3.1 列代数式表示数量关系导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦列代数式表示数量关系，通过智能机器人采摘苹果等真实情境导入，衔接小学用字母表示数的知识，构建从具体问题到代数式概念再到正反比例关系的学习支架，引导学生逐步掌握相关知识。 以情境化问题驱动学习，如智慧农业、冬奥会造雪等实例培养数学建模与抽象能力，通过问题探究和变式训练发展推理意识，达标检测覆盖多样题型，助力学生用数学语言表达现实世界，提升应用意识与学习效率。

姓名: 学科: 日期: 3.1列代数式表示数量关系 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：3课时 日期：2026年8月20日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，通过构建具体关系式总结得出代数式的概念，并能列代数式表示简单问题的数量关系（数学建模、数学抽象▪重难点） 2. 经历问题探究，熟练掌握列代数式表示数量关系的方法与技巧，并能运用其解决相关的实际问题.（数学建模▪重点） 3.经历情景问题，理解与掌握正比例关系与反比例关系的概念与性质，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 代数式的概念 （1） 情景导入 在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的应用，看下面的问题. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均 可以采摘一个苹果，根据这些数据回答下列问题： （1）该机器人能识别多大范围内的苹果？呢？呢? （2）该机器人识别范围内的苹果需要多少秒? （3）若该机器人搭载了个机械手（)，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 分析： 这个问题包含三个量：工作量、 和 ，它们之间的关系为 1.探究1.对于问题（1），据“”可得 该机器人能识别的范围（单位：）是 能识别的范围（单位：)是 能识别的范围（单位：）是 【说明】在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数字放在字母 ，乘号写作“ ”（点乘）或 不写. 例如，可以写成 或 . 【启示】观察上面的式子，可以看出表示机器人在两个具体时间内完成的工作量，含有字母的式子 表示机器人在任意时间内完成的工作量，用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有 . 2.探究2.对于问题（2），据“”可得 该机器人识别范围内的苹果需要的时间是 3.探究3.对于问题（3）， ∵,∴据“”可得 （2） 问题探究 （1）某工程队负责铺设一条长的地下管道，经过天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度. （2）一个正方形的边长是，这个正方形的周长是多少？面积呢？ 1.探究1：对于问题（1）， ∵， ∴这支工程队平均每天铺设的管道长度是 2.探究2：对于问题（2）， 据正方形的周长及面积公式，可得 【说明】相同字母相乘，可以写成 的形式.例如，写成 . （3） 代数式的概念 上述问题中列出的式子 ， 它们都是用 （加、减、乘、除、乘方、开方等）把 或表示数的 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 【注1】单独的一个 或 也是代数式.例如，都是 . 【注2】代数式的书写规范 类型 规定 实例 ①数字与字母相乘或字母与字母相乘 将数放在字母 ，乘号写作“ ”或省略不写 如 写成 或 ， 写成 或 . ②乘数是“1”或“-1” 数字“ ”省略不写 如 写成 ， 写成 . ③乘数是带分数 带分数要化成 如 写成 . ④除法运算 除号（÷）要写成 如 写成 . ⑤式子后面有单位且式子是和或差的形式 把式子用 括起来后再带 如 ，个 （4） 实例运用 例1（1）苹果原价是，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； （2）一个长方形的长是，宽是，用代数式表示这个长方形的面积； （3）某产品前年的产量是件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量； （4）一个长方体水池底面的长和宽都是，高是，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积 解： （1） 苹果的售价是 ; （2） 这个长方形的面积是 ; （3） 去年的产量是 ; （4） 由长方体的，得这个长方体水池的容积是 ; 故池内水的体积为 ; 例2说出下列代数式的意义： (1) ; (2)； (3)； (4) 解： （1）的意义是 ； （2）的意义是 ； （3）的意义是 ； （4）的意义是 . （5） 变式训练 【变式1】下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式3】请指出下列各代数式的意义： (1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：表示的意义为 ． （2）解：表示的意义为 ． （3）解：表示的意义为 ． （4）解：表示的意义为 ． 2、 列代数式表示数量关系 （1） 问题探究 如何用代数式表示两数的和与差的积？ 探究： 可以按下面的步骤列代数式： 所以两数的和与差的积为 （2） 列代数式的概念 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有 、 和运算 的式子表示出来，也就是要 . （三）实例运用 例3用代数式表示： （1）购买2个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料所需的钱数. （2）把元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？ （3）某商品的进价为元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？ 分析：（1)；（2）；（3）. 解： （1） 购买2个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料所需的钱数为 . （2） 根据题意，得 . 因此到期时的利息为 元. （3） 现在的售价为 . 例4甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为. （1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ （2）如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 分析：本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系： 另外，. 解： （1） 汽车从甲地到乙地需要行驶的时间为 . （2） 如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶的时间为 . 汽车加快速度后可以早到的时间为 . 【注】从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有 . （3） 变式训练 【变式1】填空： （1）x 的 3 倍与 5 的和是_________； （2）a 与 b 的差的平方是_________； （3）m 的一半与 n 的 的和是_________； （4）某商品原价为 p 元，打 8 折后的售价是_________元． 【变式2】用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和：________． (2)a减b的差的倒数：________． (3)a的平方的2倍减b的平方的4倍的差：________． 【变式3】用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【详解】（1）解：∵长方形长为 、宽为 ， ∴长方形的周长是 ； （2）∵剩余钱数总钱数花费钱数， ∴由题意得：小强还剩 ； （3）∵原有工作人员人，被抽调下基层工作， ∴留在该机关工作的还有 ； （4）∵甲每小时走千米，乙每小时走千米， ∴小时后，甲走的路程 千米，乙走的路程 千米， ∵两人同时同地出发反向行走， ∴甲、乙之间的距离是 千米， 即 千米. 【变式4】如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 3、 正比例关系与反比例关系 （1） 正比例关系 1. 问题探究 （1）问题1 依据题意解决下列问题，通过观察总结出问题中的两个变量都有什么关系？ ①摘苹果机器人的一个机械手8秒摘1个苹果，设采摘时间为(秒），采摘数量为(个），那么采摘时间与采摘数量有什么关系？ ②机器人每秒可识别5m²果园，设识别时间为（(秒)，识别总面积y(),那么识别时间与识别总面积有什么关系？ ③已知一件商品单价为7元，设购买该商品的数量为件，总价为元，那么购买该商品的数量与总价有什么关系？ ④已知高速公路上匀速行驶的速度为，设汽车的行驶时间为，路程为,那么汽车的行驶时间与路程有什么的关系？ 探究：由题意可得 ①据“”可得：采摘时间与采摘数量的关系为 ②据“”可得：识别时间与识别总面积的关系为 ③据“”可得：购买该商品的数量与总价的关系为 ④据“”可得：汽车的行驶时间与路程的关系为 由上可以发现，在上面的问题中有两个关联的量，且它们满足 （2）问题2 已知一件商品单价为7元，设购买该商品的数量为件，总价为元，那么你能列表格表示购买该商品的数量与总价的关系吗？从中你能发现什么规律？ 探究：由题意可列如下表格 销售量件 1 2 3 4 5 6 …… 总售价元 …… 有表格可知：当销售单价固定为，那么购买该商品的总价随销售量的增大而 . 2.正比例关系的概念 像 这样， 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 一定，这两个量就叫作成 的量，它们之间的关系叫作 关系. 如果用字母和表示两个相关联的量，用表示它们的 （是一个确定的值，且），正比例关系可以表示为 3.正比例关系的性质 一般地，如果两个相关联的量和成正比例关系，那么变量的值随变量的值增大而 . 4.实例运用 例5．下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（     ） A．路程一定，速度和时间 B．一根蜡烛燃烧的长度和剩余的长度 C．小强的年龄与身高 D．圆柱的底面积一定，该圆柱的体积与高 （2） 反比例关系 1. 问题探究 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，解答下列问题： （1） 根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表3.1-1. （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 探究： （1） 此问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的关系为 （2） 每天造雪量为时，造雪天数为 每天造雪量为5200m²时，造雪天数为 每天造雪量为6500 m²时，造雪天数为 于是可填表格如下所示， 每天造雪量/m² 5000 5200 6500 …… 造雪天数 …… 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而 ，而且造雪天数与每天造雪量的 一定，总是 ． 例如， 2.反比例关系的概念 像上面问题中的“每天造雪量与造雪天数”这样， 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 一定，这两个量就叫作成 的量，它们之间的关系叫作 关系. 如果用字母和表示两个相关联的量，用表示它们的 （是一个确定的值，且），反比例关系可以表示为 3.反比例关系的性质 一般地，如果两个相关联的量和成反比例关系，那么变量的值随变量的值增大而 . 4.实例运用 例6．如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 .分别往这四个容器中注入的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用（单位：）和（单位：）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 解： （1）四个容器中水的高度分别为 （2） ∵据“”可得 ∴与成 关系. 5. 变式训练 【变式1】下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 【变式2】观察下面两个表格并回答问题． 表购买同一种故事书 数量/本 总价/元 表用同样的钱购买不同的故事书 单价/元 数量/本 (1)哪个表中的两种量成正比例？为什么？ (2)哪个表中的两种量成反比例？为什么？ 【解】 (1) 在表1中， ， ， ， ， 因为总价和数量的 一定，所以表1中的总价和数量成 ． (2) 在表2中， ， ， ， ， 因为单价和数量的 一定，所以表2中的单价和数量成 ． 4、 达标检测 1．下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 2．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 3．若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为（     ）元 A． B． C． D． 4．与的和的倍是（    ） A． B． C． D． 5．我校现有学生人，预计明年将增加，则我校明年的学生人数为（     ） A． B． C． D． 6．设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 9．一幅图的比例尺是，下面说法错误的是（     ） A．图上距离是实际距离的 B．图上表示实际距离 C．图上距离的200倍就是实际距离 D．这幅图中，图上距离与实际距离成正比例 10．下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 11．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 12．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 14．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 15．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 16．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 17．如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 18．今年11月1日湘潭地区早晚温差为，最高气温为，则最低气温为________． 19．观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 20．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 21．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 22．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 23．某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 24．一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 25．某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 3.1列代数式表示数量关系 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：3课时 日期：2026年8月20日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，通过构建具体关系式总结得出代数式的概念，并能列代数式表示简单问题的数量关系（数学建模、数学抽象▪重难点） 2. 经历问题探究，熟练掌握列代数式表示数量关系的方法与技巧，并能运用其解决相关的实际问题.（数学建模▪重点） 3.经历情景问题，理解与掌握正比例关系与反比例关系的概念与性质，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 代数式的概念 （1） 情景导入 在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的应用，看下面的问题. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均 可以采摘一个苹果，根据这些数据回答下列问题： （1）该机器人能识别多大范围内的苹果？呢？呢? （2）该机器人识别范围内的苹果需要多少秒? （3）若该机器人搭载了个机械手（)，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 分析： 这个问题包含三个量：工作量、工作效率和工作时间，它们之间的关系为 1.探究1.对于问题（1），据“”可得 该机器人能识别的范围（单位：）是 能识别的范围（单位：)是 能识别的范围（单位：）是 【说明】在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数字放在字母前，乘号写作“▪”（点乘）或省略不写. 例如，可以写成或. 【启示】观察上面的式子，可以看出表示机器人在两个具体时间内完成的工作量，含有字母的式子表示机器人在任意时间内完成的工作量，用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性. 2.探究2.对于问题（2），据“”可得 该机器人识别范围内的苹果需要的时间是 3.探究3.对于问题（3）， ∵,∴据“”可得 （2） 问题探究 （1）某工程队负责铺设一条长的地下管道，经过天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度. （2）一个正方形的边长是，这个正方形的周长是多少？面积呢？ 1.探究1：对于问题（1）， ∵， ∴这支工程队平均每天铺设的管道长度是 2.探究2：对于问题（2）， 据正方形的周长及面积公式，可得 【说明】相同字母相乘，可以写成幂的形式.例如，写成. （3） 代数式的概念 上述问题中列出的式子，，，，，， 它们都是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 【注1】单独的一个数或字母也是代数式.例如，都是代数式. 【注2】代数式的书写规范 类型 规定 实例 ①数字与字母相乘或字母与字母相乘 将数放在字母前面，乘号写作“·”或省略不写 如 写成或 ， 写成 或. ②乘数是“1”或“-1” 数字“1”省略不写 如 写成 ， 写成. ③乘数是带分数 带分数要化成假分数 如 写成 . ④除法运算 除号（÷）要写成分数线（－） 如 写成 . ⑤式子后面有单位且式子是和或差的形式 把式子用括号括起来后再带单位 如 ，个 （4） 实例运用 例1（1）苹果原价是，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； （2）一个长方形的长是，宽是，用代数式表示这个长方形的面积； （3）某产品前年的产量是件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量； （4）一个长方体水池底面的长和宽都是，高是，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积 解： （1） 苹果的售价是 ; （2） 这个长方形的面积是 （3） 去年的产量是 件； （4） 由长方体的，得这个长方体水池的容积是 ，即， 故池内水的体积为 例2说出下列代数式的意义： (1) ; (2)； (3)； (4) 解： （1）的意义是的2倍与3的和； （2）的意义是与3的和的2倍； （3）的意义是除以的积的商； （4）的意义是的平方，的2倍，与8的和. （5） 变式训练 【变式1】下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】代数式的概念 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 【变式2】冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题．因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式．结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可． 【详解】解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共串， ∴需要山楂的个数为． 【变式3】请指出下列各代数式的意义： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)的2倍与5的和 (2)与5和的倍 (3)平方与的平方的和 (4)与和的平方 【难度】0.85 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查代数式的意义，正确说明意义是解题的关键． （1）根据代数式所对应的运算说明意义即可； （2）根据代数式所对应的运算说明意义即可； （3）根据代数式所对应的运算说明意义即可； （4）根据代数式所对应的运算说明意义即可． 【详解】（1）解：表示的意义为的2倍与5的和． （2）解：表示的意义为与5和的倍． （3）解：表示的意义为平方与的平方的和． （4）解：表示的意义为与和的平方． 2、 列代数式表示数量关系 （1） 问题探究 如何用代数式表示两数的和与差的积？ 探究： 可以按下面的步骤列代数式： 所以两数的和与差的积为 （2） 列代数式的概念 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式. （三）实例运用 例3用代数式表示： （1）购买2个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料所需的钱数. （2）把元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？ （3）某商品的进价为元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？ 分析：（1)；（2）；（3）. 解： （1） 购买2个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料所需的钱数为 元. （2） 根据题意，得 因此到期时的利息为 元. （3） 现在的售价为 元. 例4甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为. （1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ （2）如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 分析：本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系： 另外，. 解： （1） 汽车从甲地到乙地需要行驶的时间为 （2） 如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶的时间为 汽车加快速度后可以早到的时间为 【注】从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性. （3） 变式训练 【变式1】填空： （1）x 的 3 倍与 5 的和是_________； （2）a 与 b 的差的平方是_________； （3）m 的一半与 n 的 的和是_________； （4）某商品原价为 p 元，打 8 折后的售价是_________元． 【答案】 / 【难度】0.9 【知识点】列代数式 【详解】对于文字描述转化为代数式的问题，先明确每个描述对应的运算：“倍”对应乘法，“和”对应加法，“差”对应减法，“平方”对应乘方运算，“打折”对应按比例乘法． 处理运算顺序相关表述时，如果描述是“某两个数的差/和的平方”，那么先算差/和，再对结果做乘方，需要用括号明确运算优先级． 处理分数、比例类表述时，“m的一半”对应m乘以，“打8折”对应原价乘以0.8或，按对应比例写出乘法表达式后，再按描述组合加法即可． 【分析】解：（1）x的3倍即为，再与5相加（和），可得，故填； （2）a与b的差为，其平方需对整体进行乘方，即，注意不要误写为，故填； （3）m的一半为，n的为（即），两者求和，可得，故填； （4）打8折即售价为原价的（或），原价为p元，所以售价为元（也可写作元），故填（或）元． 【变式2】用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和：________． (2)a减b的差的倒数：________． (3)a的平方的2倍减b的平方的4倍的差：________． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】（1）（2）（3）书写代数式时注意书写格式，数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，乘号写成“”或省略不写；除号用分数来表示. 【详解】（1）解：的倍与的一半的和：； （2）解：减的差的倒数:； （3）解：的平方的倍减的平方的倍的差：. 【点睛】本题考查了用字母表示代数式，正确的书写格式是解题的关键. 【变式3】用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【答案】(1)cm (2)元 (3)人 (4)千米 【难度】0.85 【知识点】用字母表示数、列代数式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键． （）根据长方形周长公式 “周长(长宽)”，直接代入长和宽，得到代数式； （）根据小强剩下的钱数开学爸爸给小强钱数小强买文具用的钱数，列出式子即可； （）先算出抽调的人数 (原有人的，即)，再用“原有人数抽调人数”，得到； （）根据“路程速度时间”，分别算出甲、乙小时走的路程，反向行走时总距离为两人路程之和是千米； 【详解】（1）解：∵长方形长为 、宽为 ， ∴长方形的周长是 ； （2）∵剩余钱数总钱数花费钱数， ∴由题意得：小强还剩元； （3）∵原有工作人员人，被抽调下基层工作， ∴留在该机关工作的还有人； （4）∵甲每小时走千米，乙每小时走千米， ∴小时后，甲走的路程千米，乙走的路程千米， ∵两人同时同地出发反向行走， ∴甲、乙之间的距离是千米， 即千米. 【变式4】如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列代数式 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白半圆的面积． 长方形的长为，宽为，空白半圆的直径为． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为 ， ∴长方形的面积为 ． ∵空白部分是一个半圆，且直径为， ∴半圆的半径为 ∴半圆的面积为， ∴阴影部分的面积为． 3、 正比例关系与反比例关系 （1） 正比例关系 1. 问题探究 （1）问题1 依据题意解决下列问题，通过观察总结出问题中的两个变量都有什么关系？ ①摘苹果机器人的一个机械手8秒摘1个苹果，设采摘时间为(秒），采摘数量为(个），那么采摘时间与采摘数量有什么关系？ ②机器人每秒可识别5m²果园，设识别时间为（(秒)，识别总面积y(),那么识别时间与识别总面积有什么关系？ ③已知一件商品单价为7元，设购买该商品的数量为件，总价为元，那么购买该商品的数量与总价有什么关系？ ④已知高速公路上匀速行驶的速度为，设汽车的行驶时间为，路程为,那么汽车的行驶时间与路程有什么的关系？ 探究：由题意可得 ①据“”可得：采摘时间与采摘数量的关系为 ②据“”可得：识别时间与识别总面积的关系为 ③据“”可得：购买该商品的数量与总价的关系为 ④据“”可得：汽车的行驶时间与路程的关系为 由上可以发现，在上面的问题中有两个关联的量，且它们满足 （2）问题2 已知一件商品单价为7元，设购买该商品的数量为件，总价为元，那么你能列表格表示购买该商品的数量与总价的关系吗？从中你能发现什么规律？ 探究：由题意可列如下表格 销售量件 1 2 3 4 5 6 …… 总售价元 7 14 21 28 35 42 …… 有表格可知：当销售单价固定为，那么购买该商品的总价随销售量的增大而增大. 2.正比例关系的概念 像，，这样， 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的商一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系. 如果用字母和表示两个相关联的量，用表示它们的商（是一个确定的值，且），正比例关系可以表示为 3.正比例关系的性质 一般地，如果两个相关联的量和成正比例关系，那么变量的值随变量的值增大而增大. 4.实例运用 例5．下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（     ） A．路程一定，速度和时间 B．一根蜡烛燃烧的长度和剩余的长度 C．小强的年龄与身高 D．圆柱的底面积一定，该圆柱的体积与高 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正（反）比例关系 【分析】成正比例关系的两个相关联的量比值一定，据此判断各选项． 【详解】解：A选项，∵速度时间路程（一定），是乘积一定，∴速度和时间不成正比例； B选项，∵燃烧的长度剩余的长度蜡烛总长度（一定），是和一定，∴二者不成正比例； C选项，∵小强的年龄与身高的比值、乘积均不固定，∴二者不成正比例； D选项，∵圆柱的体积高底面积（一定），是比值一定，∴圆柱的体积与高成正比例． （2） 反比例关系 1. 问题探究 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，解答下列问题： （1） 根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表3.1-1. （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 探究： （1）此问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的关系为 每天造雪量为时，造雪天数为 每天造雪量为5200m²时，造雪天数为 每天造雪量为6500 m²时，造雪天数为 于是可填表格如下所示， 每天造雪量/m² 5000 5200 6500 …… 造雪天数 52 50 40 …… 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260000． 例如， 2.反比例关系的概念 像上面问题中的“每天造雪量与造雪天数”这样， 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母和表示两个相关联的量，用表示它们的乘积（是一个确定的值，且），反比例关系可以表示为 3.反比例关系的性质 一般地，如果两个相关联的量和成反比例关系，那么变量的值随变量的值增大而减小. 4.实例运用 例6．如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 .分别往这四个容器中注入的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用（单位：）和（单位：）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 解： （1）四个容器中水的高度分别为 （2） ∵据“”可得 ∴与成反比例关系. 5. 变式训练 【变式1】下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正（反）比例关系 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随之变化，若对应两个数的乘积一定，则两种量成反比例关系；若比值一定，则成正比例关系．据此分析各选项的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：A、单价总价数量，当单价一定时，总价与数量的商一定，故二者成正比例，不符合题意； B、路程速度时间，当路程一定时，速度与时间的乘积一定，故二者成反比例，符合题意； C、身高与体重不成比例，不符合题意； D、正方形的周长边长，即周长与边长的商一定，故二者成正比例，不符合题意． 【变式2】观察下面两个表格并回答问题． 表购买同一种故事书 数量/本 总价/元 表用同样的钱购买不同的故事书 单价/元 数量/本 (1)哪个表中的两种量成正比例？为什么？ (2)哪个表中的两种量成反比例？为什么？ 【答案】(1) 在表1中， ， ， ， ， 因为总价和数量的比值一定，所以表1中的总价和数量成正比例． (2) 在表2中， ， ， ， ， 因为单价和数量的乘积一定，所以表2中的单价和数量成反比例． 【难度】0.65 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了正比例和反比例关系，掌握比值为定值的两个量成正比例，乘积为定值的两个量成反比例是解题的关键． （1）根据比值为定值的两个量成正比例，即可求解． （2）根据乘积为定值的两个量成反比例，即可求解． 【详解】（1）略 （2） 略 4、 达标检测 1．下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】代数式的概念 【详解】解：A.，是数与字母经过运算得到的式子，是代数式．故A项不符合题意． B.，单独一个字母属于代数式，是代数式．故B项不符合题意． C.，式子中含有等号，是等式，不是代数式．故项符合题意． D.，单独一个数属于代数式，是代数式．故D项不符合题意． 2．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】列代数式 【详解】解：的倍为，比小的数为． 3．若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为（     ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列代数式 【分析】先根据总价和质量求出糖果的单价，再根据单价乘质量得到8千克糖果的总价． 【详解】解：∵千克糖果售价为元， ∴1千克糖果的售价为元， ∴8千克糖果的售价为元． 4．与的和的倍是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】列代数式 【分析】根据“和的3倍”的表述，确定先算加法再算乘法的运算顺序，需添加括号保证运算优先级． 【详解】解：与的和为，和的3倍为． 5．我校现有学生人，预计明年将增加，则我校明年的学生人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，根据题意列式即可． 【详解】解：现有学生人数为，明年人数比现有增加， 增加的学生人数为， 明年学生人数为 ． 6．设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 7．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】列代数式 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 8．石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】观察图形中小棒数量的变化，发现相邻两个图形的小棒数量差为定值，归纳出第n个图形的小棒数量公式，代入计算即可． 【详解】解：第①个图案用了11根小棒， 第②个图案用了19根小棒，， 第③个图案用了27根小棒，， …… 以此类推，第n个图形需要小木棒的根数是， 所以第⑧个图形需要小木棒的根数是． 9．一幅图的比例尺是，下面说法错误的是（     ） A．图上距离是实际距离的 B．图上表示实际距离 C．图上距离的200倍就是实际距离 D．这幅图中，图上距离与实际距离成正比例 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】 图上距离与实际距离的换算、正（反）比例关系 【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，两种相关联的量比值一定则成正比例，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项，因为比例尺为，所以图上距离是实际距离的，A说法正确； B选项，图上对应实际距离，因此图上表示实际距离，B说法正确； C选项，因为比例尺为，所以图上距离的20000倍才是实际距离，不是200倍，C说法错误； 对D选项，比例尺等于图上距离与实际距离的比，故图上距离与实际距离的比值一定，则二者成正比例，D说法正确． 10．下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】正（反）比例关系 【分析】根据反比例关系的定义，两种相关联的量，若对应数的乘积为定值，则两个量成反比例关系，据此判断各选项即可． 【详解】解：对A选项，，与的和为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对B选项，，与的比值为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对C选项，由变形得，与的乘积是定值，符合反比例关系的定义，∴与成反比例关系． 11．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 12．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】正（反）比例关系 【分析】根据表格得到，根据确定两个变量成反比例，即可判断各选项． 【详解】解：由表格数据可得，， 故这个水池共有10吨水；时间t与出水速度v成反比例关系；出水速度v随着时间t的增大而减小， 故C正确，A、B、D错误． 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 14．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律． 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 15．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】代数式书写方法 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 16．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】代数式书写方法 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 17．如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】用字母表示数、列代数式 【详解】解：由图形得绿绳的长度是米． 18．今年11月1日湘潭地区早晚温差为，最高气温为，则最低气温为________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】列代数式 【分析】根据温差的定义，温差为最高气温与最低气温的差，变形即可得到最低气温的表达式． 【详解】解：∵ 温差 最高气温 最低气温，已知温差为，最高气温为， ∴ 最低气温 ． 19．观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】分析已知等式可得规律：两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴第n个式子是：． 20．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】列代数式 【分析】（1）跑道的周长等于两个半圆的弧长加上直道的长度； （2）阴影面积等于“铁饼投掷”项目的面积和“掷标枪”项目面积之和． 【详解】（1）解：跑道的周长为； （2）解：“铁饼投掷”项目的面积为，“掷标枪”项目的面积为， ． 21．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边 (2)升 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、用字母表示数 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减和列代数式． （1）根据有理数的加减求出结果进行判断即可； （2）利用绝对值求出走过的路程，再利用乘以，即可求解． 【详解】（1）解：． 答：出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边； （2）解： (升) 答：这天下午汽车共耗油升． 22．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 【答案】(1)；；；； (2)字母表示列车在冻土地段行驶的时间； (3)圆的面积（为圆的半径）．（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】用字母表示数 【分析】本题主要考查了列代数式，根据路程与速度、时间之间关系，列出代数式是解题关键． （1）根据路程时间速度即可列出式子计算，即可； （2）根据路程时间速度解答即可； （3）根据圆的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； （2）解：字母表示列车在冻土地段行驶的时间； 用表示速度，列车行驶的路程是路程； （3）解：圆的面积（为圆的半径）． 23．某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2) (3)；与成反比例关系． 【难度】0.65 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，合理从表格中获取相关信息是解题的关键． （1）根据工作时间工作效率总数解答即可； （2）根据工作时间工作效率总数解答即可； （3）列出函数式子判断即可． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：件； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴与成反比例关系． 24．一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 【答案】(1)，； (2)越来越少； (3)与成反比例关系． 【难度】0.85 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用、列代数式、正（反）比例关系 【分析】本题主要考查了有理数的运算的应用，成反比例关系，理解题意，根据表格得出结果是解题的关键． （）用表格中的一组数据，求出两数的积即可； （）观察表格数据即可求解； （）根据书的总页数等于每天读的页数乘以天数，得到与的关系，根据积一定，两个变量成反比例关系，作答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：观察表格数据可得：随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会越来越少； （3）解：∵， ∴与的关系是， ∴与成反比例关系． 25．某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． 【答案】(1)每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少 (2)，与成反比例关系 (3)每小时录入万字 【难度】0.65 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系、正（反）比例关系 【分析】本题考查变量的变化关系，反比例关系的判定与表达式，函数关系式的应用，识别两个变量之间的变化趋势是解题关键． （1）观察表格里每小时录入字数和所需时间的数值变化，可得出录入字数增加时，所需时间随之减少的结论； （2）根据报道的总字数为定值，可知为定值，与成反比例关系，设反比例关系式，代入一组数据求出的值，确定具体关系式； （3）把已知的时间代入第（2）问求出的反比例关系式中，通过解方程计算对应的每小时录入字数． 【详解】（1）解：据图表可知，每小时录入的字数从，，，不断增加， 所需时间从，，，不断减少， 故每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少． （2）解：根据题意可知，报道的总字数为定值，即为定值， 故与为反比例函数关系，设反比例函数的解析式为， 将，代入，可得， 则与的函数关系为． 答：，与成反比例关系． （3）解：令，代入， 解得， 故当所需时间为小时时，每小时需录入的字数为万字． 答：每小时录入万字． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $