第4讲 二次函数图象和性质与系数综合 同步培优讲义 2026年秋季人教版数学九年级上册

第4讲 二次函数图象和性质与系数综合

1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-）；常数项c决定图象与y轴交点（0,c）。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-，），进而分析最值（a>0有最小值，a<0有最大值）及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b²-4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。

 

在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ）

A．若，抛物线的对称轴为直线

B．若且，则的取值范围为或

C．若，则抛物线的开口向下

D．若，点在该拋物线上，且，则有

【答案】D

【详解】解：当时，点，把点代入得：，

解得：，∴该函数解析式为，∵，

∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意；

令，则，解得：，∴抛物线与x轴的另一个交点为，

∵，∴抛物线开口向下，

∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意；

若，把点代入得：，

∵，∴，∴，∴，∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意；

抛物线的对称轴为直线，∴，

∴，∴，∵，

∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，∴．选项D说法错误，符合题意；故选：D．

 

已知二次函数，下列结论正确的是（    ）

A．当时，函数图象的顶点坐标为

B．当时，的值随的增大而增大

C．当，时，的取值范围是

D．当时，的最大值为8，则或

 

【答案】D

【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意；

B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意；

C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意；

D、抛物线对称轴是直线．

若，则时，的最大值为8，∴，∴；

若，则时，的最大值为8，∴，∴．

∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意；故选：D．

 

二次函数，有下列结论：

①该函数图象过定点；

②当时，函数图象与轴无交点；

③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；

④当时，点，是曲线上两点，若，，则．

其中，正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】解：，

当时，，该函数图象过定点，故①正确；当时，，

，函数图象与轴无交点，故②正确；

抛物线的对称轴为：，，，

当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误；

，，，，

，在对称轴左侧，，在对称轴右侧，，

抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，

当时，，

当时，，此时，，，，

，故④错误，故选：B．

 

 

已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）

①当时，随的增大而减小；

②若图象经过点，则；

③若，是函数图象上的两点，则；

④若图象上两点，对一切正数，总有，则．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④

【答案】D

【详解】解：①：∵二次函数为非零常数，，，

又∵当时，随的增大而增大，∴，开口向下，∴当时，随的增大而减小，

故①正确；

②：∵二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，

，若图象经过点，则，得，

，∴ ，故②错误；

③：又∵对称轴为直线，，∴，

∴若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则，故③正确；

④若图象上两点，对一切正数n，总有，，

∴该函数与x轴的两个交点为，∴，解得，故④正确；

∴①③④正确；②错误．故选：D．

 

1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。

 

已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ）

A． B． C．D．

【答案】B

【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点，

∴，，∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C；

由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方，∴，

∴的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．

 

二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（    ）

A．B．C． D．

【答案】A

【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点，，，，，，，

一次函数的图象经过第一、二、三象限，

在抛物线中，当时，，

反比例函数经过第一、三象限，故选：A．

 

若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）

A．B．C． D．

【答案】C

【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧，

∴，∴，