第25章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷全面覆盖一元二次方程核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，结合生活情境与数学思维，适配初中数学单元复习，助力抽象能力、运算能力与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|定义、一般形式、根的概念、解法|第9题结合几何图形面积问题，考查方程建模能力| |填空题|6|根的判别式、根与系数关系|第14题引入新定义运算，提升符号意识与推理能力| |解答题|5|解法综合、实际应用、拓展探究|第20题以景区游客增长为情境，第21题通过根与系数关系拓展，培养数据观念与创新意识|

第25章　一元二次方程 单元测试卷 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.若a是常数,则下列方程一定是一元二次方程的是(　　). A.(a+1)x2+5x-1=0 B.(a2-1)x2-2x+3=0 C.(a2+1)x2+2x+1=0 D.(a-1)x2+3x+1=0 2.把一元二次方程x(x+1)=3x-2化为一般形式,正确的是(　　). A.x2-2x-2=0 B.x2-2x+2=0 C.x2-3x-1=0 D.x2+4x+3=0 3.若关于x的一元二次方程x2-mx+2=0有一个根是1,则m的值为(　　). A.4 B.3 C.2 D.-3 4.方程2x2-98=0的根是(　　). A.7,-7 B.7 C.7,-7 D.7 5.用配方法解一元二次方程x2-2x-24=0时,将方程转化为(x+a)2=b的形式,则b的值是(　　). A.24 B.25 C.1 D.2 6.方程2x2+x-1=0的根的情况是(　　). A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则下列结论正确的是(　　). A.m=0,且n≥0 B.n=0,且m≥0 C.m=0,且n≤0 D.n=0,且m≤0 8.对于任意实数x,多项式x2-2x+3的值是(　　). A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定 9.从一个正方形铁片上按如图所示的方式截去一个2 cm宽的长方形,余下的面积是48 cm2,则原来的正方形铁片的面积是(　　). A.96 cm2　　 B.64 cm2 C.54 cm2 D.52 cm2 10.某商场销售一批衬衣,平均每天售出30件,每件衬衣盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现,如果每件衬衣降价1元,那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天盈利2 000元,则每件衬衣应降价(　　). A.10元 B.15元 C.20元 D.25元 二、填空题(将正确的结果填在横线上) 11.若2是关于x的一元二次方程x2-x+c=0的一个根,则c的值为　　　　　.  12.若关于x的一元二次方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　　　　.  13.一个简单的数值运算程序如图所示,则输入的x的值为　　　　　.  输入x⇨(x+1)2⇨-3⇨输出1 14.定义新运算“*”,规定:m*n=如1*2=2,(-)*.若一元二次方程x2-x-6=0的两个根分别为x1,x2,则x1*x2=　　　　.  15.若两个连续正奇数的积是143,则这两个正奇数的和是　　　　.  16.若m,n是关于x的一元二次方程x2-2 026x+2 027=0的两个根,则代数式(m2-2 025m+2 026)(n2-2 025n+2 026)的值是　　　　　.  三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解下列方程: (1)2x2+5x=1(配方法); (2)2x2+5x-3=0(公式法); (3)(x+1)(x-3)=-2; (4)(x-3)2+4x(x-3)=0. 18.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+a-c=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1)如果1是该方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根. 19.已知关于x的一元二次方程x2+2(x+k)=4有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值. 20.随着旅游旺季的到来,某景区游客逐月增加,二月份游客为1.6万人,四月份游客为2.5万人. (1)求三、四月份该景区游客的月平均增长率. (2)预计五月份该景区游客会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则五月份后10天日均接待游客最多是多少万人? 21.已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知m+n=1,mn=-1. 根据上述材料,解答下列问题: (1)直接应用: 已知实数a,b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1=0,且a≠b,则a+b=　　　,ab=　　　;  (2)间接应用: 已知实数m,n满足2m2-7m+1=0,n2-7n+2=0,且mn≠1,求的值; (3)拓展应用: 已知实数p,q满足p2-2p=3-t,q2-q=(3-t),且p≠q,求(q2+1)(2p+4-t)的取值范围. 参考答案 1.C　2.B　3.B　4.C　5.B　6.A　7.C　8.A　9.B　10.D 11.-2　12.a<1　13.1或-3 14.3　解析:∵x2-x-6=0, ∴(x-3)(x+2)=0, ∴x-3=0,或x+2=0, ∴x1=3,或x2=-2, ∴x1*x2=3*(-2)=3. 15.24　解析:设较小的正奇数为x,则较大的正奇数为x+2.根据题意,得x(x+2)=143, 解得x1=11,x2=-13(不合题意,舍去), ∴x+(x+2)=11+(11+2)=24. 16.2　解析:∵m,n是关于x的一元二次方程x2-2 026x+2 027=0的两个根, ∴m2-2 026m+2 027=0,n2-2 026n+2 027=0,m+n=2 026,mn=2 027, ∴m2-2 025m+2 026=m-1,n2-2 025n+2 026=n-1, ∴(m2-2 025m+2 026)(n2-2 025n+2 026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=2 027-2 026+1=2. 17.解:(1)二次项系数化为1,得x2+x=. 配方,得(x+)2=. 由此可得x+=±, x1=,x2=-. (2)因为a=2,b=5,c=-3,所以Δ=b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0, 方程有两个不相等的实数根,x=,即x1=,x2=-3. (3)变形,得x2-2x+1=2. 配方,得(x-1)2=2. 由此可得x-1=±, x1=1+,x2=1-. (4)左边分解因式,得(x-3+4x)(x-3)=0. 于是x-3+4x=0,或x-3=0, 即x1=,x2=3. 18.解:(1)△ABC是等腰三角形. 理由如下: 把x=1代入方程(a+c)x2-2bx+a-c=0,得a+c-2b+a-c=0,∴2a=2b,∴a=b, ∴△ABC是等腰三角形. (2)∵△ABC是等边三角形, ∴a=b=c. ∵(a+c)x2-2bx+a-c=0, ∴(a+a)x2-2ax+a-a=0, 即x2-x=0. 解得x1=0,x2=1, 即这个一元二次方程的根是0和1. 19.解:(1)将原方程转化为x2+2x+(2k-4)=0. ∵原方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=22-4×1×(2k-4)=20-8k>0. 解得k<.∴k的取值范围为k<. (2)∵k<,且k为正整数, ∴k=1,或k=2. ∵原方程的根都是整数, ∴x==-1±为整数,∴5-2k为完全平方数, ∴k=2. 20.解:(1)设三、四月份该景区游客的月平均增长率为x. 根据题意,得1.6(1+x)2=2.5, 解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合题意,舍去). 因此,三、四月份该景区游客的月平均增长率为25%. (2)设五月份后10天日均接待游客a万人,根据题意,得2.125+10a≤2.5(1+25%),解得a≤0.1. 因此,五月份后10天日均接待游客最多是0.1万人. 21.解:(1)5　1 (2)∵n2-7n+2=0,n≠0,两边同除以n2,得+1=0,即2()2-7()+1=0, 又2m2-7m+1=0,且mn≠1, ∴m与为方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根,∴m+,∴, ∴mn=n-1, ∴. (3)由q2-q=(3-t),得q2-2q=3-t. 又p2-2p=3-t,p≠q, ∴p,q是方程x2-2x=3-t的两个不相等的实数根,∴x2-2x+t-3=0,p+q=2,pq=t-3,Δ=(-2)2-4(t-3)>0,∴t<4. 又p2+1=2p+4-t, ∴(q2+1)(2p+4-t) =(q2+1)(p2+1) =(pq)2+(p2+q2)+1 =(pq)2+(p+q)2-2pq+1 =(t-3)2+4-2(t-3)+1 =t2-8t+20=(t-4)2+4>4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $