第05讲25.2.4一元二次方程的根与系数的关系暑假预习讲义同步训练 2026—2027学年人教版九年级数学上册

第05讲25.2.4一元二次方程的根与系数的关系暑假预习讲义同步训练 新人教版2026—2027学年九年级数学上册 一、选择题 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 3．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 4．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 5．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 6．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 8．对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，，且，则_____． 10．已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 11．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 12．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是____ _． 三、解答题 13．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 15．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 16．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 17．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 18．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．D 8．A 9． 10．或 11． 12． 13．(1)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 14．(1)证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 15．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 16．【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 17．【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 18．(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $