第3章 数学活动 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦代数式知识，通过“数字1与字母X的对话”结合代数历史，引导学生从算术过渡到代数，理解字母表示数的意义，搭建具体到抽象的学习支架。 以拼图游戏和密码学任务为特色，实例与变式训练强化规律探究，培养直观想象、数学抽象和应用意识，助力学生用数学思维解决实际问题，提升学习兴趣与核心素养。

姓名: 学科: 日期: 第3章 代数式 数学活动 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年8月25日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 通过阅读与思考、数学活动（拼图小游戏、密码中的数学），进一步加深学生对代数式相关知识的理解与运用，同时培养学习数学的浓厚兴趣.（数学抽象、直观想象、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 阅读与思考：数字1与字母X的对话 1：数学的产生从数开始，数是数学世界的主人. X：我是字母，我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的 ，可以代表你1，也可以代表其他数. 1：由我们数组成的式子有确切的大小. 例如，人们一见到就知道是1与2的和，即3.你们字母能做到吗？ X：含有我们字母的式子进行运算和推理时具有 . 例如，可以表示任何两个数的 ，包括；能表示任何两个数相加时都可以交换顺序，即加法满足 . 1：人们解决实际问题时，需要根据已知的具体的数进行计算，进而求得结果，字母能发挥什么作用呢？ X：在解决实际问题时，用字母表示 ，把字母列入算式（方程)，能更方便地表示 ，数和字母一起运算使问题的解法更简单. 1：人们经过长期实践创造出了数，并建立了专门研究数及其运算的数学分支——算术，有专门研究字母的数学分支吗？ X：随着实践的发展，人们发现只有算术还不够，用字母表示数会起到更大的作用，于是产生了代数这一数学分支，它首先研究的就是用字母表示的式子的 和方程的 ，从算术发展到代数是数学的一大进步. 1：算术几乎是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的，它有着非常悠久的历史，代数有怎样的历史呢？ X：代数的历史可以追溯到约3800年前的 和 时期，那时就有代数思想的萌芽，中国的《 》中的“方程”是古典代数学研究的核心内容.3世纪，代数在希腊获得显著的发展，其代表人物是被誉为代数学鼻祖的丢番图（活动于250年前后）.之后，印度的代数发展得很快，同时，阿拉伯地区的代数研究也取得很大进展，其中著名的代表作是数学家花拉子米（约780—约850）于820年左右发表的《 》，这本书第一次提出了这门学科的名称. 2、 活动1：拼图小游戏 （一）火柴拼图游戏 如图1，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有个三角形，需要多少根火柴棍？ 探究：由图形可知 1个三角形：需要 根火柴； 2个三角形：需要 根火柴； 3个三角形：需要 根火柴； 4个三角形：需要 根火柴； 5个三角形：需要 根火柴； …… 通过观察可得如下规律： ∴个三角形，需要 根火柴棍. （二）小正方形拼大正方形游戏 如图2，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多几个小正方形？ 探究： 第1个正方形需要4个小正方形 第2个正方形需要9个小正方形 第3个正方形需要 个小正方形 通过观察可得如下规律： ∴第个正方形需要 个小正方形 第 个正方形需要 个小正方形 故按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形个数为 . （3） 实例运用 例1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 例2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． （四）变式训练 【变式1】探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【变式2】观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 3、 活动2：密码中的数学 （一）问题探究 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系. 例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序： 如果规定又接在的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 这样就能把密文“”破译成明文 “ ”， 从而解读出密文的意思了. 请你研究以下问题, 1.问题1：将26个英文字母依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数为奇数时，明文对应的序号为 ；当密文中的数为偶数时，明文对应的序号为 . 请将密文破译成用英文字母表示的明文. 探究： 由题意可列下表 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ∵密文与明文之间的关系为： 当密文中的数为奇数时，明文对应的序号为 ；当密文中的数为偶数时，明文对应的序号为 . ∴对于密文“26 2 19 7”： （1） 当时， （2） 当时， （3） 当时， （4） 当时， 故密文“26 2 19 7”译成用英文字母表示的明文为 2.问题2:请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信. 探究：过程见实例运用. （2） 实例运用 例3．小丽在学习了“密码中的数学”后，编制了如图的密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文．例如，密文“8，2，17，5，14，，6，12”翻译成明文为“台湾是中国的领土”．现在小丽给出一段密文 “23，25，29，35”，请写出相应的明文（   ） A．我爱学习 B．我爱中华 C．爱我中国 D．我爱祖国 例4．密码学中的数学规律：在密码学中，未加密的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”，字母按规律加密后会得到新字母，如： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 明文A→密文D    明文→密文    明文→密文 请你先观察字母变化规律，再根据规律解密：明文→密文( )． （三）变式训练 【变式3】阅读与思考 活动 密码中的数学 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如， 对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有． 这样就能把密文“”破译成明文“”， 从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)基础破译题 已知破译“钥匙”为“”，请将密文“”破译成明文． (2)反向编码题 已知编码“钥匙”为“”，请将明文“”编码成密文． (3)钥匙推理题 现有明文“”，按照某一“钥匙”编码后得到密文“”，请观察字母移动规律，推断出这次破译使用的“钥匙”． (4)拓展延伸 规定字母对应英语字母表中的位置（），编码“钥匙”为“字母对应数字，再转换回字母（若结果超过26则减26）”．请将明文“”按照此规则编码成密文． 【详解】（1）解：根据题意，破译“钥匙”为“ ”， 密文“”中N的前面第三个字母是 , f的前面第三个字母是 , g的前面第三个字母是 , h的前面第三个字母是 , j的前面第三个字母是 , 故破译成明文为： ． （2）解：编码“钥匙”为“ ”，明文“”中，g的前面第1个字母是 , o的前面第1个字母是 , d的前面第1个字母是 , 故编码成密文为 ． （3）解：密文“”分别向 数 个字母即为明文字母， 故明文“”，按照 “钥匙”编码后得到密文“” 故答案为： . （4）解：根据题意，得， e的序号是 ，且 ， 故对应密文字母为 ； a的序号是 ，且 ， 故对应密文字母为 ； s的序号是 ，且 ， 故对应密文字母为 ； y的序号是 ，且 ， 故对应密文字母为 ； 故答案为： . 4、 达标检测 1．如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 3．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 5．如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 6．按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 7．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 8．观察下列等式： ① ② ③ …… 据此规律计算：的值为________． 9．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 10．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 11．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 13．相同的小棒按如图所示方式摆图形．摆第个图形需要( )根小棒，摆个需要( )根小棒． 14．如图，小明在学习了《密码中的数学》后设计了一种数字圆盘，按顺时针方向编号1~20，并利用三种颜色循环标记这些编号制定一种解密规则：沿着圆盘顺时针方向按照“红一绿一白一红一绿一白……”的规律，每经过一个编号便标记1次．比如小明先在1号处标记1次红色，然后在2号处标记1次绿色，接着在3号处标记1次白色，在4号处又再次标记红色…当绕圆循环若干圈后不同编号处不同颜色的标记次数均对应不同的密码：已知绕圆周循环了2025圈，那么此时编号4处被标记了_____次红色． 15．观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 16．【密码中的数学】在趣味数学社团的学习中，同学们知道了周恩来总理曾经编制过“豪密”电台密码，这套密码在历史上始终未被敌人破译，其卓越的安全性让同学们深感兴趣，于是也萌生编制一套“仿豪密”密码规则的想法． (1)首先，同学们进行初步探索，制定了一种密码规则：这种规则在数字与数字之间建立一种对应关系． 明文 密文 按这种密码规则，请将明文“”翻译成密文“ ”； (2)在初步探索的基础上，同学们编制了一套“仿豪密”密码规则：这种规则在文字与数字之间建立一种对应关系，通过不同的加密方式将明文对应的数字转化为新的数字，从而实现文字与文字之间的相互转化． 中 华 人 民 爱 你 我 例如：对明文“我”进行翻译：“我”对应数字“”，若加密方式为“”，，“”对应文字“民”，则明文“我”翻译成密文“民”．请你根据下列指定的加密方式，在空格处填写适当的文字． 明文 你 人 加密方式 与差的绝对值 密文 中 华 17．密码中的数学 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序： a  b  c  d  e  f  g  h  i  j  k  l  m  n  o  p  q  r  s  t  u  v  w  x  y  z 如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有→这样就能把密文“”破译成明文“（我是一名学生）”，从而解读出密文的意思了． 请你解答下列问题： (1)密文“”的明文是______． (2)明文“（学校）”的密文是______． (3)直接写出密文“”的明文． (4)请你研究以下问题： ①将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数：1，2，3，…，26．对于密文“26  2  19  7”，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为．请将密文破译成用英文字母表示的明文． ②请你利用数学式子来设计一种明文与密文的关系． 18．【活动主题】 密码中的数学． 【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“”可破译成明文______． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7 38”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为______． 【研究拓展】 （3） 小叮当沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，把明文“”译成密文“”，请你写出这组密码的对应关系． 19．综合实践：密码中的数学 材料一：在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息，凯撒密码是世界上最古老的密码之一，相传2000多年前，该密码由古罗马著名的军事统帅凯撒发明并应用在军事通信领域．在凯撒密码中，每个字母都按照字母表的顺序，以固定的位移数（即密钥）移动一定的位置，这样每个字母都会有规律地被另一个字母替代．如图1是向右移动3位的凯撒密码，即密钥为3．其中明文用小写字母表示，密文用大写字母表示．由此得到了凯撒密码表（图2）． 材料二：如图3，小明制定了一种密码规则，这种规则在数字和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文，例如，密文“2”翻译成明文为“B”，密文“236”翻译成明文为“”． (1)密文“”对应的明文为“___________”，明文“”对应的密文为“___________”； (2)为保证加密结果不重复，密钥的有效取值有___________种； (3)将29个明文字母和字符分别对应数字，那我们可以用代数式表示每一层密文与明文之间的对应关系．第二层密文___________，第层密文___________（只列式，不化简），若密文为100，则明文为___________； (4)受小明的启发，小红也编制了一种密码规则，如图4．善于思考的小红发现，存在一些密文在两种密码规则中，对应的明文相同，请求出满足题意的明文，并说明理由． 20．结合教材第83页数学活动“密码中的数学”，张老师举行了“我是小小魔术师”的活动，请根据以下素材解决问题： 我是小小魔术师 素材一 密码是按特定法则编成，用以对通信双方的信息进行明密变换的符号．为了确保信息正确，信息需要加密传输： 传送方：明文密文；接收方：密文明文 素材二 初步探索：为了便于理解，制定了一种简易的密码规则： 明文 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 密文 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 按照这种规则，如果明文为“3”，则密文为“7”；如果明文为“35”，则密文为“79” 素材三 在初步探索的基础上，根据电脑键盘中字母顺序，制定了一种新密码规则： Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 通过不同的加密方式，可以实现字母与数字之间的相互转化．给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的数字时，解密后，明文对应的数字为； 当密文对应的数字时，解密后，明文对应的数字为，m为整数． 例如：对密文“Q”进行解密：“Q”对应的数字是“1”，因为，解密后，明文对应的数字为，“26”对应字母“M”，则密文“Q”翻译成明文为“M” (1)根据素材二，如果密文为“6460”，则明文为______； (2)根据素材三，假设密文为“”，解密后，明文对应的数字的和为58，请求出m的值，并直接写出解密后的明文． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 第3章 代数式 数学活动 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年8月25日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 通过阅读与思考、数学活动（拼图小游戏、密码中的数学），进一步加深学生对代数式相关知识的理解与运用，同时培养学习数学的浓厚兴趣.（数学抽象、直观想象、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 阅读与思考：数字1与字母X的对话 1：数学的产生从数开始，数是数学世界的主人. X：我是字母，我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数，可以代表你1，也可以代表其他数. 1：由我们数组成的式子有确切的大小. 例如，人们一见到就知道是1与2的和，即3.你们字母能做到吗？ X：含有我们字母的式子进行运算和推理时具有一般性. 例如，可以表示任何两个数的和，包括；能表示任何两个数相加时都可以交换顺序，即加法满足交换律. 1：人们解决实际问题时，需要根据已知的具体的数进行计算，进而求得结果，字母能发挥什么作用呢？ X：在解决实际问题时，用字母表示未知数，把字母列入算式（方程)，能更方便地表示数量关系，数和字母一起运算使问题的解法更简单. 1：人们经过长期实践创造出了数，并建立了专门研究数及其运算的数学分支——算术，有专门研究字母的数学分支吗？ X：随着实践的发展，人们发现只有算术还不够，用字母表示数会起到更大的作用，于是产生了代数这一数学分支，它首先研究的就是用字母表示的式子的运算法则和方程的解法，从算术发展到代数是数学的一大进步. 1：算术几乎是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的，它有着非常悠久的历史，代数有怎样的历史呢？ X：代数的历史可以追溯到约3800年前的古埃及和古巴比伦时期，那时就有代数思想的萌芽，中国的《九章算术》中的“方程”是古典代数学研究的核心内容.3世纪，代数在希腊获得显著的发展，其代表人物是被誉为代数学鼻祖的丢番图（活动于250年前后）.之后，印度的代数发展得很快，同时，阿拉伯地区的代数研究也取得很大进展，其中著名的代表作是数学家花拉子米（约780—约850）于820年左右发表的《代数学》，这本书第一次提出了这门学科的名称. 2、 活动1：拼图小游戏 （一）火柴拼图游戏 如图1，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有个三角形，需要多少根火柴棍？ 探究：由图形可知 1个三角形：需要3根火柴； 2个三角形：需要5根火柴； 3个三角形：需要7根火柴； 4个三角形：需要9根火柴； 5个三角形：需要11根火柴； …… 通过观察可得如下规律： ∴个三角形，需要根火柴棍. （二）小正方形拼大正方形游戏 如图2，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多几个小正方形？ 探究： 第1个正方形需要4个小正方形 第2个正方形需要9个小正方形 第3个正方形需要16个小正方形 通过观察可得如下规律： ∴第个正方形需要个小正方形 第 个正方形需要个小正方形 故按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多出的小正方形个数为 （3） 实例运用 例1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 例2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】根据前个图形的正方形数量，归纳出通用规律表达式，再把代入求值． 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． （四）变式训练 【变式1】探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：观察给出的算式可得： ∵ 第1个算式的结果为， 第2个算式的结果为， 第3个算式的结果为， ... ∴ 归纳规律：第个算式的结果为. 当时，， 因此第99个算式的结果是10000． 【变式2】观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 3、 活动2：密码中的数学 （一）问题探究 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系. 例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序： 如果规定又接在的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有 这样就能把密文“”破译成明文“”，从而解读出密文的意思了. 请你研究以下问题, 1.问题1：将26个英文字母依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数为奇数时，明文对应的序号为 ；当密文中的数为偶数时，明文对应的序号为 . 请将密文破译成用英文字母表示的明文. 探究： 由题意可列下表 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ∵密文与明文之间的关系为： 当密文中的数为奇数时，明文对应的序号为 ；当密文中的数为偶数时，明文对应的序号为 . ∴对于密文“26 2 19 7”： （1） 当时， （2） 当时， （3） 当时， （4） 当时， 故密文“26 2 19 7”译成用英文字母表示的明文为 2.问题2:请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信. 探究：过程见实例运用. （2） 实例运用 例3．小丽在学习了“密码中的数学”后，编制了如图的密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文．例如，密文“8，2，17，5，14，，6，12”翻译成明文为“台湾是中国的领土”．现在小丽给出一段密文 “23，25，29，35”，请写出相应的明文（   ） A．我爱学习 B．我爱中华 C．爱我中国 D．我爱祖国 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现数字和汉字的对应关系是解题的关键． 根据图示和实例找到对应数字所对应的汉字即可解答． 【详解】解：由题意得，密文“23，25，29，35”翻译成明文为我爱中华． 故选B． 例4．密码学中的数学规律：在密码学中，未加密的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”，字母按规律加密后会得到新字母，如： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 明文A→密文D    明文→密文    明文→密文 请你先观察字母变化规律，再根据规律解密：明文→密文( )． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探索． 找出规律作答即可． 【详解】解：明文A→密文D    明文→密文    明文→密文 可知明文字母变为密文后，变成原字母后的第三个字母 则明文→密文 故答案为： （三）变式训练 【变式3】阅读与思考 活动 密码中的数学 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如， 对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有． 这样就能把密文“”破译成明文“”， 从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)基础破译题 已知破译“钥匙”为“”，请将密文“”破译成明文． (2)反向编码题 已知编码“钥匙”为“”，请将明文“”编码成密文． (3)钥匙推理题 现有明文“”，按照某一“钥匙”编码后得到密文“”，请观察字母移动规律，推断出这次破译使用的“钥匙”． (4)拓展延伸 规定字母对应英语字母表中的位置（），编码“钥匙”为“字母对应数字，再转换回字母（若结果超过26则减26）”．请将明文“”按照此规则编码成密文． 【详解】（1）解：根据题意，破译“钥匙”为“”， 密文“”中N的前面第三个字母是K, f的前面第三个字母是c, g的前面第三个字母是d, h的前面第三个字母是e, j的前面第三个字母是g, 故破译成明文为：． （2）解：编码“钥匙”为“”，明文“”中，g的前面第1个字母是f, o的前面第1个字母是n, d的前面第1个字母是c, 故编码成密文为． （3）解：密文“”分别向前数3个字母即为明文字母， 故明文“”，按照 “钥匙”编码后得到密文“” 故答案为： （4）解：根据题意，得，e的序号是5，且， 故对应密文字母为z； a的序号是1，且， 故对应密文字母为v； s的序号是19，且， 故对应密文字母为n； y的序号是25，且， 故对应密文字母为t； 故答案为： 4、 达标检测 1．如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】先根据前面三个图形中的数据再找出一般性的规律进而求解． 【详解】解：第一个图中最上方的数据， 第二个图中最上方的数据， 第三个图中最上方的数据， … 第个图中最上方的数据， 故选：A． 2．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形及数据，根据发现的规律求解即可． 【详解】由图可得：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， ……， 第个图中有个圆点， 第⑦个图中圆点的个数是． 3．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】图形类规律探索 【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项． 【详解】解：第①个图形正方形个数：， 第②个图形正方形个数：， 第③个图形正方形个数：． 归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去． ∴第⑨个图形正方形的个数 ． 4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 5．如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【详解】解：观察可知，第个图中的棋子数为个， ∴第⑦个图中的棋子数为，第⑥个图中的棋子数为， ∴第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多枚. 6．按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论． 【详解】解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子， 故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）． 令，可得（把）． 7．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 【答案】 64 10 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察数表可知，第行有个数，且前行共有个数，即第行最后一个数为，通过估算确定2026所在的行数，进而求出列数． 【详解】解：由图可知，第1行最后一个数是1， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， 第4行最后一个数是， 第行最后一个数是， 当时，， 当时，， ∵， ∴2026在第64行， ∵第63行最后一个数是2016， ∴第64行第1个数是2017， ， ∴2026是第64行第10列． 8．观察下列等式： ① ② ③ …… 据此规律计算：的值为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据代数式的规律可得，结合题意得出，进行化简即可得出答案． 【详解】解：观察代数式可得， 当，时， 即， ∴． 9．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1， 第2层三角形的个数为：3， 第3层三角形的个数为：5， 第4层三角形的个数为：7， 第5层三角形的个数为：9， …… 第n层的三角形的个数为：， ∴当时，三角形的个数为：． 10．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 11．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 【详解】解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 12．如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________． 梯形个数 … 图形周长 … 【答案】6080 【难度】0.75 【知识点】图形类规律探索 【分析】每增加一个梯形，其周长就增加，据此求解即可得出n个梯形得到的图形的周长，从而可求解． 【详解】解：1个梯形时，其周长， 2个梯形时，其周长， 3个梯形时，其周长， ...， 个梯形时，其周长为， 当时，其周长为：． 13．相同的小棒按如图所示方式摆图形．摆第个图形需要( )根小棒，摆个需要( )根小棒． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】先依次列出个相连六边形对应的小棒数量，对比发现每多一个六边形增加根小棒，推导出个六边形所需小棒的通用代数式，最后把代入式子算出结果． 【详解】解：观察图形小棒数量的规律： 个六边形（第个图形）：需要根小棒，可写成； 个相连六边形（第个图形）：拼接时重合条边，仅增加根小棒，共根，可写成； 个相连六边形（第个图形）：再增加根小棒，共根，可写成； 由此可得规律：每多个六边形，增加根小棒，摆个图形需要小棒根； 当时，代入得（根）； 故第个图形需要根，摆个图形需要小棒根． 14．如图，小明在学习了《密码中的数学》后设计了一种数字圆盘，按顺时针方向编号1~20，并利用三种颜色循环标记这些编号制定一种解密规则：沿着圆盘顺时针方向按照“红一绿一白一红一绿一白……”的规律，每经过一个编号便标记1次．比如小明先在1号处标记1次红色，然后在2号处标记1次绿色，接着在3号处标记1次白色，在4号处又再次标记红色…当绕圆循环若干圈后不同编号处不同颜色的标记次数均对应不同的密码：已知绕圆周循环了2025圈，那么此时编号4处被标记了_____次红色． 【答案】675 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查找规律，解题的关键是能够找出题目的中的规律． 根据图形的变化规律得第圈会在4号圆盘内标记红色，即可求出结果． 【详解】解：第一圈在1、4、7、10、13、16、19号圆盘内标记红色， 第二圈在2、5、8、11、14、17、20号圆盘内标记红色， 第三圈在3、6、9、12、15、18号圆盘内标记红色， 第四圈在1、4、7、10、13、16、19号圆盘内标记红色， … 第1、4、7、10…圈会在4号圆盘内标记红色， ， ∴绕圆周循环了2025圈，那么此时编号4处被标记了675次红色． 故答案是：675． 15．观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 【答案】(1)9 (2) (3)53 【难度】0.7 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】（1）先统计已知的第1层、第2层、第3层、第4层的点数，分析相邻两层点数的差值规律即可求解； （2）根据层数和对应点数之间的规律，即可归纳出第层的点数公式； （3）将层数代入（2）中的公式计算即可． 【详解】（1）解： 第1层有 个点，第2层有 个点，第3层有 个点，第4层有 个点， 如果继续画下去，那么第5层有 个点 （2）解：第1层： 第2层： 第3层： 第4层： 按照这个规律：第层应该有个点． （3）解：把代入规律公式，得（个）， 所以第27层有个点． 16．【密码中的数学】在趣味数学社团的学习中，同学们知道了周恩来总理曾经编制过“豪密”电台密码，这套密码在历史上始终未被敌人破译，其卓越的安全性让同学们深感兴趣，于是也萌生编制一套“仿豪密”密码规则的想法． (1)首先，同学们进行初步探索，制定了一种密码规则：这种规则在数字与数字之间建立一种对应关系． 明文 密文 按这种密码规则，请将明文“”翻译成密文“ ”； (2)在初步探索的基础上，同学们编制了一套“仿豪密”密码规则：这种规则在文字与数字之间建立一种对应关系，通过不同的加密方式将明文对应的数字转化为新的数字，从而实现文字与文字之间的相互转化． 中 华 人 民 爱 你 我 例如：对明文“我”进行翻译：“我”对应数字“”，若加密方式为“”，，“”对应文字“民”，则明文“我”翻译成密文“民”．请你根据下列指定的加密方式，在空格处填写适当的文字． 明文 你 人 加密方式 与差的绝对值 密文 中 华 【答案】(1)； (2)（从第一行开始）爱，爱或中，爱，我． 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】（）读懂题意，根据密码规则即可求解； （）读懂题意，根据密码规则即可求解； 本题考查了有理数的加减乘除运算，绝对值的定义，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据数字与数字之间建立一种对应关系，明文“”翻译成密文为“”， 故答案为：； （2）解：明文“你”通过加密方式，得，所以所对的密文为“爱”； 明文“人”通过加密方式，得，所以所对的密文为“我”； 由于所对密文“中”是通过加密方式得到，则明文为，所以所对的明文为“爱”； 由于所对密文“华”是通过加密方式“与差的绝对值”得到，则明文为或，所以所对的明文为“爱”或“中”， 故答案为：（从第一行开始）爱，爱或中，爱，我． 17．密码中的数学 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序： a  b  c  d  e  f  g  h  i  j  k  l  m  n  o  p  q  r  s  t  u  v  w  x  y  z 如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有→这样就能把密文“”破译成明文“（我是一名学生）”，从而解读出密文的意思了． 请你解答下列问题： (1)密文“”的明文是______． (2)明文“（学校）”的密文是______． (3)直接写出密文“”的明文． (4)请你研究以下问题： ①将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数：1，2，3，…，26．对于密文“26  2  19  7”，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为．请将密文破译成用英文字母表示的明文． ②请你利用数学式子来设计一种明文与密文的关系． 【答案】(1)（中国） (2) (3)（我爱我的祖国） (4)①（数学）；②当密文对应的序号x小于13时，明文对应的序号为；当密文对应的序号大于等于13时，明文对应的序号为．（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再将每个密文进行查找出对应的明文，即可作答． （2）先充分理解题意，再将每个明文进行查找出对应的密文，即可作答． （3）先充分理解题意，再将每个密文进行查找出对应的明文，即可作答． （4）①先充分理解题意，再找出每个数字对应的明文序号，最后用英文字母表示的明文，即可作答． ②先充分理解题意，利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，密文“”的明文是（中国）； （2）解：依题意，明文“（学校）”的密文是； （3）解：依题意，密文“”的明文为（我爱我的祖国） （4）解：①依题意，26是偶数，明文对应的序号为，即用英文字母表示的明文是； 2是偶数，明文对应的序号为，即用英文字母表示的明文是； 19是奇数，明文对应的序号为，即用英文字母表示的明文是； 7是奇数，明文对应的序号为，即用英文字母表示的明文是； 故将密文“26  2  19  7”破译成用英文字母表示的明文：（数学）； ②当密文对应的序号x小于13时，明文对应的序号为；当密文对应的序号大于等于13时，明文对应的序号为．（答案不唯一） 18．【活动主题】 密码中的数学． 【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“”可破译成明文______． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7 38”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为______． 【研究拓展】 （3） 小叮当沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，把明文“”译成密文“”，请你写出这组密码的对应关系． 【答案】（1）；（2）；（3）当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （2）根据题意分别找到密文中每个字母对应的明文即可得到答案； （3）先分别求出密文和明文对应的序号，再找到序号之间的关系即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，密文“”可破译成明文“”， 故答案为：； （2）由题意得，密文“26  2  19  7  38”表示的明文序号为13  1  20  8  19， ∴将密文破译成英文字母表示的明文为， 故答案为：； （3）明文“”用序号表示为“20  5  1  3  8  5  18”， 密文“”用序号表示为“24  4  2  3  18  4  23”， ∵，，，，，，， ∴当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为． 19．综合实践：密码中的数学 材料一：在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息，凯撒密码是世界上最古老的密码之一，相传2000多年前，该密码由古罗马著名的军事统帅凯撒发明并应用在军事通信领域．在凯撒密码中，每个字母都按照字母表的顺序，以固定的位移数（即密钥）移动一定的位置，这样每个字母都会有规律地被另一个字母替代．如图1是向右移动3位的凯撒密码，即密钥为3．其中明文用小写字母表示，密文用大写字母表示．由此得到了凯撒密码表（图2）． 材料二：如图3，小明制定了一种密码规则，这种规则在数字和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文，例如，密文“2”翻译成明文为“B”，密文“236”翻译成明文为“”． (1)密文“”对应的明文为“___________”，明文“”对应的密文为“___________”； (2)为保证加密结果不重复，密钥的有效取值有___________种； (3)将29个明文字母和字符分别对应数字，那我们可以用代数式表示每一层密文与明文之间的对应关系．第二层密文___________，第层密文___________（只列式，不化简），若密文为100，则明文为___________； (4)受小明的启发，小红也编制了一种密码规则，如图4．善于思考的小红发现，存在一些密文在两种密码规则中，对应的明文相同，请求出满足题意的明文，并说明理由． 【答案】(1)， (2)25 (3)，，M (4)全部29个明文字符和空格 【难度】0.65 【知识点】列代数式、数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据凯撒密码表求解即可； （2）根据26个英文字母求解即可； （3）根据密码规则列式，然后将代入求解即可； （4）设小红第层密文，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：密文“”对应的明文为“”，明文“”对应的密文为“”； （2）解：∵凯撒密码基于26个英文字母循环移位，若密钥为26则与原字母表相同，加密结果重复， 故有效密钥为1，2，…，25，共25种； （3）解：根据题意得，第二层密文，第层密文， 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴明文为M； （4）解：∵小明第层密文，设小红第层密文， 根据题意得， ∴ ∴当时，只要取即可． ∴满足题意的明文全部29个明文字符和空格． 20．结合教材第83页数学活动“密码中的数学”，张老师举行了“我是小小魔术师”的活动，请根据以下素材解决问题： 我是小小魔术师 素材一 密码是按特定法则编成，用以对通信双方的信息进行明密变换的符号．为了确保信息正确，信息需要加密传输： 传送方：明文密文；接收方：密文明文 素材二 初步探索：为了便于理解，制定了一种简易的密码规则： 明文 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 密文 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 按照这种规则，如果明文为“3”，则密文为“7”；如果明文为“35”，则密文为“79” 素材三 在初步探索的基础上，根据电脑键盘中字母顺序，制定了一种新密码规则： Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 通过不同的加密方式，可以实现字母与数字之间的相互转化．给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的数字时，解密后，明文对应的数字为； 当密文对应的数字时，解密后，明文对应的数字为，m为整数． 例如：对密文“Q”进行解密：“Q”对应的数字是“1”，因为，解密后，明文对应的数字为，“26”对应字母“M”，则密文“Q”翻译成明文为“M” (1)根据素材二，如果密文为“6460”，则明文为______； (2)根据素材三，假设密文为“”，解密后，明文对应的数字的和为58，请求出m的值，并直接写出解密后的明文． 【答案】(1)2026 (2)，解密后的明文为 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数字类探究规律，一元一次方程的应用； （1）根据密文和明文对应的数字，即可求解； （2）密文“”解密后，明文对应的数字之和为得，求出，再进行翻译即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：密文为“6460”对应的明文为2026， 故答案为：2026； （2）解：对于密文“”， “Q”对应的数字是“1”，因为，则明文对应的数字，明文为“M”； “B”对应的数字是“24”，因为，则明文对应的数字； “K”对应的数字是“18”，因为，则明文对应的数字； “A”对应的数字是“11”，因为，则，明文为“”； ∵明文对应的数字的和为58， ∴， 解得：， “B”对应的数字是“24”，因为，则明文对应的数字，明文为“”； “K”对应的数字是“18”，因为，则明文对应的数字，明文为“”； 解密后的明文为． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $