第4讲 二次函数图象和性质与系数综合 同步培优讲义 2026年秋季人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数图象和性质与系数综合核心知识点，系统梳理参数对图象形状位置的影响、与一次函数及反比例函数图像综合判断、系数符号分析及含参综合问题，构建从基础到综合的学习支架，助力学生逐步掌握二次函数核心内容。 该资料通过典型例题与变式训练结合，如含参问题中顶点坐标及区间最值讨论，培养抽象能力与推理意识。综合题运用分类讨论和数形结合，发展逻辑思维。课后练习覆盖不同难度，辅助学生查漏补缺，课中帮助教师系统授课，提升教学效果。

第4讲 二次函数图象和性质与系数综合 典 型 例 题 题型 二次函数中含参数的图像和性质 1 1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-）；常数项c决定图象与y轴交点（0,c）。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-，），进而分析最值（a>0有最小值，a<0有最大值）及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b²-4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。 1 例 在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ） A．若，抛物线的对称轴为直线 B．若且，则的取值范围为或 C．若，则抛物线的开口向下 D．若，点在该拋物线上，且，则有 【答案】D 【详解】解：当时，点，把点代入得：， 解得：，∴该函数解析式为，∵， ∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意； 令，则，解得：，∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵，∴抛物线开口向下， ∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意； 若，把点代入得：， ∵，∴，∴，∴，∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，∴， ∴，∴，∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，∴．选项D说法错误，符合题意；故选：D． 1-1 变式变式 已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8，∴，∴； 若，则时，的最大值为8，∴，∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意；故选：D． 1-2 变式变式 二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧； ④当时，点，是曲线上两点，若，，则． 其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：， 当时，，该函数图象过定点，故①正确；当时，， ，函数图象与轴无交点，故②正确； 抛物线的对称轴为：，，， 当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误； ，，，， ，在对称轴左侧，，在对称轴右侧，， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，， 当时，，此时，，，， ，故④错误，故选：B． 1-3 变式变式 已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） ①当时，随的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：①：∵二次函数为非零常数，，， 又∵当时，随的增大而增大，∴，开口向下，∴当时，随的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大， ，若图象经过点，则，得， ，∴ ，故②错误； ③：又∵对称轴为直线，，∴， ∴若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则，故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， ∴该函数与x轴的两个交点为，∴，解得，故④正确； ∴①③④正确；②错误．故选：D． 题型 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 2 1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。 2 例 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，，∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方，∴， ∴的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B． 2-1 变式变式 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点，，，，，，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 在抛物线中，当时，， 反比例函数经过第一、三象限，故选：A． 2-2 变式变式 若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧， ∴，∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限， ∴一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是 故选：C 2-3 变式变式 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】∵抛物线的常数项为0，抛物线一定经过原点，故A错误. ∵反比例函数的图象在第一、三象限，，即同号 当，抛物线的对称轴在轴左侧，直线经过第二、三、四象限，故D错误. 当，抛物线的对称轴在轴右侧，直线经过第一、二、三象限，故B错误，C正确． 故选：C． 题型 二次函数图像与各项系数符号问题 3 1. 单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴为正，负半轴为负）；b的符号需结合对称轴x=-与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异号）。 2. 特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c，其值正负对应抛物线在(1,y)的位置；x=-1时，y=a-b+c，同理可判断该表达式符号。 3. 判别式与交点关系：判别式Δ=b²-4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（Δ>0有两个，=0一个，<0无），间接反映系数间关系。 3 例 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 【答案】②③④⑤ 【详解】解：抛物线开口向上，，抛物线对称轴为直线， ，则，∴，所以⑤正确； 抛物线与轴的交点在轴下方，，，所以①错误； 抛物线对称轴是直线，且过点，抛物线过点， 时，，，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线，当时，有最小值， （为任意实数），则，所以③正确； 方程的两根为，，且，抛物线与直线有两个交点，， 由图象可知，所以④正确． 故答案为：②③④⑤． 3-1 变式变式 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线， 则，，即，故②不正确； 抛物线开口向上，∴，，抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点，又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，，当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则，即，故⑤不正确； 若，且，∴，， 整理得，∵，∴，∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥．故答案为：①③⑥． 3-2 变式变式 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 【答案】③④⑤ 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线，∴∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．∴∴故①错误； ∵∴故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下把 代入∴ ∴故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下∴当时，故④正确的； 把代入，得∵∴ ∴∵∴，故⑤正确的故答案为：③④⑤． 3-3 变式变式 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④； ⑤若且，则．其中正确结论有 【答案】①②④ 【详解】解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边， 可得：，，故①正确； 根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边， 可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，，故②正确； 当时，函数具有最大值为， ，即，故③错误； 根据，可得，由②得，故④正确； ∵，∴， 令，则：在二次函数上， ， 关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得，，故⑤错误；故答案为：①②④． 题型 二次函数中含参数的综合问题 4 1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。 4 例 已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵二次函数，∴顶点坐标为． （2）解：∵1＞0，∴抛物线开口向上．∵对称轴为直线，∴在对称轴的左侧， ∴当时，y最小为，∴，∴． 又∵，∴，∴，此时二次函数的解析式为． 4-1 变式变式 已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值； (3)若，是图象上不同的两点，当时，求m的值． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【详解】（1）∵二次函数∴对称轴为直线； （2）若，∴二次函数 ∴当时，二次函数有最小值3∴当时， ∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，∴当时， ∴解得（舍去）或； （3）∵若，是图象上不同的两点，当时， ∴由（1）得，该二次函数图象的对称轴为直线 ∴点和点关于对称轴对称∴． 4-2 变式变式 已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）抛物线的解析式为或；（ⅱ）3 【详解】（1）解：将点代入中，得，解得， ∴抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为； （2）解：（ⅰ）设抛物线的顶点的横坐标为，抛物线的顶点在直线上， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为，且点在抛物线上 ∴将代入，得，整理，得，解得，， 抛物线的解析式为或；                    （ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为，由（ⅰ）得， ，在抛物线上，，， ， ，，，，，， 抛物线的顶点的纵坐标为，当时，取最大值，最大值为． 4-3 变式变式 已知二次函数． (1)若二次函数经过点， ①求二次函数解析式； ②当时，求的取值范围； (2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①把代入，得：，解得， 二次函数解析式为； ②在“”范围内，， 对称轴为直线，二次项系数为，抛物线的开口向上，当时，， 当时，，当时，，； （2）当时， 当时，， ，当时，，当时，，． 课 后 练 习 1 练 二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【详解】解：求对称轴：二次函数的对称轴为. ∴   （代入），  （代入）∴   .    分析表达式的符号： 当：均为负，乘积为负，故，故选项A正确. 当：，乘积为正，故，故故选项B、C错误. 当：，乘积为负，故 ， 当：均为正，乘积为正，故，但选项D包含区间，故整体错误. 故选项：A 2 练 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意．故选：B． 3 练 下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确； 对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误； 的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④，共3个，故选：C． 4 练 如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论： ①；    ②；   ③； ④       ⑤，    其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】根据函数图像可知：，，∵，∴，∴，故①正确， ，故②正确， ∵抛物线的对称轴为直线，∴当和时，y值相等，且当时，， 即，故③正确， 当时，，∵∴，∴，即 ∴，故④正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为，∴当时，y有最大值， 当时，，∴ ∴，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确，故选∶D 5 练 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得，∴，∴，， ∴，故答案为：． 6 练 已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，∴，故答案为：． 7 练 已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 或 【详解】解：（1）令，则； ∵，∴；即抛物线与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线；故答案为：直线； （2）当时，，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵当，且时，始终满足，∴，解得：； ∴； 当时，，抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小；∵当，且时，始终满足，∴，即，∴； 综上，或；故答案为：或． 8 练 如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①；②；③对于任意实数m，都有；④是抛物线上的两个点，若 且 ＞2，则 ．真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，∴， ∵二次函数对称轴为直线，∴，∴，∴，故①正确； ∵∴，∴，故②错误； 由得函数的最大值为，∵抛物线开口向下， ∴不论取何值，都有，∴，故③正确； ∵对称轴是直线，∴若，即时，则， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，∴，故④错误． 综上所述，正确的选项是①③．故答案为：①③． 9 练 已知二次函数（是常数且）． (1)若，求出该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值． 【答案】(1) (2)或8 【详解】（1）解：当时，，即， 将二次函数的解析式化成顶点式为，则该函数图象的顶点坐标为． （2）∵函数图象经过点，∴， ∴或（不符合题意，舍去），∴，其对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 则分以下两种情况： 由①当时，则在内，当时，的值最大， ∴，解得，符合题设； ②当时，则在内，当时，的值最大， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或8． 10 练 在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)若，求二次函数的顶点坐标； (2)若对于，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）解：当 时，二次函数为 ，顶点横坐标为 ， 代入 ，得 ，故顶点坐标为 ． （2）∵抛物线的对称轴，开口方向向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，又∵点， ， ∴， 又∵，∴， 当时，不等式组化为，不等式组无解， 当时，不等式组化为，解得：， 当时，不等式组化为，不等式组无解， 当时，不等式组化为，解得：， 综上所述： 的取值范围为 或 ． 11 练 已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， （2）解：由题意，，抛物线的顶点为， 时，， 当时，，当时，当时，，， ，， 当时，当时，，，，， 的值为或 12 练 已知二次函数． (1)若二次函数经过，求二次函数的解析式； (2)当时，函数有最大值为6，求t的值； (3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：把代入函数解析式得， ，∴，∴函数解析式为：； （2）解：∵，∴抛物线开口向上， ∴当时，或时，函数有最大值6，若当时，，解得， 当时，，将代入得，，符合题意； 若当时，，解得， 当时，，将代入得，，符合题意； 综上，t的值为8或； （3）解：∵二次函数，∴二次函数图象的对称轴为， ∵当时，总有，开口向上， ∴当点，在对称轴同侧时，随的增大而减小，则都在对称轴的左侧，即，解得； 当点，在对称轴异侧时，则对称轴左右两端存在函数值的相等的两段范围，无法保证左边的函数值一定比右边大，即不合题意，综上所述，． 13 练 已知二次函数（）． (1)若函数经过，求二次函数的解析式； (2)若点，点均在函数图象上，求的值； (3)当时，函数最大值为7，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把点代入，得，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点，点均在函数图象上，∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得：； （3）解：当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，，∴当时，函数取到最大值7，即，解得：； 当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，，∴当时，函数取到最大值7，即，解得：；综上：或． 14 练 已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … t m p n … (1)当时， ①若，求二次函数解析式． ②若，求证：． (2)若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【详解】（1）解：①当时， 若时，抛物线对称轴为直线，解得 二次函数解析式为； ②当时，，当时，， 当时，，，即； （2）解：若时，二次函数解析式为， 此抛物线的对称轴为直线，若，函数有最大值， 且，解得 若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得综上所述，或 15 练 已知二次函数（为常数）的图象的顶点坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)已知点在的图象上，． ①若，请比较与的大小并说明理由． ②若（为常数），当时，求的范围并说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【详解】（1）解：顶点坐标为，，． 将代入，得．． （2）解：①，，，， ．，，．， ． ②，，， ， ，，．，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $