5.1 方程-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案围绕“5.1 方程”展开，核心内容包括一元一次方程的概念、列方程解决实际问题及等式的性质。课堂导入通过客车与卡车行驶问题，先引导学生尝试算术法，再设未知数表示时间关系，搭建从算术到代数的学习支架，衔接前后知识。 该资料以实际问题情境激发兴趣，通过问题链引导学生抽象数量关系，培养数学眼光和抽象能力。例题与练习结合生活实例，如买铅笔、梯形面积等，帮助学生用数学语言表达现实问题，形成模型意识，习题分层设计且注重检验，提升数学思维的推理能力。

5.1 方程 知识框架： · 一元一次方程 · 等式的性质 一、一元一次方程 问题 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1h经过B地. A，B两地间的路程是多少？ 你会用算术法解决这个问题吗？列算式试试. 如果设A，B两地相距x km，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？ 客车从A地到B地的行驶时间：h 卡车从A地到B地的行驶时间：h 想一想，如何用式子表示两车的行驶时间之间的关系？ 因为客车比卡车早1h经过B地，所以比小1，即. 我们已经知道，方程是含有未知数的等式.等式中的x是未知数，这个等式是一个方程. 思考 对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？ 解：设客车从A地到B地的时间为xh，则卡车从A到B的所用时间为(x+1)h.由A到B的路程为定值可列方程：70x=60(x+1) 列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式—方程. 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ (2)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？ (3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 解：(1)设正方形的宽为x cm. 列方程 4x=24 (2)设x月后这台计算机的使用时间达到2450h，那么在x月里这台计算机使用了150x h. 列方程 1700+150x=2450 (3)设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x. 列方程 0.52x-(1-0.52)x=80 观察 下列方程有什么共同特点？ (1) (2) 70x=60(x+1) (3) 4x=24 (4) 1700+150x=2450 (5) 0.52x-(1-0.52)x=80 · 上面各方程都只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 归纳 上面的分析过程可以表示如下： 可以发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程4x=24等号左右两边相等.x=6叫做方程4x=24的解.这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6.同样地，当x=5时，1700+150x的值是2450，这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等.x=5叫做方程1700+150x=2450的解.这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5. 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解. 思考 x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解？ 解：把x=1000代入方程，左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40≠右边， 因此，x=1000不是方程的解. 把x=2000代入方程，左边=0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80=右边， 因此，x=2000是方程的解. 练习1 根据下列问题，设未知数，列出方程. 1. 环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？ 2.甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？ 3.一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底. 4.用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 作业1 1．根据下列条件，可以列出一元一次方程的是（　　）． A．－5比2小7 B．买3支钢笔打9折要用15元 C．小明比小华大3岁 D．a与b的和是2 008 2．某商品的原价为x元，降价12%后的售价为176元，列出的方程是（　　）． A．12%·x=176 B．x=176×12% C．（1－12%）x=176 D．（1＋12%）x=176 3．若关于x的方程3－5=0是一元一次方程，则a=＿＿＿＿. 4．判断下列各式哪些是一元一次方程，并说明为什么？ （1）；　　　　　（2）3x－2；　　　　　（3）； （4）5x2－3x＋1；　　　　（5）3x＋y=1－2y；　　　 （6）1－7y2=2y． 二、等式的性质 猜谜语 上图是一架天平，现在我把“天平”做为谜面，请你们猜一数学术语. · 等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=b±c. · 等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么=. 例2 利用等式的性质解下列方程： (1) x+7=26； (2) -5x=20； (3) -x-5=4. 解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据. 解：(1)两边减7，得 x + 7 - 7 = 26 - 7 于是 x = 19. (2)两边除以-5，得 于是 x = -4. (3)两边加5，得 -x-5+5=4+5 化简，得 -x=9 两边乘-3，得 x = -27. · 检验方程：一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 例如，将x=-27代入方程-x-5=4的左边，得 -×(-27)-5=9-5=4. 方程的左右两边相等，所以x=-27是方程-x-5=4的解. 练习2 利用等式的性质解下列方程并检验： (1) x-5=6； (2) 0.3x =45； (3) 5x+4=0； (4) 2-x=3. 作业2 1．若－8＝1是一元一次方程，则a＝＿＿＿＿． 2．下列方程中以为解的是（　　）． A．－2x＝4 B．－2x－1＝－3 C． D． 3．已知5a－3b－1＝5b－3a，利用等式的性质比较a、b的大小． 4．利用等式性质解方程： 5．服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3.5米，儿童每套平均用布1.5米，现在已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？ 检测 1．若方程3（x＋4）－4＝2k＋1的解是－3，则k的值是（　　）． A．1　　　　　　B．－1　　　　　　C．0　　　　　　D．－ 2．等式两边都加上（或减去）＿＿＿＿或＿＿＿＿，所得结果仍是等式． 3．等式两边都乘以（或除以）＿＿＿＿（　　　　），所得结果仍是等式． 4．若2x－a＝3，则2x＝3＋＿＿＿＿＿＿，这是根据等式的性质1，在等式两边同时＿＿． 5．若－6a＝4.5，则＿＿＿＿＝－1.5，这是根据等式的性质，在等式两边同时＿＿＿＿． 6．若－＝－，则a＝＿＿＿＿这是根据等式的性质，在等式两边同时＿＿＿． 答案 练习1 解：1.设跑x周. 列方程：400x=3000 2.设买甲种铅笔x支，则乙种铅笔(20-x)支. 列方程：0.3x+0.6(20-x)=9 3.设上底为x cm，列方程：×5(x+x+2)=40 4.设大水杯的单价为x元，则小水杯的单价为(x-5)元. 列方程：10x=15(x-5) 作业1 1．B．　　2．C．3．0． 4．（1）是．因为x=是方程，且方程只含有一个未知数x，且含未知数的项最高次数是1．（2）不是．3x－2不是等式，所以不是方程． （3）不是．因为y－=－1虽然是方程但含有两个未知数x、y． （4）不是．因为5x2－3x＋1不是等式．（5）不是．因为3x＋y=1－2y含有两个未知数． （6）不是．因为1－7y2=2y中未知数最高次数为2． 练习2 解：(1)两边加5，得 x - 5 + 5 = 6 + 5 于是 x = 11 将x =11代入方程x-5=6的左边，得 11-5= 6 方程的左右两边相等，所以x =11是方程的解. (2)两边除以0.3，得 0.3x ÷ 0.3 = 45÷ 0.3 于是 x = 150 将x =150代入方程0.3x =45的左边，得 0.3×150=45 方程的左右两边相等，所以x =150是方程的解. (3)两边减4，得 5 x + 4 - 4 = 0 - 4 化简，得 5 x = -4 两边除以5，得 于是 x = -. 将x = -代入方程5x+4=0的左边，得 5×(-)+4=0 (4)两边减2，得 2-2-x =3-2 化简，得 -x =1 两边乘-4，得 -x×(-4)=1×(-4) 于是 x = -4. 将x =-4代入方程2-x =3的左边，得 2-×(-4)=3 方程的左右两边相等，所以x =-4是方程的解. 作业2 1．．2．D．4．x＝． 3．解：利用等式的性质将它们移到等式的同一侧，即5a＋3a－1＝5b＋3b，再进行化简，得8a－1＝8b，最后用作差法比较大小，即8a－8b＝1，8（a－b）＝1，a－b＝＞0，所以a＞b． 5．解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要1.5x米，根据题意，得 80×3.5＋1.5x＝355， 化简，得280＋1.5x＝355， 两边减280，得1.5x＝75， 两边除以1.5，得x＝50. 答：用余下的布还可以做50套儿童服装． 检测 1．B．2．同一个数；　同一个代数式．3．同一个数；　除数不为0． 4．a；　加上a．5．2a；　除以－3．6．5b；　乘以－100． 学科网（北京）股份有限公司 $