（本题3分）关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 6．（本题3分）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．（本题3分）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 9．（本题3分）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 10．（本题3分）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．（本题3分）已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 13．（本题3分）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 14．（本题3分）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 15．（本题3分）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 16．（本题3分）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 19．（本题8分）设是实数，关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 20．（本题8分）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 21．（本题9分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 22．（本题9分）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 23．（本题10分）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 24．（本题12分）如图，平行四边形中，，，点以的速度从点 出发沿向点运动，同时点以的速度从点 出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)求面积的最大值． 第2页（共5页） 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年人教版九年级数学上册第二十五章一元二次方程单元测试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C B C B D D B 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 2．C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 3．B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 4．C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 5．B 【分析】先根据一元二次方程各项系数的定义找出二次项、一次项、常数项，再对多项式因式分解，判断解方程适用方法，选出错误说法． 【详解】解：选项A：方程的二次项系数为1，不符合题意； 选项B：方程的常数项是3，符合题意； 选项C：方程的一次项系数为，不符合题意； 选项D：∵， ∴适合用因式分解法解方程，不符合题意． 6．C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 7．B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 8．D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 9．D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 10．B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 11． 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 12．3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 13．4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 14．59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 15．8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 16．或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 18．(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用根的判别式判断即可； （2）首先求出方程的两根，然后根据两根都大于求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程 ∴ ∴方程总有实数根； （2）解：∵ ∴ ∴或 解得， ∵方程的两根都大于， ∴， 解得． 20．(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 22．(1)这两条道路的面积分别是和； (2)原来矩形的长为28米，宽为14米． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键． （1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积； （2）根据题意四块草坪的面积之和为这一等量关系建立方程进行分析计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知这两条道路的面积分别是和； （2）解：∵， ∴， 根据题意得：， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（米） 答：原来矩形的长为28米，宽为14米． 23．(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 24．(1) (2)的值为4或 (3) 【分析】（1）过点作于点，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，然后利用平行四边形公式求解； （2）首先求出的面积为，分点在线段上，点在线段上，点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，三种情况计算即可； （3）根据题意分三种情况讨论，结合（2）表示出的面积，然后分别求出最大值比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：； （2）解：由（1）知，平行四边形的面积为， 当的面积为平行四边形的面积的时， ∴的面积为， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， ，，过点F作于点H， 同（1）可得，， ∴， ∴（舍）或，不符合题意； 当点在线段上时，点在上，，如图， ∴，即， ∴； 当点在线段上，点在线段上，， 如图，过点作交的延长线于点I，交于点J， 根据题意得，，， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ 整理得， 解得，（舍去） 综上所述，的值为4或； （3）解：设的面积为S， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， 由（2）得， ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上时，点在上，， 由（2）得， ∵ ∴S随t的增大而增大 ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上，点在线段上，， 由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即， 综上所述，面积的最大值为． 答案第2页（共14页） 答案第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $