第二十六章 二次函数 单元测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第26章二次函数单元卷，以北京冬奥会滑雪、春晚“哭哭马”等社会热点及古代发石车文化为情境，覆盖二次函数定义、图像性质、实际应用等核心知识，梯度设计适配单元复习，培养数学建模与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|二次函数定义、平移、图像性质|3题结合杯子设计考抛物线应用，7题铅球运动体现物理情境| |填空题|6题/18分|交点坐标、对称轴、最值|15题以冬奥会滑雪为背景求最大高度，16题结合对称曲线考坐标计算| |解答题|8题/72分|解析式求解、实际应用、综合探究|23题春晚“哭哭马”销量与利润问题，22题古代发石车轨迹探究，24题动点与等腰直角三角形存在性分析|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第26章二次函数测试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 3．（本题3分）小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 4．（本题3分）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5．（本题3分）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 6．（本题3分）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 7．（本题3分）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 8．（本题3分）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 10．（本题3分）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 12．（本题3分）如图，二次函数的部分图象与轴交于，该函数图象的顶点坐标为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标为_________． 13．（本题3分）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 14．（本题3分）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 15．（本题3分）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 16．（本题3分）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（本题8分）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … (1)_____________； (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 19．（本题8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 20．（本题8分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 21．（本题9分）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 22．（本题9分）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 23．（本题10分）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 24．（本题12分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 第6页（共7页） 第5页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C B C D C D 1．C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2．D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 3．B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 4．B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 5．C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 6．B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 7．C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 8．D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 9．C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 10．D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 11． 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 12． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据对称轴写出与轴的交点坐标是解题的关键． 首先根据顶点坐标得到对称轴，再根据一个与轴的交点写出另一个与轴的交点即可． 【详解】解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与轴交于， ∴另一个交点为， 故答案为：． 13． 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 14． 【分析】先根据对称轴求出的值，将方程有解转化为求二次函数在范围内的取值，即可得到的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 配方得， 函数开口向上，最小值在处取得，为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是， ∵一元二次方程在范围内有解，等价于在该范围内有解， ∴的取值范围是． 15．8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 16． 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 17．(1) (2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 18．(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据表中数据，利用二次函数的对称性质即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将二次函数解析式的顶点式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，；当时，． 对于二次函数，两点纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为点和关于直线对称， 所以； （2）解：设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为， 即． （3）解：由（2）知，， 其二次项系数，函数图象开口向上，对称轴直线． 根据二次函数的性质，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而减小， 所以当随的增大而减小时，的取值范围是． 19．(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 20．(1)； (2)6米 【分析】（1）表示出的长，根据长方形的面积公式即可写出函数关系式，根据“篱笆的长为24米，墙的最大可用长度为9米”列出不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的长为24米， ∴（米）， ∴花圃的面积， 即． ∵墙的最大可用长度为9米， ∴，解得 ∴的取值范围是． （2）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长度为6米． 21．(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 22．(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 23．(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 24．(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  答案第2页（共14页） 答案第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $