第二十五章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合明代“荡秋千”文化情境与“人造太阳”科技素材，全面考查方程定义、解法、根的判别式及实际应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的概念、配方法、判别式|第7题以明代“荡秋千”问题考查建模，体现文化传承| |填空题|6/24|解方程、判别式、根与系数关系|第16题结合参数讨论根的情况，考查推理能力| |解答题|9/96|解法应用、纠错、实际问题|第25题“人造太阳”模型销售问题，融合科技情境与利润计算，培养模型意识和应用意识|

第二十五章一元二次方程单元测试卷 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列方程中，关于x的一元二次方程是() A.(x-1)(x-2)=2 B.是+2=2 C.ax2+bx+c=0 D.3x2-2y=0 2.已知x=1是方程x2-2x+c=0的一个根，则实数c的值是() A.-1 B.0 C.1 D.2 3.用配方法解方程x2+2x一1=0，下列配方正确的是() A.(x+1)2=1 B.(x+1)2=2 C.(x-1)2=2 D.(x-1)2=1 4.关于x的一元二次方程(a-1)x2+3x一2=0有实数根，则a的取值范围是() Aa>-日 Ba2-日 C.a>-8且a≠1D.a2-8且a≠1 5.一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根分别是x1、x2,则x好+3x2=() A.-9 B.-8 C.7 D.10 6.若x= 2±b2-4x(-1) 2×3 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为() A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0 7.明代数学家程大位在他的著作算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺 离地；送行二步与人齐，五尺板高离地算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将 它往前推送两步（两步=10尺）后，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有 多长？”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为() 10 A 第1页，共5页 A.x2+102=(x+1)2 B.x2+102=x2 C.(x-④2+102=x2 D.x2+102=(x-4)2 8.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2-x1-x2>2,则m的取值 范围是() A.m25 B.m>3 C.3<m≤5 D.m>1 9.已知实数a,b满足a2=2a+5,b2=2b+5,且a≠b,则下列结论正确的是() A.a+b=-2 B.ab=5 C.a2+2=14D.+片号 10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法不正确的是() A.若x=-1是方程的解，则a-b+c=0 B.若c=0,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 C.若ac<0,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根 D.若a+c=0,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是 12.一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是， 13.已知方程x2+bx+3=0的一根为V5+√2，则方程的另一根为一· 14若关于x的方程x2-6x+a=0可以配方成(x+b)2=7,那么(a+b)2026=. 15.若a,b是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则a3-2a2+5b-1= 16.已知x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx-2c=10的一个根. (1)若a>0,且a-b+c=0,则b的取值范围是： (2)若ab-50=2c2,则c的值为_· 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分) 解方程： (1)x2-7x+6=0: (2)(5x-2)2=3(5x-2): (3)3x2+8x-3=0(用配方法)： (4x2-2√2x+2=0(用公式法)， 第2页，共5页 18.(本小题10分) 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程4(x-5)=(x-5)2, 解：方程两边同时除以(x-5)得， 4=x-5第一步， 4+5=x第二步， x=9第三步， (1)嘉嘉的解答过程从第】 步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程， 19.(本小题10分) 己知x1,x2是方程x2-5x+1=0的两实数根，求下列各式的值. (1)x1x3+x7x2: (2)lx1-x2l 20.(本小题10分) 己知关于x的一元二次方程(k+1)x2-(3k+1)x+2k=0. (1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程是否有根： (2)若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根. 21.(本小题10分) 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) ④若x=3是方程的一个根，求的值。 (2)若方程有两个相同的实数根，且b-ac=-1,求b的值. 第3页，共5页 22.(本小题10分) 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长.某电商店铺专门经营某品牌扫地 机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势.店铺统计了该款边刷套装的销售情况：10月份售 出300套，12月份售出432套 (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率： (2)该品牌边刷套装每套进货价为30元.调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600套：而当销 售价每上涨1元时，月均销售量将减少10套.为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到 实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 23.(本小题10分) 如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25长的建筑材料围 成. 住房墙 住房墙 图1 图2 (1)要使所围矩形猪舍的面积达到50m2,求猪舍的长和宽； (2)农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到60m2,小红为该农户提出了一个意见：“为方便进 出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽， 24.(本小题13分) 己知关于x的方程x2-(k+4)x+2k+4=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)记该方程的两个实数根为x1,x2,求代数式(x1一2)(x2-2)的值： (3)若M=x1+x,N=3-x1x2,比较M与N的大小. 第4页，共5页 25.(本小题13分) 综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科 学装置P,新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型.该模型每件的生产成本为40元.公司计划采用降价 促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件.在此基础上，售价每降 低2元，每天的销售量就会增加10件. 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价x元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60 元（即40≤x≤60） 【问题解决】 (①)用含x的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是件： (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价： (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基 金捐赠5元.问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请 通过计算说明理由 第5页，共5页 第二十五章 一元二次方程单元测试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，关于的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 2.已知是方程的一个根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 4.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 5.一元二次方程的两个实数根分别是、，则(    ) A. B. C. D. 6.若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为(    ) A. B. C. D. 7.明代数学家程大位在他的著作算法统宗中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板高地尺，将它往前推送两步两步尺后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.已知关于的一元二次方程的实数根，，满足，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 10.对于一元二次方程，下列说法不正确的是(    ) A. 若是方程的解，则 B. 若，则方程必有两个不相等的实数根 C. 若，则方程必有两个不相等的实根 D. 若，则方程必有两个不相等的实数根 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.一元二次方程的根是______ ． 12.一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是      ． 13.已知方程的一根为，则方程的另一根为      ． 14.若关于的方程可以配方成，那么        ． 15.若，是一元二次方程的两个实数根，则________ 16.已知是关于的一元二次方程的一个根． 若，且，则的取值范围是          ； 若，则的值为          ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题2分 解方程： ； ； 用配方法； 用公式法． 18.本小题分 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程， 解：方程两边同时除以得， 第一步， 第二步， 第三步， 嘉嘉的解答过程从第______步开始出现错误的； 请给出这道题的正确解答过程． 19.本小题分 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． ； 20.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求的取值范围，并判断该一元二次方程是否有根； 若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 21.本小题分 已知一元二次方程． 若是方程的一个根，求的值． 若方程有两个相同的实数根，且，求的值． 22.本小题分 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． 若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； 该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 23.本小题分 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成． 要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽 农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门”，如图，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽． 24.本小题分 已知关于的方程． 求证：该方程总有两个实数根； 记该方程的两个实数根为，，求代数式的值； 若，，比较与的大小． 25.本小题分 综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克人造太阳”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材：市场调研发现，当这款模型的售价定为元件时，每天可售出件．在此基础上，售价每降低元，每天的销售量就会增加件． 素材：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过元即 【问题解决】 用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是          件； 若该公司销售该模型每天的利润恰好为元，求此时模型的实际售价； 为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：A、由原方程知：x-3x=0,符合一元二次方程的定义， B、该方程是分式方程，故本选项错误； C、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误： D、该方程中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误： 故选：A 2.【答案】C 解：把x=1代入方程得 1-2+c=01 解方程得c=1 3.【答案】B 解：由原方程移项，得x+2x=1, 等式的两边同时加上12，得x2+2x+1=1+12, 配方，得x+1=2 故选：B 4.【答案】D 解：根据题意得a≠1且4=32-4(a-1)×-2)20 解得a≥-。且a≠1. 8 故选D. 5.【答案】D 解：.一元二次方程x2-3X-1=0的两个实数根分别是X1、X2, x2-3x1-1=0:即x2=3x1+1 第1页，共1页 故本选项正确： .x1+3x2=3X1+1+3x2=3X1+X2+1' .X1+X2=--3=3' ∴.x1+3x2=3x1+x2+1=3×3+1=10 6.【答案】D 【解折】解：：X-2土yB4×1a可以表示一元二次方程的根。 2×3 .a=3’b=-2’c=-1' :这个一元二次方程可以是 3x2-2x-1=0 故选：D 7.【答案】C 【解析】解：设秋千的绳索长为x尺，则OE=(x+1-5)尺，即(x-4)尺， 根据题意得：（x-42+102=x2· 故选：C 8.【答案】C 【解析】解：由题意得：(-4)2-4(m-1)≥0， 3(m-1)-4>2 :/ms5 m>3 .∴.3<m≤5 故选：C. 9.【答案】C 第2页，共1页 【解析】解：设实数a,b满足x2-2x-5=0, 由根与系数关系得：a+b=-2-2、b=-5, 1 故A、B选项错误； a+b=2a+5+2b+5=2(a+b)+10=2×2+10=14' 故C选项正确； 1+1=b+a=2=-2≠2 a b ab =-555 故D选项错误， 故选：C. 10.【答案】B 解：A将x=-1代入方程aX+bx+c=0(a≠0)可得：a-b+c=0: .本选项说法正确，不符合题意； B、若c=0,则方程为ax2+bx=0, ∴.△=b2-4ac=b2≥0， ∴.程ax2+bx+c=0必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； C、.ac<0, ∴.△=b2-4ac>0, .方程ax+bx+c=0必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； D、.方程ax2+bx+c=0中，a+c=0, .△=b2-4ac=b2+4a2>0, ∴，方程ax+bx+c=0有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意： 故选：B 11.【答案】X1=2,x2=-1 解：原方程可变形为：x(x-2)+(x-2)=0, （x-2)(x+1)=0, x-2=0或x+1=0, 第3页，共1页 X1=2,2=-1. 故答案为X1=2,X2=-1. 12.【答案】m> 8 【解析】解：.一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根， .∴.△=12-4×2×m=1-8m<0 解得：m> 81 ..m的取值范围是m 、1 8 故答案为：m>1 81 13.【答案】5-√2 【解析】解：设方程的另一个根为C, .(5+V2)c=3 ∴.c=V5-V2 故答案为：5-√2. 14.【答案】1. 【解析】解：由题意，.x2-6x+a=0, ∴.x2-6x+9=-a+9 .(x-32=-a+9 :关于x的方程x2-6x+a=0可以配方成x+bP=7 .∴.b=-3-a+9=7' 第4页，共1页 ∴.a=2 ∴.(a+b)2026=(2-32026=1 故答案为：1. 15.【答案】16 【解析】解：，a是方程x2-3X-2=0的实数根， 02=3a+2则a2=aQ2a3a21=3a2+2a 代入所求代数式得3a2+2a-2a2+5b-1=a2+2a+5b-1, 再将a2=3a+2代入得3a+2+2a+5b-1=5(a+b)+1, 又.若a,b是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根， .a+b=3 代入得5×3+1=16. 16.【答案】【小题1】 b>-10 【小题2】 5 【解析】1. 根据方程的解得到a+b-2c=10,结合a-b+c=0,得到b=3a .x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx-2c=10的一个根， .∴.a+b-2c=10① .a-b+c=0, ∴.2a-2b+2c=0②， ①+②，得3a-b=10, .b=3a-10, a>0, .3a>0, 第5页，共1页 10,利用不等式的性质求解即可： .∴.b=3a-10>-10: 2. 易得a+b=10+2c,ab=2c2+50,根据完全平方公式的变形以及完全平方的非负性进行求解即可. .a+b-2c=10, .∴.a+b=10+2c, .ab-50=2c2, ∴.ab=2c2+50, :a-bP=a+b2-4ab=2c+102-42c2+50=-4c2+40c-100=-2c-102, 且a-bP20 .-2c-102≥01 2c-102≤0而2c-10P≥0 ∴.2c-10=0, ∴.c=5. 17.【答案】解：（1).(x-1)(x-6)=0, x-1=0或x-6=0 解得：x=1或x=6: (2).(5x-22-3(5x-2)=01 .(5x-2)5x-5)=0 则5x-2=0或5x-5=0, 解得：X=或x=1: (3).3x2+8x=3' 第6页，共1页 x2+8x=1, 3 +骨x+1+5x+写 9 9 31-9 则x+45 33,或x+ 4-_5 331 1 x-3X=-3: (4).a=1’b=-2V2'c=2' .∴.△=8-4×1×2=0 则x=X,=2y2=V2 2 18.【答案】解：(1)第一： 根据解一元二次方程的计算的步骤可知： 嘉嘉是第一步开始出现错误的， 故答案为：第一； (2原方程移项得：4x-5)-(x-5P=0' 分解因式(x-5)[4-(x-5)]=0, 即x-5=0或4-x+5=0, 所以x1=5,X2=9 (1)根据解一元二次方程 19.【答案】5： V21 第7页， 共1页 【解析】(1)根据根与系数的关系得到两根之积和两根之和，再把要求的式子变形可得： X1+X2=5'X1X2=1' .X1x3+x7X2=X1X2(X1+x2)=5 (2)由(1)可知：X1+X2=5'x1x2=1' ∴.x1-x2=Vx1-x2=Vx1+x2-4x1x2=V52-4=21 20.【答案】k的取值范围为k≠-1，无论k为何值，原方程总有实数根 k的值为2，方程的另一个根为1 【解折】解：(1)：方程(k+1)X-(3k+1)x+2k=0是关于x的一元二次方程. .k+1≠0 解得：k≠-1， :k的取值范围为k≠-1 .△=[-(3k+1)]2-4×(k+1)×2k =9k2+6k+1-8k2-8k =k2-2k+1 =(k-12≥0' :.无论k为何值，原方程总有实数根： (2将x=-2代入原方程得(k+1)×(-2P-(3k+1)×(-2)+2k=0 即12k+6=0, 第8页，共1页 解得：k=- 21 1 +2*-1=0, 原方程为水 小方程的两根之和为-b=-2 =-1, 1 ,方程的另一个根为-1-(-2)=1 .1 答：k的值为 ,方程的另一个根为1. 21.【答案】【小题1】 解：，若x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根， .∴.9a+3b+c=0, ∴.3b+c=-9a, .a≠0， :.3b+c=,90=-3, 3a 3a 【小题2】 解：.b-ac=-1, .ac=b+1, ,方程有两个相同的实数根， .∴.△=b2-4ac=b2-4b+1=b2-4b-4=0' 解得b=2±2V2, .b的值为2+2V2或2-2V2, 22.【答案】【小题1】 解：设该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率为x, 第9页，共1页 根据题意得：3001+x=432 解得：X1=0.2=20%,X2=-2.2(不符合题意，舍去)， 答：该品牌边刷套装11、12两个月销售量的月均增长率为20%： 【小题2】 解：设该品牌边刷套装的销售价应定为y元，则每套的销售利润为y-30元，月均销售量为 600-10y-40=1000-10y套， 根据题意得：y-301川1000-10y=10000, 整理得：y-130y+4000=0, 解得：y1=50,y2=80, 又，要尽可能让顾客得到实惠， ∴.取y=50, 答：该品牌边刷套装的销售价应定为50元. 23.【答案】【小题1】 解：设与住房墙垂直的一边长为xm,则与住房墙平行的一边长为(25-2x)m. 根据题意，列方程得：x(25-2x)=50, 解得X1=2.5,x2=10, 当x=2.5时，与住房墙平行的一边长25-2x=20>12,不符合题意，x1=2.5舍去， 当x=10时，与住房墙平行的一边长25-2x=5<12, 答：所围猪舍的长是10m,宽是5m, 【小题2】 设与住房墙垂直的一边长为xm,则与住房墙平行的一边长为(25+1-2x)m. 根据题意，列方程得：x(25+1-2x)=60, 解得X1=3,X2=10, 当x=3时，与住房墙平行的一边长为25+1-2x=20>12,不符合题意，X1=3舍去， 当x=10时，与住房墙平行的一边长为25+1-2x=6<12. 答：所围猪舍的长是10m,宽是6m, 第10页，共1页 24.【答案】（1证明：4=[-(k+4)-4(2k+4) =k+8k+16-8k-16 =k2” k2≥0 ..4≥0 ∴X2-(k+4)x+2k+4=0总有两个实数根： (2:该方程的两个实数根为x'X .X1+X2=k+4’X1X2=2k+4' .(x1-2(x2-2】 =X1X2-2X1-2X2+4 =x1·x2-2(x1+x2)+4 =2k+4-2(k+4)+4 =2k+4-2k-8+4 =0 (3)由(2)知，X1+X2=k+4X1x2=2k+4 .M=x1+x2N=3-X1x2 .M-N=x+x3-3+x1x2 =(x1+x22-2X1X2-3+x1X2 第11页， 共1页 =(x1+X22-X1x2-3 =(k+42-（2k+4)-3 =k2+16+8k-2k-4-3 =k2+6k+9 =(k+32≥01 ∴.M≥N 25.【答案】【小题1】 500-5x 【小题2】 解：.每件利润x-40元，销量500-5x件，利润2500元，∴.x-40500-5x=2500, 整理得x2-140x+4500=0, 解得X1=90,x2=50, .40≤x≤60， .x=90舍去， ..此时模型的实际售价为50元： 【小题3】 解：，每售出一件捐赠5元， ∴.每件实际利润为x-40-5=x-45元， 假设利润能达到3800元，列方程：x-45500-5x=3800, 展开并整理得x2-145x+5260=0, .此方程中a=1,b=-145,c=5260, .4=b2-4ac=-145-4×1×5260=-15<0 该一元二次方程无实数根， ∴.不存在满足条件的售价X ∴.扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元 第12页，共1页 第13页，共1项