2.1 认识实数 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、性质应用及综合实践的三阶分层设计，覆盖实数概念、性质、数轴表示及勾股定理应用，助力学生以数学眼光理解概念，用数学思维提升运算与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|无理数概念、实数分类|单选题1-3直接考查概念辨析，如判断无理数及实数性质| |性质应用|绝对值、相反数、大小估算|填空题11-13结合估算与概率，强化性质灵活运用| |综合实践|数轴表示、勾股定理应用|解答题16、20通过作图与计算，深化数形结合思想|

2.1 认识实数 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 2．小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 3．有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 5．若，则整数的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 9．下列四个数：2，，，，其中最小的数是（    ） A．2 B． C． D． 10．如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果为两个连续的正整数，则___________； 12．“若a是实数，则”这一事件是______．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 13．从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是________． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请写出一个关于实数a，b运算正确的结论：________． 15．如图，长方形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为_________． 三、解答题 16．在数轴上作出表示对应的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 17．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 18．有五个实数：，，，，4，其中四个已经在数轴上分别用点表示． (1)点表示数_______，点表示数_______，点表示数________； (2)将上面五个数按从小到大的顺序，用“”连接：________． 19．阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 20．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D B A A B B A 1．【答案】D 【知识点】无理数 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，判断各选项即可． 【详解】解：A、 0是整数，属于有理数，故不符合题意； B、，2是整数，属于有理数，故不符合题意； C、 是分数，属于有理数，故不符合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，故符合题意； 2．【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】根据实数的分类与概念，有理数与无理数的概念逐一分析即可． 【详解】解：带根号的数不一定是无理数；故①不符合题意； 无理数是无限不循环的小数，故②不符合题意； 无理数是无限小数，故③符合题意； 所有实数不都是分数，无理数就不是分数，故④不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是无理数的含义，实数的含义，熟记概念是解本题的关键． 4．【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、实数概念理解、实数的分类 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 5．【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，估算出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为整数， ∴， 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及数轴上点的位置与实数的对应关系．先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解答． 【详解】解：， ， 即， 在数轴上实数对应的点可能是点， 故选：． 8．【答案】B 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 【详解】解：∵ 为有理数， ∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数）， A、不确定是不是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B符合题意； C、不确定是不是有理数，故C不符合题意； D、不确定是不是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 9．【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用实数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：， ∴最小的数是：． 故选：B． 10．【答案】A 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 11．【答案】3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算出的取值范围，再推得的取值范围，根据，是连续正整数确定，的值，代入计算即可． 【详解】解： ，即 ∴ ，且为两个连续的正整数 ， ． 12．【答案】随机事件 【知识点】实数概念理解、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断判断即可． 【详解】解：∵a是实数， ∴， ∴“若a是实数，则”这一事件是随机事件， 故答案为：随机事件． 13．【答案】 【知识点】实数的分类、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类．先找出分数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵在、0.2、、、0.3、这6中，分数有共3个， ∴取到的数是分数的概率是. 故答案为：． 14．【答案】（答案不唯一） 【知识点】两个有理数的乘法运算、实数与数轴 【详解】解：由数轴可知，，则． 15．【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】利用勾股定理求出的长度，根据画图的方法知求解． 【详解】解：在中，， ， ∵以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D， ∴， 则点对应的数为． 16．【答案】 如图，点即为所求； 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】设点表示的数为1，点表示的数为，以、为直角边作直角三角形，则，以为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于，则表示的数为． 【详解】略 17．【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 18．【答案】(1)，， (2) 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解题关键． （1）根据A、B、D在数轴上的位置即可判断出答案； （2）根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案． 【详解】（1）解：根据A、B、D在数轴上的位置， 可知，点A表示数，点B表示数，点D表示数， 故答案为：，，； （2）由数轴可知：， 故答案为：． 19．【答案】(1)3,3 (2)1, 大， (3) 【知识点】实数的性质、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可； （2）根据题意，得，根据提供方法解答即可； （3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可． 本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是3， ∴的最小值是3， 故答案为：3,3． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴的最大值是， 故答案为：1, 大，． （3）解：根据题意，得变形为， 故， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值为． 20．【答案】(1)，或 (2) 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段 ，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $